广东省深圳市龙城高级中学、深圳大学附属中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

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高二年级 数学试题
教学处命题中心
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本卷共 4 页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若z (1＋i)＝1－i，则z的共轭复数为（ ）
A．－i B．i C．1－i D．1+i
2．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，
则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
4．通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，
并由χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)计算得：χ2≈7.822，参照附表，则下列结论正确的是（ ）
附：
A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
5. 已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，，则点O、N、P依次是△ABC的（ ）
A. 重心、外心、内心 B. 重心、外心、垂心
C. 外心、重心、内心 D. 外心、重心、垂心
6. 已知过点P(1,2)可作双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．(eq \r(5), ＋∞) B．(1，eq \r(5))
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
7．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（ ）
A．[0, 2－eq \r(3))∪(2＋eq \r(3), ＋∞) B．[2－eq \r(3)，2＋eq \r(3)]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0)
8. 设正整数，其中，记．
则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．函数f(x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))，则下列结论正确的是（ ）
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上的最小值为eq \f(1,2)
C．f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上单调递增
D．直线x=π为f(x)图象的对称轴
10. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥D1－PA1A的体积为定值
B．AP＋PC的最小值为2eq \r(2)
C．A1P∥平面ACD1
D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
11．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(eq \r(2)，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则（ ）
A．b的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
B．当椭圆C的离心率为eq \f(\r(3),2)时，|QF1|的取值范围是[2-eq \r(3), 2+eq \r(3)]
C．存在点Q使得eq \(QF1,\s\up6(—→))·eq \(QF2,\s\up6(—→))＝0
D. eq \f(1,|QF1|)＋eq \f(1,|QF2|)的最小值为1
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知集合，若，则的最小值为_______．
13. 已知数列的首项，且，则_______；
满足2024的最大整数n的值为_______.
14. 已知且则函数y = a|x-1| 的单调增区间为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题共13分）
在三棱锥A-BCD中，且=1，AD=62，．
（1）求证：平面ABC⊥平面BCD．
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．
16. （本小题共15分）
已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求及其最小值．
17. （本小题共15分）
甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为6%，乙工厂加工的次品率为5%，现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为5.25%；
（1）求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比;
（2）从混放在一起的零件中有放回地抽5个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为X.
（i）求X的分布列和数学期望；
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，
求误差的绝对值不超过0.1的概率.
18. （本小题共17分）
如图，抛物线C：x2＝4y上异于坐标原点Ｏ的两个不同动点A、B满足OAOB．
（1）求证：直线AB过定点；
（2）过点A, B分别作抛物线C的切线交于点M，求△MAB的面积的最小值.
19. （本小题共17分）
已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
（1）讨论的单调性；
（2）若，讨论的零点个数.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828