湖南省长沙市一中岳麓中学2023-2024学年七年级下学期第三次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市一中岳麓中学2023-2024学年七年级下学期第三次月考数学试题，共15页。

1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若，则下列式子中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列调查中，最适合用全面调查的是（ ）
A．了解一批炮弹的杀伤力B．全班每位同学所穿鞋子的尺码
C．了解长江中生物的种类D．了解一批矿泉水出厂后的质量
4．下面语句中正确的是（ ）
A．64的平方根是±4B．的平方根是
C．－9的立方根是－3D．的算术平方根是
5．估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
6．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
第6题图
A．400cm2B．500cm2C．600cm2D．300cm2
7．某校一次演讲比赛，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
第7题图
A．95分的人数最多B．最高分与最低分的差是15分
C．参赛学生人数为8人D．最高分为100分
8．下列命题中，①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．真命题的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．如图，直线，线段AN和线段BM垂直于点Q，若，则∠ANM的度数是（ ）
第9题图
A．B．C．D．
10．如图，动点在平面直角坐标系中从坐标原点出发，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，第七次运动到，…，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，点的坐标是（ ）
第10题图
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，将周长为10cm的△ABC沿BC方向平移得到△DEF，连接AD，若四边形ABFD的周长为16cm，则平移的距离为______cm．
第11题图
12．某中学参加运动会开幕式表演，为了使表演方队整齐有序，需要在操场上标记若干个关键点，如图是几个关键点的位置，若建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______．
第12题图
13．若是方程的解，则a的值为______．
14．已知点，，若直线AB平行于x轴，则a＝______．
15．如图，，点E在AB上，点F在CD上，如果，，那么∠BEF的度数为______．
第15题图
16．若关于x的不等式组恰有三个整数解，则实数a的取值范围是______．
三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解下列方程组：（1） ；（2）．
19．解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集．
20．如图，是由△ABC平移得到的图形．
（1）分别写出下列各点的坐标：A______，B______，C______；
（2）若点是△ABC内部一点，则内部的对应点的坐标为______；
（3）求△ABC的面积．
21．某学校为了解《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》落实情况，就假期“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了抽样调查，如图是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是多少人；
（2）求m的值；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人．
22．如图，E，G是分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，如果，．
（1）判断AD与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若DG是∠ADC的平分线，，求∠B的度数．
23．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元，购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元?
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？
24．若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含．
（1）已知关于x的不等式组A：，以及不等式B：，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程；
（2）已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围；
（3）关于x的不等式组E：和不等式组F：，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为12，求n的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，，，且．
图1图2备用图
（1）求B、C两点的坐标；
（2）如图1，将平移至，点O对应点为，若的面积为11，求点E的坐标；
（3）如图2，在（2）中，若AD，ED分别与y轴交于点H，F，点P是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OF（不含端点）上运动时，证明：∠ADP＋∠PBO＝∠EDP＋∠PBC；
②当点P在y轴上线段OF之外运动时，请直接写出∠ADP，∠PBO，∠EDP，∠PBC之间的等量关系．
第三次月考试题（最终版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点在第四象限．故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
2．【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解析】解：A、不等式的两边同时除以2，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意；
B、不等式的两边同时减去3，不等式仍成立，即a－3＞b－3，故本选项不符合题意；
C、不等式的两边同时乘－3，不等式仍成立，即－3a＜－3b，故本选项符合题意；
D、不等式的两边同时减去b，不等式仍成立，即a－b＞0，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
3．【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解一批炮弹的杀伤力，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
B．全班每位同学所穿鞋子的尺码，适合采用全面调查方式，符合题意；
C．解长江中生物的种类，适合采用抽样调查方式，不符合题意；
D．了解一批矿泉水出厂后的质量，适合采用抽样调查方式，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4．【分析】通过计算即可得出正确选项．
【解答】解：A．64的平方根是±8，原选项说法错误，不符合题意；
B．的平方根是，原选项说法错误，不符合题意；
C．负数没有平方根，原选项说法错误，不符合题意；
D．的算术平方根是，原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根，平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．【分析】根据二次根式的性质确定的范围，即可得出答案．
【解答】解：∵，∴，∴的值在4和5之间．故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用二次根式的性质是解答此题的关键．
6．【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长＋小长方形的宽＝50cm，小长方形的长＋小长方形宽的4倍＝小长方形长的2倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积．
【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，则可列方程组，解得，
则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．故选：A．
【点评】此题考查方程组的应用问题，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小长方形的长与宽的关系．
7．【分析】根据折线统计图中的信息一一判断即可．
【解答】解：A、从统计图可以得出95分的人数最多，为5人，故本选项不符合题意；
B、从统计图可以得出最高分为100分，最低分为85分，最高分与最低分差是15分，故本选项不符合题意；
C、从统计图可以得出参赛学生人数共有1＋2＋5＋2＝10人，故本选项符合题意；
D、从统计图可以得出最高分为100分，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．【分析】利用平行线的性质及判定方法、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题；
③平面内垂直于同一直线的两直线平行，故原命题错误，是假命题；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理．
9．【分析】先根据线段AN和线段BM垂直于点Q得出，再由可得出∠BAQ的度数，由即可得出结论．
【解答】解：∵线段AN和线段BM垂直于点Q，∴，∵，∴，∵，∴．故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．【分析】由图得点A每运动一次，横坐标增加1，且点的位置每6个一循环，即可解答．
【解答】解：由图得点A每运动一次，横坐标增加1，∴的横坐标为2023，
且点的位置每6个一循环，2023÷6＝337……1，∴点的纵坐标为1，∴点坐标，故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标的规律的探究，结合图象分析题意并解答是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．3
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF＝AD，DF＝AC是解题的关键．
12．
【分析】根据点A的坐标为，点B的坐标为，建立平面直角坐标系，进而可求点C的坐标．
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如下：
∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查了点坐标．熟练掌握平面直角坐标系的建立是解题的关键．
13．3
【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程得：2＋2a＝8，∴a＝3，故答案为：3．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
14．－2
【分析】根据坐标与图形的性质可得1－2a＝5，求解即可得到答案．
【解答】解：∵、，又∵直线AB平行于x轴，∴1－2a＝5，∴a＝－2，故答案为：－2．
【点评】此题考查的是坐标与图形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15．
【分析】由平行线的性质得到，由平角定义得到，又，故，即可得到．
【解答】解：∵，∴，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠CFE的度数．
16．
【分析】直接解不等式表示出不等式组的解集，进而利用不等式组有三个整数解，进而得出a的取值范围．
【解答】解：得：，解3x＋5a＞4x＋3a得：x＜2a，故不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组恰有三个整数解，∴2＜2a≤3，解得：．故答案为：．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，正确解不等式组是解题关键．
三．解答题（共9小题）
17．【解答】解：
．
18．解：（1） ，
由②可得：x＝4－y③，把③代入①，得：2（4－y）－y＝2，
解得：y＝2，把y＝2代入③，得x＝4－2＝2，
∴原方程组的解为；
（2），
整理，可得，
①×2，可得4x＋2y＝2③，②－③，可得－x＝10，解得x＝－10，
把x＝－10代入①，可得－20＋y＝1，解得y＝21，
∴原方程组的解为．
19．解：，
由①得，，由②得，
故此不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
20．【解答】解：（1）由图可得：，，，
（2）解：由图可知，，，将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，∵点是内部一点，∴内部的对应点的坐标为，故答案为：．
（3）．
21．【解答】解：（1）在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是60÷30％＝200（人）；【方法不唯一】
（2）∵20—30分钟的人数为200－（60＋40＋50＋10）＝40（人），
∴
∴m＝20；【方法不唯一】
（3）补全频数分布直方图如下：
（4）估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有 （人）．
22．解：（1） ．
理由：∵，∴∠1＝∠BAD，
∵，∴，
∴；
（2）∵，，∴，
∵DG是∠ADC的平分线，∴，
∴，∴．
23．【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50－x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，
∴，解得，
∵x为整数，∴x的值可为30，31，32，
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个．
24．【解答】解：（1）不等式B对于不等式组A中点包含，判断过程如下：
解不等式组A：，得4＜x＜6，
∴A的中点值为x＝5，
∵x＝5在范围内，∴不等式B对于不等式组A中点包含；
（2）∵D对于不等式组C中点包含，
∴不等式组C和不等式组D有解，
解不等式组C：，得，
不等式组D：，得，
∴，解得，
∴当时，不等式组C的解集为，不等式组D的解集为，
∴C的中点值为，
∵D对于不等式组C中点包含，
∴，
解得：，又∵，∴．
（3）解不等式组E得，，解不等式组F得，，
∴E的中点值为n＋m，
∵不等式组F对于不等式组E中点包含，
∴，解得：，
∵所有符合要求的整数m之和为12，
∴整数m可取3、4，5，或整数m可取－2、－1、0、1、2、3、4、5．
∴或．
25．【分析】（1）由可得2b－6＝0，3c＋6＝0，求出b、c的值即可得到答案；
（2）过点B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于N，再由，求出m的值，从而得到A的坐标，得出的平移方式，最后由平移的性质即可得出答案；
（3）①由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，再由∠ADP＝∠ADE＋∠EDP，∠PBC＝∠PBO＋∠OBC进行代换即可得到答案；②分四种情况：当点P在H点以上的y轴上时；当点P在线段HF上时；当点P在线段OC上时；当点P在C点以下的y轴上时，分别求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵，，，
∴，，
∴2b－6＝0，3c＋6＝0，
∴b＝3，c＝2，
∴，；
（2）如图，过点B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于N，
∵，，
∴OB＝3，OC＝2，
∵将平移至，点O对应点为，
∴AD＝OB＝3，，
∴，
∵过点B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过点C作CN⊥BM交BM的延长线于N，
∴，，，
∴四边形ACNM是梯形，
∴CN＝3，MN＝6，BM＝4，AM＝3－m，BN＝2，
∵，
，
解得：m＝－2，∴，
∵将平移至，点O对应点为，
∴的平移方式为：向左平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，
∵，∴；
（3）证明：由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADP＝∠ADE＋∠EDP，∠PBC＝∠PBO＋∠OBC，
∴∠ADP＋∠PBO＝∠ADE＋∠EDP＋∠PBO＝∠OBC＋∠EDP＋∠PBO＝∠EDP＋∠PBC；
当点P在H点以上的y轴上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠EDP－∠ADP，∠OBC＝∠PBC－∠PBO，
∴∠EDP－∠ADP＝∠PBC－∠PBO，
即∠PBO－∠ADP＝∠PBC－∠EDP；
当点P在线段HF上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠EDP＋∠ADP，∠OBC＝∠PBC－∠PBO，
∴∠EDP＋∠ADP＝∠PBC－∠PBO
即∠ADP＋∠PBO＝∠PBC－∠EDP；
当点P在线段OC上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠ADP－∠EDP，∠OBC＝∠PBC＋∠PBO，
∴∠ADP－∠EDP＝∠PBC＋∠PBO，
即∠EDP＋∠PBC＝∠ADP－∠PBO；
当点P在C点以下的y轴上时，如图，
由平移的性质可得：∠ADE＝∠OBC，
∵∠ADE＝∠ADP－∠EDP，∠OBC＝∠PBO－∠PBC，
∴∠ADP－∠EDP＝∠PBO－∠PBC，
即∠ADP－∠PBO＝∠EDP－∠PBC；
总上所述：当点P在H点以上的y轴上时，∠PBO－∠ADP＝∠PBC－∠EDP；
当点P在线段HF上时，∠ADP＋∠PBO＝∠PBC－∠EDP；
当点P在线段OC上时，∠EDP＋∠PBC＝∠ADP－∠PBO；
当点P在C点以下的y轴上时，∠ADP－∠PBO＝∠EDP－∠PBC．