2023-2024学年安徽省合肥四十五中森林城校区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥四十五中森林城校区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，与 2是同类二次根式的为( )
A. 8B. 16C. 20D. 40
2.一元二次方程x2−4x=2，用配方法变形可得( )
A. (x+2)2=2B. (x−3)2=2C. (x−2)2=6D. (x−3)2=6
3.一元二次方程x2=x的根为( )
A. x=1B. x=−1
C. x1=1，x2=0D. x1=−1，x2=0
4.如果x=2是方程−x2+x−k=0的解，那么常数k的值为( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
5.如图，平面直角坐标系中A(−4,0)，C(1,0)，若AB=AC，且点B在y轴正半轴上，则点B的坐标为( )
A. (0,3)
B. (3,0)
C. (2,0)
D. (0,2)
6.定义运算：a☆b=a2b−2ab−1，例如：4☆5=42×5−2×4×5−1.方程x☆3=0的根的情况( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
7.已知m，n是方程x2+4x−3=0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是( )
A. 2023B. 2025C. 2026D. 2027
8.如下图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前的高度是( )
A. 6米
B. 8米
C. 10米
D. 16米
9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为( )
A. 3B. 2C. 6D. 2 3
10.如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB=α，则∠ABE等于( )
A. 180°−α
B. 180°−2α
C. 90°+α
D. 90°+2α
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.若代数式1 x在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.若一个等腰三角形的一边为3，另外两边为x2−8x+m=0的两根，则m的值为______．
13.如图，已知△ABC中，AB=26，AC=24，BC=10，D是AB的中点，连接CD，则CD的值为______．
14.如图所示，点A和点B分别为x轴与y轴上一点，且OA=OB=4，C为直线y=−x(x<0)上一点，作CD⊥BC交x轴于点D．
(1)若点C的横坐标为−3，则CD= ______；
(2)若E为线段AB中点，连接CE，则CD+CE的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算： 32×( 6+ 3)+|1− 2|− 5．
16.(本小题8分)
解方程：3x2−2x−1=0．
17.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)使三角形的三边长分别为 5，2 5，5(在图甲中画一个即可)；
(2)使三角形为直角三角形，且面积为13，要求至少有两条边不与网格线重合(在图乙中画一个即可)．
18.(本小题8分)
观察下列各式：
① 1−12= 12
② 2−25=2 25
③ 3−310=3 310
……
(1)直接写出第④个等式______．
(2)请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)代数式表示出来，并说明理由．
19.(本小题8分)
某品牌衬衫标价为200元/件，为提高销售量，经过两次降价后为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种衬衫每次降价的百分率；
(2)若该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，第一次降价至少要销售出多少件该种衬衫？
20.(本小题8分)
若关于x的方程(2k−1)x2−2kx+12k+1=0有实数根，求k的取值范围．
21.(本小题8分)
已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BD=DF．
(1)求证：CF=EB；
(2)若∠B=45°，CF=3，求AC的长．
22.(本小题8分)
某公园准备在一块长为45m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房(如图所示)，在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的5倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m．
(1)用含x的代数式分别表示花园内温室花房的面积和小路面积；
(2)若草坪面积为1260m2时，求这时道路宽度．
23.(本小题8分)
已知四边形ABCD中，AB=6，CD=9，E为边BC上一点且AE=DE，∠ABC=∠DCE=∠AED=α．
(1)如图1，求证：△ABE≌△ECD．
(2)如图2，若α=90°，求AD的长．
(3)如图3，若α=60°，求此时AD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A． 8=2 2，与 2是同类二次根式，符合题意；
B. 16=4，与 2不是同类二次根式，不符合题意；
C. 20=2 5，与 2不是同类二次根式，不符合题意；
D. 40=2 10，与 2不是同类二次根式，不符合题意．
故选：A．
根据同类二次根式的定义即可求解．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
2.【答案】C
【解析】解：x2−4x=2，
配方得：x2−4x+4=2+4，
即(x−2)2=6，
故选：C．
利用配方法将原方程变形即可．
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：x2=x，
x2−x=0，
x(x−1)=0，
x=0或x−1=0，
所以x1=0，x2=1．
故选：C．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
4.【答案】D
【解析】解：把x=2代入方程−x2+x−k=0，得−4+2−k=0，
解得：k=−2，
故选：D．
将x=2代入−x2+x−k=0，即可求得常数k的值．
本题考查了一元二次方程的解，一元一次方程的解法，解决此题的关键是能运用解的定义得出一元一次方程．
5.【答案】A
【解析】解：∵A点坐标为(−4,0)，C点坐标为(1,0)，
∴AC=1−(−4)=5，OA=4．
又∵AB=AC，
∴AB=5．
在Rt△ABO中，
BO= 52−42=3，
∴点B的坐标为(0,3)．
故选：A．
根据所给点的坐标可得出AC的长，进而得出AB的长，最后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查坐标与图形性质，能根据所给点的坐标得出AB及AO的长是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由新定义得3x2−6x−1=0，
∵Δ=(−6)2−4×3×(−1)=48>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
利用新定义得到3x2−6x−1=0，然后利用Δ>0可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7.【答案】A
【解析】解：∵m，n是方程x2+4x−3=0的两个实数根，
∴m2+4m−3=0，m+n=−4，
∴m2+4m=3，
∴m2+5m+n+2024
=m2+4m+m+n+2024
=3−4+2024
=2023．
故选：A．
利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m−3=0，m+n=−4，将其代入原式中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵62+82=100，
∴ 100=10，
∴10+6=16(米)．
∴树折断之前有16米．
故选：D．
根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长．
此题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图所示，由题意，ED=a，AE=b，
∵大正方形的面积为17，
∴AD2=17，
∵AD2=AE2+ED2=a2+b2，
∴a2+b2=17，
∵(a+b)2=22，
∴(a−b)2=2(a2+b2)−(a+b)2=2×17−22=12，
∵EF=ED−EF=a−b，
∴小正方形的边长为EF=2 3(负值舍去)，
故选：D．
根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2=13，然后结合完全平方公式的变形得出(a−b)2=5，最后由小正方形的面积为EF2=(a−b)2，即可得出结论．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，过B点作BG/​/CD，连接EG，
∵BG//CD，
∴∠ABG=∠CFB=α．
∵BG2=12+42=17，BE2=12+42=17，EG2=32+52=34，
∴BG2+BE2=EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE=90°，
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α．
故选：C．
过B点作BG/​/CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理求出BG2=17，BE2=17，EG2=34，那么BG2+BE2=EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE=90°，进而求出∠ABE的度数．
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】x>0
【解析】解：∵代数式1 x在实数范围内有意义，
∴x>0．
故答案为：x>0．
根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可，
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解答此题的关键．
12.【答案】15
【解析】解：利用一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=8，x1x2=m，
若x1=3，则x2=5，m=3×5=15，
x1=x2=3，不合题意，
则m=15，
故答案为：15．
等腰三角形一边为3，有两种情况，腰为3或者底为3，分开讨论并结合根的判别式进行求解即可．
本题考查了根的判别式，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
13.【答案】13
【解析】解：在△ABC中，AB=26，AC=24，BC=10，
∵262=242+102，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=13．
故答案为：13．
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，进而根据直角三角形的性质得出CD的长．
考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是证明△ABC是直角三角形．
14.【答案】 10 5 2
【解析】解：(1)∵点A和点B分别为x轴与y轴上一点，OA=OB=4，
∴A(4,0)，B(0,4)，
∵C为直线y=−x(x<0)上一点，点C的横坐标为−3，
∴C(−3,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴b=4−3k+b=3，
解得b=4k=13，
∴直线BC的解析式为y=13x+4，
∵CD⊥BC交x轴于点D，
∴设直线CD的解析式为y=−3x+c，
∵C(−3,3)，
∴3=−3×(−3)+c，
解得c=−6，
∴直线CD的解析式为y=−3x−6，
∵当y=0时，x=−2，
∴D(−2,0)，
∴CD= (−3+2)2+(3−0)2= 1+9= 10，
故答案为： 10；
(2)由(1)知，A(4,0)，B(0,4)，
∵E为线段AB中点，
∴E(2,2)，
作点C关于x轴的对称点C′，连接C′E，则C′E的长即为CD+CE的最小值，
∵C(−3,3)，
∴C′(−3,−3)，
∴C′E= (2+3)2+(2+3)2= 50=5 2．
故答案为：5 2．
(1)先根据题意得出B、C两点的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再由CD⊥BC交x轴于点D得出直线CD的解析式，故可得出D点坐标，据此得出CD的长；
(2)根据点A和点B分别为x轴与y轴上一点，OA=OB=4得出A、B两点的坐标，再由E为线段AB中点得出E点坐标，作点C关于x轴的对称点C′，连接C′E，则C′E的长即为CD+CE的最小值，利用两点间的距离公式求出C′E的长即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
15.【答案】解： 32×( 6+ 3)+|1− 2|− 5
= 32× 6+ 32× 3+( 2−1)− 5
=3 22+32+ 2−1− 5
=5 22+12− 5
=5 2+1−2 52．
【解析】分别根据乘法分配律，二次根式的加减法和乘法法则以及绝对值的性质即可计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】解：由原方程得：(3x+1)(x−1)=0，
可得3x+1=0或x−1=0，
解得：x1=−13，x2=1．
【解析】此题考查了解一元二次方程−因式分解法．
首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
17.【答案】解：(1)如图，△ABC即为所求；

(2)如图乙中，△DEF即为所求．
【解析】(1)利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可；
(2)构造直角边为 13的等腰直角三角形DET，取ET的中点F，连接DF，△DEF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
18.【答案】 4−417=4 417
【解析】解：(1)根据前面三个等式的规律，
可得第④个等式为 4−417=4 417．
故答案为： 4−417=4 417．
(2)∵2=12+1，
5=22+1，
10=32+1，
17=42+1，
∴等式的规律为 n−nn2+1=n nn2+1．
(1)根据各式的规律可写出第④个等式．
(2)第n个等式左边的被开方数的被减数是n，减数的分子是n，分母是n2+1，等式右边的系数是n，被开方数的分子是n，分母是n2+1，即可表示出代数式．
本题考查规律型：数字的变化类、算术平方根，找到第n个等式左边的被开方数的减数的分母是n2+1是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，
由题意得：200(1−x)2=162，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)，
答：该种衬衫每次降价的百分率为10%；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，
由题意得：[200×(1−10%)−100]y+[200×(1−10%)2−100](100−y)≥6560，
解得：y≥20，
答：第一次降价至少要销售出20件该种衬衫．
【解析】(1)设这种衬衫每次降价的百分率为x，由题意：衬衫标价为200元/件，经过两次优惠降价为162元/件，并且两次降价的百分率相同．列出方程，解方程即可；
(2)设第一次降价要销售出y件该种衬衫，由题意：该种品牌衬衫的进价为100元/件，两次降价共售出此种品牌衬衫100件，为使两次降价销售的总利润不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】解：2k−1=0，
∴k=12，
一元一次方程有实数根，
∵关于x的方程(2k−1)x2−2kx+12k+1=0有两个实数根，
∴Δ=4k2−4×(2k−1)×(12k+1)≥0且2k−1≠0，
∴k≤23且k≠12．
当k≤23方程有实数根．
【解析】计算出根的判别式，令其大于等于0，解出k的取值范围，再要注意二次项系数不能为0．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义，要注意二次项系数不为0．
21.【答案】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=DC，
在Rt△BED和Rt△FCD中，
DE=DCBD=FD，
∴Rt△BED≌Rt△FCD(HL)，
∴CF=EB；
(2)解：∵DE⊥AB，∠B=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴EB=DE，
由(1)知CF=EB，
∴EB=DE=CF=3=CD，
在Rt△BED中，由勾股定理得BD=3 2，
∴BC=CD+BD=3+3 2，
∵∠C=90°，∠B=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=3+3 2．
【解析】(1)先根据角平分线的性质得出DE=DC，再利用HL证得Rt△BED和Rt△FCD全等，即可得出CF=EB；
(2)由已知条件可以得出△BED、△ABC是等腰直角三角形，结合(1)得出EB=DE=CF=CD=3，利用勾股定理求出BD的长，即可得出BC的长，从而求出AC的长．
本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由角平分线的性质得出DE=DC是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵温室花房边长是小路宽度的5倍，小路宽度为x m，
∴温室花房边长为5x m，
∴温室花房的面积为5x⋅5x=25x2(m2)，小路的面积为(45−5x+30−5x)⋅x=(75x−10x2)(m2).
答：温室花房的面积为25x2 m2，小路的面积为(75x−10x2)m2．
(2)依题意得：45×30−25x2−(75x−10x2)=1260，
整理得：x2+5x−6=0，
解得：x1=1，x2=−6(不符合题意，舍去)．
答：道路的宽度为1m．
【解析】(1)由温室花房边长和小路宽度间的关系，得出温室花房边长为5x m，再由正方形及长方形的面积公式，即可表示出花园内温室花房的面积和小路面积；
(2)根据草坪面积为1260m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出花园内温室花房的面积和小路面积；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23.【答案】(1)证明：∵∠AEB+∠AED=∠EDC+∠C，∠AED=∠DCE，
∴∠AEB=∠EDC，
在△ABE和△ECD中，
∠ABC=∠DCE∠AEB=∠EDCAE=DE，
∴△ABE≌△ECD(AAS)；
(2)解：∵△ABE≌△ECD，
∴BE=CD=9，
∵∠ABC=90°，
∴AE= AB2+BE2= 62+92=3 13，
∵∠AED=90°，AE=DE，
∴AD= AE2+DE2=3 26．
(3)解：过点A作AF⊥BE于点F，

∵AB=6，∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴AF=3 3，EF=BE−BF=6，
∴AE= AF2+EF2=3 7，
∵∠AED=60°，AE=DE，
∴△AED为等边三角形，
∴AD=AE=3 7．
【解析】(1)证出∠AEB=∠EDC，根据AAS可证明△ABE≌△ECD；
(2)由勾股定理可得出答案；
(3)过点A作AF⊥BE于点F，求出AF=3 3，EF=BE−BF=6，AE= AF2+EF2=3 7，证明△AED为等边三角形，则可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识．