曲靖市麒麟区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份曲靖市麒麟区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标,已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系,且,现有一对测量数据为(30,22.8),则该数据的残差为( )
A.0.6B.0.4C.D.
2．用3,4,5中的任意一个数作分子,6,8,10中的任意一个数作分母,则可构成( )个不同的分数.
A.6B.7C.8D.9
3．设随机变量X服从两点分布,若,则( )
B.C.D.
4．某宿舍6名同学排成一排照相,其中甲与乙必须相邻,丙与丁互不相邻的不同排法有( )
A.72种B.144种C.216种D.256种
5．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若,则是( )
A.等腰直角三角形B.有一个内角是的直角三角形
C.等边三角形D.有一个内角是的等腰三角形
6．某校安排甲,乙,丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会,已知甲班艺术生占比8%,乙班艺术生占比6%,丙班艺术生占比5%,学生自由选择座位,先到者先选.甲,乙,丙三个班人数分别占总人数的,,.若主持人随机从场下学生中选一人参与互动,选到的学生是艺术生的概率为( )
A.B.C.D.
7．学校从高一名男数学老师和名女数学老师中选派人,担任本次模拟考试数学阅卷任务,则在选派的人中至少有名男老师的条件下,有名女老师的概率为( )
A.B.C.D.
8．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年,爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列,记为,其将满月等分成240份,(且)表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如,第1天月球被太阳照亮部分占满月的,即;第15天为满月,即.已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为的等差数列,且q,d均为正整数,则( )
A.40B.80C.96D.112
二、多项选择题
9．为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响,某校随机抽取了名学生进行调查,按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表:
常用的小概率值和相应的临界值如下表:
注:独立性检验中,,.
根据这些数据,判断下列说法正确的是( )
A.依据频率稳定于概率的原理,可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响
B.依据频率稳定于概率的原理,可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响
C.根据小概率值的独立性检验,可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响,这个推断犯错误的概率不超过0.05
D.根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响,因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响
10．将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合,得到如图所示的六面体,动点P在该六面体表面上,且满足,则( )
A.B.该几何体的体积为
C.动点P的轨迹长为D.该多面体内切球的半径为
11．小华玩一种跳棋游戏,一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1～10的10个小球,每次随机抽取一个小球并放回,规定:若每次取到号码小于或等于5的小球,则前进1步,若每次取到号码大于5的小球,则前进2步.每次抽取小球互不影响,记小华一共前进n步的概率为,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.()D.小华一共前进2步的概率最大
三、填空题
12．在的展开式中,常数项为______.
13．已知圆与直线交于A,B两点,则经过点A,B,三点的圆的标准方程为______.
14．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量,则当且时,可以由服从正态分布的随机变量近似替代,且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为______.(保留小数点后四位)附:若随机变量Z服从正态分布,则,,.
四、解答题
15．现有标号依次为1,2,3的3个盒子,标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球,其余两个盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子,再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子.
（1）求2号盒子里有2个红球的概率;
（2）求3号盒子里的红球的个数的分布列和期望
16．某地区响应“节能减排,低碳生活”的号召,开展系列的措施控制碳排放.环保部门收集到近5年内新增碳排放数量,如下表所示,其中x为年份代号,y(单位:万吨)代表新增碳排放量.
（1）请计算并用相关系数r的数值说明x与y之间的线性相关性的强弱(保留小数点后两位);
（2）求y关于x的线性回归方程,并据此估计该地区2024年的新增碳排放数量.
参考数据:,,,.
参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式,相关系数r的公式分别为,,
17．如图,在四棱台中,平面ABCD.底面ABCD是平行四边形,,,连接AC,BD,设交点为O,连接.
（1）证明:;
（2）若,且二面角大小为60°,求三棱锥外接球的表面积.
18．已知椭圆()的左右顶点,的坐标分别为,,离心率为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）过点作直线l交椭圆E于P,Q两点,设点Q关于x轴的对称点为.
①求证直线过定点;
②求面积的最大值.
19．对于函数,若实数满足,则称为的不动点.已知且的不动点的集合为,以表示集合中的最小元素.
（1）若,求A中元素个数;
（2）当A恰有一个元素时,a的取值集合记为B.
(i)求B;
(ii)若a为B中的最小元素,数列满足,.求证:,.
参考答案
1．答案：A
解析：当时,,
所以该数据的残差为.
故选:A.
2．答案：B
解析：取3,4,5中取一个数作分子有种不同的取法,6,8,10中的任意一个数作分母有种不同的取法,
所以可以得到个分数,其中相同,
所以可得到个不同的分数.
故选:B
3．答案：A
解析：因为随机变量X服从两点分布,所以,
又,所以解得,,
所以,,
故选:A
4．答案：B
解析：先把甲与乙捆绑与另外两人排列,有种方法,
再把丙与丁插入空中,有种方法,由分步计数原理可得共有种排法.
故选:B.
5．答案：A
解析：由正弦定理,可得,,,
因为,代入得,
即,,所以,所以,
故为等腰直角三角形.
故选:A.
6．答案：D
解析：设“任选一名学生恰好是艺术生”,
“所选学生来自甲班”,“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”.
由题可知:
,,,,,,
.
故选:D
7．答案：B
解析：记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A,“选派4人中有2名女老师”为事件B,
则,,
显然,所以.
故选:B.
8．答案：B
解析：依题意,有,,
时,d不是正整数;时,;时,,d不是正整数.
所以,,.
故选:B
9．答案：BD
解析：女生有35人,经常锻炼的有30人,频率为,
男生有15人,其中经常锻炼的有10人,频率为,
因为,依据频率稳定于概率的原理,可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响,故A错误,B正确;
又,所以根据小概率值的独立性检验,
没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响,因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响,故C错误,D正确.
故选:BD.
10．答案：ACD
解析：对于A,取BC的中点M,连接AM,DM,
由正三棱锥的性质可得,,
因为,所以平面ADM,所以,正确.
对于B,在正三棱锥中,作高线DO,
由正三角形的性质可得,,所以,
其体积为,所以该几何体的体积为,不正确.
对于C,由几何体的对称性可得,A,D,M,E四点共面,由选项A可知,平面ADME,
所以点P的轨迹为线段DM和ME及棱AD和AE,其长度为,正确.
对于D,设几何体的内切球半径为r,球心为O,连接球心和各顶点,
则有,即,解得,正确.
故选:ACD
11．答案：ACD
解析：对于A,前进1步的概率和前进2步的概率都是,所以,故A正确;
对于B,,故B错误;
对于C,当时,其前进n步是由两部分组成:第一部分先前进步,再前进1步,其概率为;第二部分先前进步,再前进2步,其概率为,所以,故C正确;
对于D,因为,可得,
即,因为,
所以,即,
可得,又,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,可得.
当n为奇数时,为偶数,则,即,
此时数列单调递增,所以;
当n为偶数时,为奇数,则,此时数列单调递减,
所以,
综上,当时,概率最大,即小华一共前进2步的概率最大,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：15
解析：的通项公式为,
令得,所以常数项为15.
故答案为:15.
13．答案：
解析：联立直线和圆,解得,,
设圆的标准方程为,则有,
解得,所以圆的标准方程为.
故答案为:.
14．答案：0.9773
解析：由题意,随机变量,其中,,
所以,
又因为且,由中心极限定理可知服从正态分布,
故答案为:0.9773.
15．答案：（1）2号盒子里有2个红球的概率为;
（2）答案见解析.
解析：（1）记事件A:2号盒子里有2个红球,
则事件A即为从1号的盒子里拿了2个红球放入2号盒子,再从2号的盒子里拿1个白球和1个红球放入3号盒子,或者从1号的盒子里拿了1个白球和1个红球放入2号盒子,再从2号的盒子里拿2个白球放入3号盒子;
所以概率,
所以2号盒子里有2个红球的概率为;
（2）由题意可知,X可取1,2,3,
,
,
,
所以3号盒子里的红球的个数X的分布列为
.
16．答案：（1）,线性相关程度较高;
（2）,估计该地区2024年的新增碳排放数量为万吨.
解析：（1）由题意得,
,
,
,
即得,所以线性相关程度较高.
（2）,
,
所以,
当时,万吨.
所以估计该地区2024年的新增碳排放数量为3.06万吨.
17．答案：（1）证明过程见解析
（2）
解析：（1）连接,
因为底面ABCD是平行四边形,,,
所以为等边三角形,底面ABCD为菱形,则上底面也为菱形,
又,故,
又B,D,,四点共面,故,
因为,所以,
故四边形为平行四边形,
所以,
因为平面ABCD,所以平面ABCD,
因为平面ABCD,所以,
因为为等边三角形,O为BD中点,故⊥,
因为,,平面,
所以⊥平面,
因为平面,
所以;
（2）以O为坐标原点,OB,OC,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为,所以,,,
故,,,设,,
设平面的法向量为,
则,
令得,,
故,
平面ABC的法向量为,
故,
二面角大小为60°,
即,解得,
取AB的中点E,由于,
故三棱锥外接球的球心W在平面AOB的投影为E,
连接EO,过点W作WR平行OE,交于,
设,则,,
又,
由勾股定理得,,
故,解得,
故三棱锥外接球的半径为,
故三棱锥外接球表面积为.
18．答案：（1）
（2）①直线过定点
②
解析：（1）由题意得,,,则,所以,
所以椭圆E的方程为.
（2）①设直线l为:,由题意可得,,,则,
由,得,则,,,
直线,
当时,则,所以直线过定点.
②因为,,,,则,
所以=
,
因为当时,,当且仅当,即,等号成立,
当时,,
当且仅当,,即,等号成立,所以,
则,当且仅当时,等号成立,
所以面积的最大值为.
19．答案：（1）2
（2）(i)
(ii)证明见解析.
解析：（1）当时,,其定义域为.
由得,,
设,
,
当时,,
当时,
所以在上单调递增,在上单调递减.
,
所以在上恰有一个零点,
且,
因为,所以,
所以在上恰有一个零点,
即在上恰有一个不动点,在上恰有一个不动点,
所以,所以A的元素个数为2.
（2）(i)当时,由（1）知,A有2个元素,不符合题意,
当时,,其定义域.
由得,,
设,则,
设,则,
①当,即时,,即,
所以在上单调递增,
又,所以在上恰有一个零点,
即在上恰有一个不动点,符合题意,
②当,即时,有两个零点,,
又因为,,
所以,
当时,,即,
当时,,即,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
因,
所以在上恰有一个零点,
且,,
因为当x趋近于0时,趋近于负无穷,
所以在上恰有一个零点,
所以至少有两个不动点,不符合题意,
所以a的取值范围是,即.
(ii)由(i)知,,
所以,
此时,
令,,
所以在上单调递增,
所以当时,,所以,
即,
所以由可得当,则,
因此,若存在正整数N,使得,则,从而,重复这一过程有限次后可得,与矛盾,
从而,对,,
下面我们先证明,当时,,
设,
则当时,,
所以在单调递减,
所以,即当时,,
因为,所以,
,
即,
由于,,
所以,,故,
故当时,
,
所以,
故,.
性别
锻炼情况
合计
不经常
经常
女生/人
5
30
35
男生/人
5
10
15
合计/人
10
40
50
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号x
1
2
3
4
5
新增碳排放y万吨
6.1
5.2
4.9
4
3.8
X
1
2
3
P