陕西省商洛市柞水中学2024届高考仿真模拟考试数学（理科）试题（学生版+教师版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数z满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象关于原点对称B. 是函数的一个周期
C. 函数的图象关于直线对称D. 当时，的最小值为1
5. 如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（ ）．
A. ①和②都正确B. ①和②都错误
C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立
C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
7. 已知函数．若，，且在上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
A (0，]B. (，]C. (，]D. (，]
8. 已知实数满足，其中，则实数最小值为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
A. 千米B. 千米
C. 千米D. 千米
10. 定义：若，则称是函数的倍伸缩仿周期函数.设，且是的2倍伸缩仿周期函数.若对于任意的，都有，则实数m的最大值为（ ）
A. 12B. C. D.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A. B. C. D.
12. 已知，且，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________.
14. 已知向量，，， _______
15. 在中，，且，则____________
16. 已知四棱锥的外接球的体积为，平面，且底面为矩形，，则四棱锥体积的最大值为______.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
18. 如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．

（1）求证：直线平面．
（2）是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由．
19. 已知点是抛物线的焦点，点在上，且.
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线交于两点，交于两点.求证：为定值.
20. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.
（1）当时，
（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
21 已知函数，其中实数.
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若函数有唯一零点，求值.
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 已知曲线的参数方程为（为参数），直线过点．
（1）求曲线普通方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若不等式对于恒成立，求的取值范围.