2024年甘肃省武威二十五中联片教研中考数学三模试卷

这是一份2024年甘肃省武威二十五中联片教研中考数学三模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个图形标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣1与（﹣1）2B．1与（﹣1）2C．2与D．2与|﹣2|
3．（3分）若有理数m在数轴上的位置如图所示，则化简|m|+|m+3|结果是（ ）
A．2m+3B．3C．﹣2m﹣3D．﹣2m+3
4．（3分）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3分）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
9．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（ ）
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝（ ）cm．
A．B．C．D．
二、填空题（共24分）
11．（3分）计算：（﹣3）2＝ ．
12．（3分）计算：＝ ．
13．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为 ．
15．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
16．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为1，以点A为圆心，以AB为半作弧BE，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．若反比例函数（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝ ．
三、计算题（共8分）
19．（8分）解方程或计算：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）4cs45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．
四、作图题（共4分）
20．（4分）图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②中，分别以AB为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°．
（2）在图②中画△ABD，使AB边上的高将△ABD分成面积比为1：2的两部分．
五、解答题（共54分）
21．（6分）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝4米，AD＝BC＝6米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求四边形草坪造型的面积．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
23．（8分）如图，在Rt△ACB中，AC＝BC，点D是AB上任意一点，连接CD，将CD绕着点C逆时针旋转90°，点D的对应点是点E，连接BE，DE．
（1）求∠ABE的度数；
（2）在旋转过程中，如果AD＝3，CD＝5，求BD的值．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求和CE的长．
25．（8分）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
26．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”，C“葫芦雕刻”，D“泥塑”，E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ；统计图中的a＝ ，b＝ ．
（2）通过计算补全条形统计图．若该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数；
（3）剪纸比较优秀的是A1，A2两名女生和B1男生三名同学，若从比较优秀的3名同学中随机选取两名同学，参加市举办的剪纸比赛，请利用列表法或树状图法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
2024年甘肃省武威二十五中联片教研中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分）
1．（3分）下列四个图形标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．﹣1与（﹣1）2B．1与（﹣1）2C．2与D．2与|﹣2|
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：A﹣1与（﹣1）2只有符号不同，故A正确；
B 1与（﹣1）2是同一个数，故B错误；
C 2与互为倒数，故C错误；
D ＝2，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
3．（3分）若有理数m在数轴上的位置如图所示，则化简|m|+|m+3|结果是（ ）
A．2m+3B．3C．﹣2m﹣3D．﹣2m+3
【分析】根据数轴判断m与0及m与﹣3的大小关系，然后利用绝对值的性质进行化简．
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜m＜﹣2＜0，
∴|m|＝﹣m，|m+3|＝m+3，
∴|m|+|m+3|＝﹣m+m+3＝3，
故选：B．
【点评】本题考查数轴的作用之一，数轴表示数，及绝对值的性质；掌握数轴上的点与数之间的对应关系及绝对值的性质是解题关键．
4．（3分）一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，找出不等式组的整数解即可．
【解答】解：∵解不等式2x+1＞0得：x＞﹣，
解不等式x﹣5≤0得：x≤5，
∴不等式组的解集是﹣＜x≤5，
整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是求出不等式组的解集．
5．（3分）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
【分析】解法一：根据多变的内角和定理可求解∠B+∠C+∠D+∠E＝510°，∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E＝（6﹣2）×180°＝720°，进而可求解．
解法二：利用三角形的内角和定理和平角的定义也可求解．
【解答】解：解法一：
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（5﹣2）×180°＝540°，∠A＝30°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝510°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠1+∠2＝720°﹣510°＝210°，
解法二：在△ANM中，∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠AMN+∠ANM）＝360°﹣150°＝210°
故选：A．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
6．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BCB．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DOD．AB＝DC，AD＝BC
【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABD＝90°，从而可求出∠CBD的度数，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答．
【解答】解：连接BD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝70°，
∴∠CAD＝∠CBD＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数的图象上．其中x1＜x2＜0＜x3．下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】依据反比例函数为可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数，
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（ ）
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴DE：AB＝2：5，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形对应的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝（ ）cm．
A．B．C．D．
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，由折叠的性质可得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，由菱形的性质可得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，结合CB′⊥AD，易得∠BCB′＝∠CFD＝90°，进而可得∠BCE＝∠B′CE＝45°，利用勾股定理解得DF＝3cm；再证明△HCE为等腰直角三角形，可得CH＝EH；然后利用三角形函数sinB＝sinD，csB＝csD，可得，，易得，求解即可获得答案．
【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，如下图，
则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+B′F＝5cm，
由折叠的性质可得，BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD，即∠CFD＝90°，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴，，
∴∠HEC＝90°﹣∠BCE＝45°，
∴∠HEC＝∠BCE，
∴CH＝EH，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（共24分）
11．（3分）计算：（﹣3）2＝ 9 ．
【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝9，
故答案为：9
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
12．（3分）计算：＝ ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵﹣的立方为﹣，
∴﹣的立方根为﹣，
故答案为﹣．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
13．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB＝8，∠BAD＝60°，则线段EF长度的最小值为 2 ．
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠CAB＝∠DAB＝30°，根据矩形的判定定理得到四边形OEPF是矩形，求得EF＝OP，当OP⊥AB时，OP最小，根据三角形的面积公式结论得到结论．
【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CAB＝∠DAB＝30°，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∵AB＝8，
∴OB＝AB＝4，OA＝AB＝4，
∴S△ABO＝•OA•OB＝•AB•OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
15．（3分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 ．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后根据B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，
∴AB＝＝＝3，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝3，A′B′＝AB＝3，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×6＝3，
∴OE＝A′O，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×3•OF＝×3×6，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝（等腰三角形三线合一），
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝3﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
16．（3分）如图，正五边形ABCDE的边长为1，以点A为圆心，以AB为半作弧BE，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【分析】确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式求得阴影部分的面积即可．
【解答】解：∠BAE＝＝108°，
∴阴影部分的面积为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，解题的关键是确定正五边形的内角的度数，难度不大．
17．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为 ．
【分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得到AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，求得AH＝DH，得到CH＝15﹣DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥AC于H，
∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，
∴AC＝BC＝15，
∴∠CAD＝45°，
∴AH＝DH，
∴CH＝15﹣DH，
∵CF⊥AE，
∴∠DHA＝∠DFA＝90°，
∴∠HAF＝∠HDF，
∴△ACE∽△DHC，
∴＝，
∵CE＝2EB，
∴CE＝10，
∴＝，
∴DH＝9，
∴AD＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为直角三角形，∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．若反比例函数（k≠0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D，则k＝ 3 ．
【分析】先根据直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半求出AB，再根据勾股定理求出OA，在Rt△AOE中求出AE，OE，最后根据点C是OA的中点求出点C的坐标，利用待定系数法求出k的值即可．
【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，
∴，
由勾股定理得，
在Rt△AOE中，∠AOB＝30°，，
∴，
由勾股定理得，
∵点C是OA的中点，
∴，，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标是，
∵反比例函数的图象经过OA的中点C，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的综合题，熟知直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半，熟练掌握勾股定理，求出点C的坐标是此题的关键．
三、计算题（共8分）
19．（8分）解方程或计算：
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）4cs45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值，二次根式的性质和有理数的乘方进行计算，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
移项，得x2﹣2x＝4，
配方得：x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
开方，得x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）4cs45°+tan60°﹣﹣（﹣1）2
＝4×+﹣2﹣1
＝2+﹣2﹣1
＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值和实数的混合运算等知识点，能正确配方是解（1）的关键，能正确根据实数的运算法则进行计算是解（2）的关键．
四、作图题（共4分）
20．（4分）图①、图②都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在图①、图②中，分别以AB为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．
（1）在图①中画△ABC，使∠BAC＝45°．
（2）在图②中画△ABD，使AB边上的高将△ABD分成面积比为1：2的两部分．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可．
（2）取格点E，连接AE，BE即可．
【解答】（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②或如图③，△ABD即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
五、解答题（共54分）
21．（6分）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝4米，AD＝BC＝6米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求四边形草坪造型的面积．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝4米，∠B＝30°，
∴AE＝2米，
∴S△ABC＝×6×2＝6（平方米），
则S△CDA＝6（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×6＝12（平方米）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
22．（6分）如图，在四边形ABCD中，BC＝12，OA＝OC＝13，BD＝10，∠CBD＝90°，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】首先利用勾股定理计算出BO进而得到DO长，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形．
【解答】证明：∵∠CBD＝90°，BC＝12，OA＝OC＝13，
∴BO＝＝5，
∵BD＝10，
∴DO＝10﹣5＝5，
∴BO＝DO，
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
23．（8分）如图，在Rt△ACB中，AC＝BC，点D是AB上任意一点，连接CD，将CD绕着点C逆时针旋转90°，点D的对应点是点E，连接BE，DE．
（1）求∠ABE的度数；
（2）在旋转过程中，如果AD＝3，CD＝5，求BD的值．
【分析】（1）根据旋转的性质确定△ACD≌△BCE，从而确定∠CAD＝∠CBE，再根据∠ABE＝∠ABC+∠CBE，结合题干条件即可解题．
（2）根据△ACD≌△BCE确定BE的长度，再根据勾股定理确定DE的长度，最后再次利用勾股定理即可求得BD的值．
【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝∠DEC＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DEC﹣∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°；
（2）∵△ACD≌△BCE，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵CD＝CE＝5，∠DCE＝90°，
∴，
在Rt△DBE中：
．
【点评】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质与判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，，求和CE的长．
【分析】（1）通过OD＝OB证明∠ODB＝∠OBD，结合BD平分∠ABC可得∠EBD＝∠ODB，再根据DE⊥BC可得∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据勾股定理得到AB＝＝8，求得AD＝AB，得到∠ABD＝30°，根据弧长公式得到的长为＝；根据勾股定理得到BE＝＝6，于是得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠OBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∵DE⊥BC，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝∠ODB+∠EDB＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝4，，
∴AB＝＝8，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BDO＝∠ABD＝∠DBC＝30°，∠A＝60°，
∴∠BDC＝30°，∠AOD＝60°，
∴的长为＝；
∴CD＝BC，
∵∠E＝90°，
∴DE＝，
∴BE＝＝6，
∵∠DCE＝∠CDB+∠CBD＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝，
∴CE＝＝2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，
25．（8分）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为480m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x＝20不符合题意，此题得解．
【解答】解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x）•（24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，
不符合题意，
答：人行通道的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
26．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A“剪纸”、B“沙画”，C“葫芦雕刻”，D“泥塑”，E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 120 ；统计图中的a＝ 12 ，b＝ 36 ．
（2）通过计算补全条形统计图．若该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数；
（3）剪纸比较优秀的是A1，A2两名女生和B1男生三名同学，若从比较优秀的3名同学中随机选取两名同学，参加市举办的剪纸比赛，请利用列表法或树状图法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）从两个统计图可知，A组有18人，占调查人数的15%，即可求出调查的样本容量；总人数乘以对应的百分比可得a、b的值；
（2）求出E组人数，补全统计图即可；根据样本中喜欢“葫芦雕刻”的百分比，估计总体2500人的是喜欢“葫芦雕刻”的人数；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）18÷15%＝120，a＝120×10%＝12，b＝120×30%＝36，
故答案为：120，12，36；
（2）E类别的人数为：120﹣18﹣12﹣30﹣36＝24（人），
补全条形统计图如图所示：
C类别所占的百分比为：30÷120＝25%，2500×25%＝625（人），
答：全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人；
（3）用树状图或列表法如下：
共有6种等可能的结果，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果有4种，
即恰好选到一名男生和一名女生的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图，能够理解统计表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；
（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．
【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，
∴4+2b＝0，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，
∴m＝3，
∴B（﹣1，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+2；
（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴D（1，﹣1），
∴AD＝，AB＝2，BC＝3，
∵BD2＝AD2+AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴tan∠ABD＝＝；
（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝﹣2x+1，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0），
设C（t，0），
如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，
∴∠ACB＝∠ABP
过B点作BQ⊥x轴交于点Q，
∴tan∠BCQ＝＝，
∴CQ＝9，
∴CO＝10，
∴C（﹣10，0）；
当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，
此时C（，0）；
综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．