广州市增城区东江外语实验学校2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题（学生版+教师版）

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时长120分钟 分值:120分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数．从而求出x的取值范围.
【详解】根据题意，得
，
解得，；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件．
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；
B、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；
C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；
D、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．
故选：D．
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
4. 以下各组数为三角形的三边长，其中能够构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. 7，24，25C. 8，13，17D. 10，15，20
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、72+242=252，能组成直角三角形，故此选项正确；
C、82+132≠172，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、102+152≠202，不能组成直角三角形，故此选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
5. 已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y=ax+b得：0=2a+b，
解得：2a=-b
=-2，
∵a（x-1）-b＞0，
∴a（x-1）＞b，
∵a＜0，
∴x-1＜，
∴x＜-1，
故选A．
6. 在下列给出条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定条件判断即可；
【详解】根据分析可得当，时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形能证明；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．
7. 如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上点处，则的长度为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键，属于中档题．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上点处，
，，
，则，
，
设，
则，，
，
解得．
故选：D．
8. 若三点 都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，根据，可得随的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵三点 都在函数的图象上，
而，
∴随的增大而减小，
又∵，
∴，
故选：A．
9. 在菱形ABCD中，AC是对角线，，连接DE．，，则DE的长为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接BD交AC于K．在Rt△AKD中，利用勾股定理求出DK，再求出EK，在Rt△DKE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：连接BD交AC于K．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AK=CK=8，
在Rt△AKD中，DK= ，
∵CD=CE，
∴EK=CE-CK=10-8=2，
在Rt△DKE中，DE=．
故选：A．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．
10. 如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k．
【详解】解：由，
∴，
∴四边形分成面积，
可求的直线解析式为，
设过的直线为，
将点代入解析式得，
∴直线与该直线的交点为，
直线与轴的交点为，
∴，
∴或，
∴，
∴直线解析式为；
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则______，______．
【答案】 ①. 4 ②. 5
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，根据（）即可求解．
【详解】解：由题意 ，
解得： ，
∴．
故答案为：4； 5．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
12. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得正方形对角线长为，结合数轴即可求解．
【详解】∵正方形ODBC中，OC=1，
∴BC=OC=1，∠BCO=90°．
∵在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB=．
∴OA=OB=．
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是．
【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，数形结合是解题的关键．
13. 将函数的图象平移，使它经过点，则平移后的函数表达式是____．
【答案】y＝3x﹣2
【解析】
【分析】根据函数图象平移的性质得出k的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案．
【详解】解：新直线是由一次函数y＝3x+1的图象平移得到的，
∴新直线的k＝3，可设新直线的解析式为：y＝3x+b．
∵经过点（1，1），则1×3+b＝1，
解得b＝﹣2，
∴平移后图象函数的解析式为y＝3x﹣2；
故答案为y＝3x﹣2．
【点睛】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化．
14. 如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
CD=AB=2，AD=BC=4，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4-x）2，
解得：x=，
即CE的长为，
DE=，
所以△DCE的面积= ，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
15. 如图，正方形ABCD是出四个全等的角三角形围成的，若，,则EF的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质得到BH=AE=5,得到EH=BE-BH=7,根据勾股定理计算即可.
【详解】,
同理，HF=7,
故答案为.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，AB＝20cm，点D是AB中点，点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，点P始终是线段CM的中点．对于下列结论：①CD＝10cm；②∠CDA＝60°；③线段CM长度的最小值是5cm；④点P运动路径的长度是10cm．其中正确的结论是 ___（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①根据直角三角形斜边中线定理可判定；②由题意易得，然后可得，则根据等腰三角形的性质可求解；③当时，CM的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质可求解；④由题意易得点P的运动轨迹为平行于AB的线段，进而根据三角形中位线可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝3∠B，
∴，即，
∴，
∵点D是AB中点，AB＝20cm，
∴，故①正确；
∴，
∴，故②错误；
当时，CM的值最小，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，故③正确；
取AC的中点E，连接PE，并延长EP，交BC于点F，如图所示：
∵点P始终是线段CM的中点，
∴，
∴，
∴点F为BC的中点，
∵点M从点A出发，沿线段AB运动到点B，
∴点P在线段EF上运动，
∴，
即点P运动路径的长度10cm，故④正确；
∴正确的结论是①③④；
故答案为①③④．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理、三角形中位线及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边中线定理、三角形中位线及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则计算，然后化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18. 如图，在中，是其对角线的中点，过点，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得出，则，然后利用ASA证明，则有，利用即可证明结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
,
．
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上
（1）请求边AB、AC、BC的长．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）AB＝，AC＝2，BC=5（2）△ABC是直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理的逆定理得出即可．
【详解】（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝，BC＝
（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝5，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
即△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
20. 如图在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作
图痕迹）；
（2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长．
【答案】（1）图形见解析（2）
【解析】
【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，在AC两侧有两个交点，过这两点作直线与AB交于点D，与AC交于点E；
（2）连接DC，由DE是AC的垂直平分线，可得DC=AD，在Rt△BCD中，利用勾股定理即可得.
【详解】（1）如图所示，DE即为所求；
（2）连接DC，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC=AD，
∵∠B=90°，
∴在Rt△BCD中，CD2 =BD2+BC2，
设AD=x，则x2=32+(4－x)2，解得x=，
即AD的长为.
【点睛】本题考查的是基本作图及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
21. 先化简，再求值：其中，．
【答案】ab，-1
【解析】
【分析】先把所给代数式化简，然后把，代入计算即可．
【详解】解：原式=
=
=ab，
当，时，
原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
22. 如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，进而求得，根据，进而根据菱形的性质求得面积．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥AB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
等边三角形
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴菱形．
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
23. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元，
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元
（2）①；②购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元
【解析】
【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【小问1详解】
解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，解得．
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元；
【小问2详解】
①根据题意得，，
即；
②根据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
24. 已知正方形，点F是射线上一动点（不与C、D重合）．连接并延长交直线于点E，交于H，连接，过点C作交于点G．
（1）若点F在边上，如图1
①证明：
②猜想的形状并说明理由．
（2）取中点M，连接．若，正方形边长为4，求的长．
【答案】（1）①见解析；②是等腰三角形，理由见解析；
（2）7或1．
【解析】
【分析】（1）①只要证明，即可解决问题；
②只要证明，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题.①如图当点F在线段上时，连接，②当点F在线段的延长线上时，连接．分别求出即可解决问题.
【小问1详解】
①证明：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：结论：等腰三角形，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【小问2详解】
①如图当点F线段上时，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
②当点F在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，
∴，
在中，，
∴．
综上所述，的长为7或1．
25. 平面直角坐标系中，直线l1:与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2:与x轴交于点C，与直线l1交于点P．
（1）当k=1时，求点P的坐标；
（2）如图1，点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于E，交直线l2于点F，若DF=2DE，求k的值；
（3）如图2，点P在第二象限内，PM⊥x轴于M，以PM为边向左作正方形PMNQ，NQ的延长线交直线l1于点R，若PR=PC，求点P的坐标．
【答案】（1）P（，）；（2）；（3）（，）
【解析】
【详解】（1把k=1代入l2解析式，当k=1时，直线l2为y=x+2．与l1组成方程组
， 解这个方程组得：，
∴P（，）；
（2）当y=0时，kx+2k=0 ，∵k≠0，∴x=-2,
∴C（-2，0），OC=2，当y=0时，-x+3=0，∴x=6，
∴A（6，0），OA=6 ，
过点P作PG⊥DF于点G，
在△PDG和△ADE中，

∴△PDG≌△ADE，
得DE=DG=DF，
∴PD=PF，
∴∠PFD=∠PDF
∵∠PFD+∠PCA=90°,∠PDF+∠PAC=90°
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA
过点P作PH⊥CA于点H，
∴CH=CA=4，
∴OH=2，
当x=2时,y=−×2+3=2代入y=kx+2k,得k=；
（3）在Rt△PMC和Rt△PQR中，

∴Rt△PMC≌Rt△PQR，
∴CM=RQ，
∴NR=NC，
设NR=NC=a,则R(−a−2,a)，
代入y=−x+3，
得− (−a−2)+3=a，解得a=8，
设P(m,n),则
解得
∴P（，）
考点：1．一次函数与二元一次方程组综合题；2．三角形全等的运用．