福建省福州第一中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

福州一中2023-2024学年第二学期开学初三数学适应性训练（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）1. 实数的相反数是（ ）A. B. C. D. 7答案：B解析：解：实数的相反数是，故选：B．2. 2022年11月5日，习近平在《湿地公约》第十四届缔约方大会开幕式上致辞，发言中指出，中国湿地保护取得了历史性成就，湿地面积达到56350000公顷，构建了保护制度体系，出台了《湿地保护法》。用科学记数法表示，正确的是（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：解：，故选：B．3. 如图所示，正三棱柱的俯视图是( )A B. C. D. 答案：B解析：该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，还有一条可以看到的水平棱（实线），故选：B．4. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：解：A. ，原式计算错误，故选项不符合题意；B. ，原式计算正确，故选项符合题意；C. ，原式计算错误，故选项不符合题意；D. ，原式计算错误，故选项不符合题意；故选：B．5. 已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　）A. B. C. D. 答案：B解析：解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，∴，∵，∴经过第二、三、四象限，故选项B符合题意．故选：B．6. 下列命题错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等且互相平分C. 菱形的对角线相等且互相平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分答案：C解析：A．平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意；B．矩形的对角线相等且互相平分，正确，不符合题意；C．菱形的对角线互相垂直且平分，而非相等，错误，符合题意；D． 正方形的对角线相等且互相垂直平分，正确， 不符合题意；故选：C．7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A. B. C. 且 D. 且答案：D解析：解：∵为一元二次方程，∴，∵该一元二次方程有两个实数根，∴，解得，∴且，故选：D．8. 如图，四边形内接于，，平分交于点E，若．则的大小为（　　）A. B. C. D. 答案：D解析：解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．9. 如图，的顶点坐标分别为，线段交x轴于点P，如果将绕点P按顺时针方向旋转，得到，那么点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 答案：C解析：解：∵、，设直线的解析式为，则，解得，∴，当时，，解得，∴，如图所示，过点B作于点D，过点作轴于点E， ∵将绕点P按顺时针方向旋转，得到，∴，，又∵， ，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，即，故选：C．10. 直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：①抛物线的对称轴是直线②抛物线与x轴一定有两个交点③关于x的方程有两个根，④若，当或时，其中正确的结论是（ ）A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解：①直线经过点，，，抛物线的对称轴为直线，故①正确；②，由①得，，，，抛物线与x轴一定有两个交点，故②正确；③当时，，抛物线也过，由得方程，方程的一个根为，抛物线，，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，，解得：，抛物线与轴的另一个交点为，关于x的方程有两个根，，故③正确；④当，当时，，故④错误；故选：B．二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）11. 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______.答案：x≠-2．解析：∵分式 在实数范围内有意义，∴x+2≠0，解得：x≠-2，则x的取值范围是：x≠-2．12. 已知圆锥的底面半径为3，母线为8，则圆锥的侧面积等于_______．答案：24π.解析：试题分析：直接根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解：圆锥的侧面积=2π×3×8÷2=24π.考点：圆锥的计算．13. 不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是 ________．答案：35解析：解：设绿球个数有x个，根据题意，得：，解得：，经检验：是分式方程的解，∴绿球的个数约有35个．故答案为：35．14. 如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为______． 答案：解析：解：∵四边形是菱形，∴，，，∴中：，∵面积，∴，故答案为：15. 如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n=____ .答案：15.解析：连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°-36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为15.16. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________. 答案：6解析：解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，∵，∴， ∵轴于点，∴，∴，∴，∴，∴，∵，的面积是，∴，∴，∴，则，即，解得，故答案为：6三、解答题（共9小题，共86分）17. 答案：解析：解：原式．18. 先化简，再求值：，其中．答案：，．解析：解：原式，当时，原式．19. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD= CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：DE=DF．答案：见解析解析：证明：，，DE⊥AB，DF⊥AC，，在与中，，20. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元?（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子?答案：（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元 （2）至少购进600个粽子小问1解析：设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则：．解得．答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；小问2解析：设购进个粽子，根据题意，得．解得．因为是正整数，所以最小值取600．答：至少购进600个粽子．21. 某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分竞赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：（1）如表中的______，______；（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．答案：（1）18，8 （2）小问1解析：抽取的学生人数为：（人，，由题意得：，，故答案为：18，8；小问2解析：将“小经”和“小武”分别记为：、，另两个同学分别记为：、，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，恰好抽到小经和小武概率为：．22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，连接． （1）求作的切线，交于点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：，答案：（1）见解析； （2）见解析．小问1解析：解：如图：即为所求； 作射线，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线，交于点Q，则直线即为所求；小问2解析：证明：连接，如图， 为直径，∴， ，，，，∵为的切线，∴， ，，，∴， 是的中位线，∴．23. 下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．项目主题：测量河流的宽度．项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板…，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：请你参与这个项目学习，并完成下列任务（1）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；（2）任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______（定出一条即可）；（3）任务三：请你再设计一个与小明不同的测量方案，并画图简要说明一下。答案：（1） （2）相似三角形对应边成比例 （3）见解析小问1解析：解：由题知，．，又，解得：．答：河流的宽度为．小问2解析：解：由题意得：相似三角形的对应边成比例（答案不唯一，合理即可）；小问3解析：解：（答案不唯一，合理即可）．在河对岸找一个参照物A，站在A的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，在处坚立一竹竿，然后继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．24. 如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C，作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连结交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．答案：（1） （2），或， （3），小问1解析：，，，，点，设二次函数的解析式为：，，，；小问2解析：如图2，当点在直线的上方时，过点作轴，交的延长线于点，设点，则点，，，，，，，或，，当点在的下方时，同理得出，，，此时点和点重合，故舍去，，或，；小问3解析：如图3，作于，交于，，，，，，，当时，．25. 如图1，已知线段，，线段绕点A在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且． （1）若，以为边在上方作，且，，连接，求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长；（3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．答案：（1）见解析 （2） （3）．小问1解析：证明：在中，，在中，，，，，，，，，，；小问2解析：在，，，，，，延长交于点，如图所示， ，，，由（1）可得，，，在中，，，，，即；小问3解析：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，， 同（1）可得，，，，在中，，，在以为圆心，为半径的圆上运动，当点，，三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，在中，，，，，，，，过点作于点， ，，，，，中，．组别成绩x（分）频数A6B14CmDnEp题目测量河流宽度目标示意图测量数据