北京市和平街第一中学2023-2024学年高二下学期期中调研数学试卷（学生版+教师版）

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第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 函数的导数为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量的分布列为：
则的数学期望的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 是函数导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（ ）

A. B. C. D.
5. 在的展开式中，常数项为（ ）
A. B. C. 120D. 160
6. 已知函数在定义域D内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A 12种B. 16种C. 20种D. 24种
8. 已知函数，则下列选项正确是（ ）.
A. B.
C. D.
9. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）
A. 12贝克B. 12e贝克C. 24贝克D. 24e贝克
10. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
①是奇函数；
②在R上是增函数；
③方程有且仅有1个实数根；
④如果对任意，都有，那么的最大值为2.
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 设函数，则__________．
12. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种.
13. 的展开式中的系数是________，二项式系数的和是________.
14. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______．
15. 已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式解集为__________.
16. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：
① 当时，；
② 在区间上单调递减；
③ 在区间上存在极小值；
④ 在区间上存在极小值.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
17 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最值．
18. 已知箱中装有2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，
（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；
（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．
19. 第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．
（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？
（2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；
（3）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：
假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
20. 已知，．
（1）求曲线在点处的切线；
（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；
（3）若，设，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．
21. 设函数．
（1）若，
①求曲线在点处的切线方程；
②当时，求证：．
（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．X
0
1
P
a
岁人群
其它人群
支持
不支持
支持
不支持
方案
人
人
人
人