06，2024年河南省开封市兰考县九年级中考二模数学试题

这是一份06，2024年河南省开封市兰考县九年级中考二模数学试题，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【详解】根据正数和负数的意义，将电梯上行4层楼记为，则电梯下行3层楼应记为．
故选A
2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键．
【详解】解：这个立体图形的主视图为：
试卷源自 试卷上新，即将恢复原价。故选：B．
3. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以
【详解】解：35800
故选D
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 一副三角板如图摆放，直线，则的度数是（ ）

A. 15°B. 30°C. 45°D. 75°
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形的性质，平行线的性质，即可求出角的度数．
【详解】解：如图，

∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据合并同类项，积的乘方，二次根式的减法，完全平方公式，逐一进行计算，即可得出结果．
【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意；
B、，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项正确，符合题意；
D、，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
6. 小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键．
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故选B．
8. 如图，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，过点B作于点E，由点B的坐标可得，利用勾股定理求出，根据菱形的性质得到，且，即可得到点C的坐标．
【详解】解：过点B作于点E，
点的坐标为，
，
，
四边形是菱形，
，且与x轴重合，
，
，
故选：C．
9. 某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，……，，使得，则的取值不可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】，判断出点，，……，在正比例函数上，根据图象判断出正比例函数图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可得到答案．
【详解】解：设，
则……，，
即点，，……，在正比例函数上，
如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点．
故选：D
【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键．
10. 如图（1），在中，，动点从点A出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为1cm/s，设点的运动时间为，的长度（cm），与的函数图象如图（2）所示．当AP恰好平分时的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值．
【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由题意中的函数图像知，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
解得或（舍），
，
，
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本体考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于零，列式求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
12. 不等式组：的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
13. 我国古代数学家名著《九章算术》记载“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来谷米512石，验得其中夹有谷粒．从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒16粒，估计这批谷米内夹有谷粒约是______石．
【答案】32
【解析】
【分析】根据样本中谷粒所占的比例即可判断总量中谷粒的占比．
【详解】样本中谷粒所占比例为：，
则总的512石谷米中含谷粒的量为：（石），
故答案为：32．
【点睛】本题考查了通过所占样本比例估算总体的知识，读懂题意是解答本题的关键．
14. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为______．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等，作出辅助线，构造直角三角形，是求解的关键．连接，，根据等腰三角形可求出，可证 ，求出，为等边三角形，根据切线的性质，可证，再证，在直角三角形中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴
在中，，，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，在矩形中，，E是边上一动点（不与点A，D重合），先将沿直线翻折，点A的对应点为F．再作点B关于直线的对称点G，连接．当点G恰好落在矩形的边上时，线段的长为______．

【答案】或3
【解析】
【分析】分点G落在上或者落在上两种情况分别求解即可．
【详解】解：如图①，点G落在上，

沿直线BE翻折，点A的对应点为F，
，
点B，点G关于直线EF的对称，，
∴B、F、G三点共线，
，
，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
如图②，点G在上，

由上可知，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为或3，
故答案为：或3
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质等知识点，分类讨论的思想是解决本题的关键．
三、解答题（共8个小题，共75分）
16. （1）计算：．
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及立方根的求解，化简绝对值，平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的求解计算各项再算加减即可；
（2）先根据平方差公式，单项式乘多项式去括号，再合并同类项即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位：）
数据统计表
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ； ；
（2）求B线路所用时间的平均数b；
（3）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．
【答案】（1）19，25
（2）
（3）选择路线更优
【解析】
【分析】本题考查数据的波动与集中程度，解题的关键是能够平均数，中位数，众数进行准确的计算，理解方差的意义，并进行作答．
（1），利用中位数，众数的定义进行计算；
（2）运用加权平均数计算公式进行计算即可；
（3）运用方差的意义进行解答即可．
【小问1详解】
求中位数首先要先排序，
从小到大顺序为：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35．共有10个数，
中位数在第5和6个数为18和20，
所以中位数为，
众数，
故答案为：19，25．
【小问2详解】
平均数，
小问3详解】
小红统计的选择线路平均数为22，选择线路平均数为26.8，用时差不太多．而方差，相比较路线的波动性更小，所以选择路线更优．
18. 如图，中，．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作平分线，交于点；
②作的垂直平分线，垂足为点，交于点；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握尺规作图，线段垂直平分线，角平分线是解题的关键．
（1）①根据作已知角的平分线的作法，即可求解；②根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解；
（2）连接，根据直线垂直平分，是的平分线，以及等腰三角形的三线合一的性质即可证明．
【小问1详解】
解：①如图所示，的平分线为所求；
②如图所示，的垂直平分线为所求；
【小问2详解】
证明：连接，

直线垂直平分，
，
，
等腰三角形，
是的平分线，
，且，
是的垂直平分线，
，
．
19. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为， 已知山坡的坡度， 米，米， 求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： ，
【答案】广告牌CD的高约为7.4米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰俯角的问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．
在中求出，，进而求出，即，再在中，得出，在中由边角关系求出，最终求出，取近似值得出答案．
【详解】解：如图，过点作，，垂足分别为、，
由题意可知，，，，米，米，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，米，
（米，
，
答：广告牌CD的高约为7.4米．
20. 为美化校园，某校需补栽甲、乙两种花苗．经咨询，这两种花苗的价格都有零售价和批发价之分（若按批发价购买，则每种花苗购买数量不少于100株），零售时每株甲种花苗比每株乙种花苗多5元．已知用零售价购买相同数量的甲、乙两种花苗，所用费用分别是100元、50元．
（1）求甲、乙两种花苗的零售价；
（2）该校预计批发这两种花苗共1000株，且甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，甲、乙两种花苗的批发价分别为8元/株、2元/株．设甲种花苗的批发数量为m株，相比按零售价购买可节约的资金总额为W元，求W与m之间的函数关系式，并求节约资金总额的最大值．
【答案】（1）甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株
（2）与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元
【解析】
【分析】（1）设乙种花苗的零售价为x元/株，则甲种花苗的零售价为（x＋5）元/株，根据数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分别用100元和50元采购了相同株数的甲、乙两种花苗，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买甲种花苗m株，则购买乙种花苗（1000−m）株，根据购进甲种花苗的株数不少于乙种花苗株数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为元，根据所需资金总额＝甲种花苗的批发价×购进数量＋乙种花苗的批发价×购进数量，即可得出关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
设乙种花苗的零售价为元/株，则甲种花苗的零售价为元/株．
由题意，可得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲、乙两种花苗的零售价分别为10元/株、5元/株．
【小问2详解】
由题意，可得．
∵甲种花苗的数量不少于乙种花苗数量的，
∴，
解得，
故当时，取得最大值，为2750．
答：与之间的函数关系式为，节约资金总额的最大值是2750元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于m的函数关系式．
21. 如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接．
（1）求和的值；
（2）当时，直接写出的解集；
（3）求阴影部分的面积．
【答案】（1），
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）分别将代入与中，即可求出和的值；
（2）联立直线与反比例函数，求出点B的坐标，再根据即为反比例函数图象在一次函数图象的上方时自变量的取值，结合图象即可解答；
（3）由点A，点B的坐标得出点C的坐标，再根据点，为等腰两腰的中点，由勾股定理求出的长，根据即可求解．
【小问1详解】
解：将代入中，则，解得：；
将代入中，则，解得：；
【小问2详解】
解：由（1）知直线与反比例函数，
联立，则，即，
解得：或，
当，，
根据题意：，
即为反比例函数图象在一次函数图象的上方，
或；
【小问3详解】
解：∵点，点，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴
又
∴
又点，为的中点，
∴,
∴，即是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是的直径，
∴的半径长为，
．
【点睛】本题主要考查求一次函数与反比例函数解析式，一次函数与反比函数交点问题，等腰三角形的性质以及求不规则图形的面积，勾股定理，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
22. 已知二次函数的图象经过点和，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象．已知直线：恒过点，当直线与图象有两个公共点时，请直接写出的取值范围；
（3）在第（2）题的条件下，取最大值时，将直线向下平移，交抛物线于点和点，交线段于点，结合函数的图象，求的取值范围．
【答案】（1）二次函数的表达式为，顶点坐标
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；
（2）二次函数的图象在点，之间的部分（包含点，）记为图象，求出点C的坐标，再根据直线：与图象有两个公共点，当直线：过点C，且在点C的下方和过点D在点D的下方时，直线：与图象有两个公共点，将点求出据此判断的范围；
（3）先求出点B的坐标，可得，根据，则直线为：，易得轴，由二次函数的对称轴是直线，推出，故．
【小问1详解】
解：根据题意得：，即，
解得：，
二次函数的表达式为．
，
顶点坐标为；
【小问2详解】
解：，
，
直线恒过定点，．
如图，当直线：过点C，且在点C的下方和过点D在点D的下方时，直线：与图象有两个公共点，
当直线经过点C时，
轴，
，
当直线经过点时，与y轴交于点E，
根据题意得：，
解得：，，
时，直线：与图象有两个公共点；
【小问3详解】
解：令，则或，
根据题意得：，
，
如图，
由题意，则直线为：，
轴，
二次函数的对称轴是直线，
．
．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象的几何变换，一次函数与二次函数交点问题．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化是解题的关键．
23. 如图，在矩形中，，点是对角线上一点，，延长交于点，过点作，交于点，交于点，点是中点，连接．
（1）问题提出：
①如图1，若，则______，______；
②如图2，若，求和的长度．
（2）推广应用：若，请直接写出和的长．（用已知数或含的式子表示）
【答案】（1）①，；②，
（2），
【解析】
【分析】（1）①由，点是的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出，根据题意，易证，得到，再证明，得到，求出，即；②同理①，同理①易证，得到，即可求出，再证明，得到，由矩形中，，即可求出；
（2）同理（1）求解即可．
【小问1详解】
解：①，点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
②同理①，
同理①得：，
，
，
，
，
，
，
，
矩形中，，
；
【小问2详解】
解：同理（1）得，，
，
，
，
，
，
，
，
矩形中，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，熟练掌握相似三角形判定定理是解题的关键．试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A线路所用时间
15
32
15
16
34
18
21
14
35
20
B线路所用时间
25
29
23
25
27
26
31
28
30
24
平均数
中位数
众数
方差
A线路所用时间
22
a
15
63.2
B线路所用时间
b
26.5
C
6.36