2024届江苏宿迁高三信息卷数学试题及答案

这是一份2024届江苏宿迁高三信息卷数学试题及答案，共17页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页， 19 小题， 满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横 贴在答题卡上“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的 答案信息点涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不 能答在试卷上。
3． 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案， 然后再写上新 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1 ．已知集合 A = {x 0 < x < m }, B = {x x2 - 3x + 2 > 0}，若 CR B A ，则实数m 的取值范围为
A． (-∞, 2] B． (1, 2] C． [2, +∞) D． (2, +∞)
2． 已知抛物线 C : x2 = y ，点 M(m,1) ，则“ m >1 ”是“过 M且与 C 仅有一个公共点的直 线有 3 条 ”的
A ．充分条件 B． 必要条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3． 已知函数 f (x) 为 R 上的奇函数，且当 x > 0 时 ， f lg2x -1 ，则 f (-) =
A． B． C． D .
4． 已知函数 = csx+ cs 则下列结论正确的是
A． 是 f 的一个单调增区间
B．（ - ，0）是 f (x) 的一个对称中心
,0] 上值域为
D ．将 f(x) 的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析 式为 csx
5．已知在复平面内复数z1 ，z2 对应的向量分别为 OZ1 ，OZ2 ．若 z1 = 1 - i ，z2 = 4 ，则 Z1Z2
在 OZ1 上的投影向量为
A． (1，0) B． (1，-1) C． (2，- 2) D． (3，0)
6 ．在同一平面直角坐标系内，函数 y = f (x) 及其导函数 y = f ’(x) 的图象如图所示，已知
两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 (0，1) ，则
A． 函数 y = f (x)ex 的最大值为 1
B． 函数 y = f (x)ex 的最小值为 1
C． 函数 y = 的最大值为 1
D． 函数 y = 的最小值为 1 （第 6 题）
7． 甲、乙、丙等 5 人站成一排 ， 甲乙相邻，且乙丙不相邻， 则不同排法共有
A ．24 种 B ．36 种 C ．48 种 D ．72 种
8 ．若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球 ．在 四棱锥 P- ABCD中， 侧面 PAB 是边长为 1 的等边三角形，底面 ABCD为矩形， 且平 面 PAB 丄 平面 ABCD．若四棱锥 P- ABCD存在一个内切球，设球的体积为V1 ，该四棱
2
锥的体积为V2 ，则 的值为
A． B． C． D .
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 ．为了研究 y 关于x 的线性相关关系，收集了 5 对样本数据（见表格），若已求得一元线
性回归方程为 y = ax + 0.34 ，则下列选项中正确的是
A． a = 0.21
B． 当 x = 5 时的残差为 0.06
C ．样本数据 y 的 40 百分位数为 1
D ．去掉样本点 (3,1) 后，y 与x 的相关系数不会改变
（第 9 题）
10．在△ABC 中，角A ，B ， C 所对的边分别为 a ，b ，c ．若 ccs 2 in C ，且
边 AC 上的中线 BD 长为 3 ，则
A． B． b 的取值范围为[2, 2 )
C . △ABC 面积的最大值为 2 3 D . △ABC 周长的最大值为3 6
11． 已知定义在 R 上不为常数的函数 f (x) 满足 f (2x) + f (x + y)f (x — y) = 0 ，则
A． f (0) = —1 B． f (3) = [f (1)]3 C． f (x)f (—x) = 2 D． f (x) + f (—x) ≤—2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．设 (1+ x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn (n ∈ N*) ，若 a5 a4 ，且 a5 > a6 ，则 ai = ______ .
13 ．「x7|(x ∈R) 表示不小于 x 的最小整数，例如 = —1．已知等差数列{an } 的
前 n 项和为 Sn ，且 S7 = —7 ，a4 + a6 = —3．记 bn =「an 7|，则数列{bn } 的前 10 项的和 .
14 ．若椭圆 的左，右焦点分别为 F1，F2 ，离心率为 ，点 P(x0, y0 )
在椭圆 C 上， △PF1F2 的内切圆的半径为 1 ，则 y0 的值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某批零件一级品的比例约为 80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会 发生故障，而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 0.1 ．某项任务需要使用该 零件 n 次（若使用期间出现故障则换一件使用）.
（1）某零件在连续使用 3 次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
（2）当 n = 2 时，求发生故障次数 X 的分布列及期望 .
16．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，B1C1 为半个圆柱上底面 的直径，上ACB = 90。，AC = BC = 2 ，点 E ，F 分别为 AC ，AB 的中点，点 D 为 B1C1 的中点 .
A
（1）证明：平面 BCD∥平面C1EF ；
P
E C
（2）若 P 是线段C1F 上一个动点， 当 CC1 = 2 时， 求直线 A1P 与平面 BCD所成角的正弦值的 最大值 .
A
F
（第 16 题）
17． 已知双曲线 的左、右焦点分别为 在双
曲线 C 上，且直线 MF2 的倾斜角是直线 MF1 的倾斜角的 2 倍 .
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）若 A ，B 是双曲线 C 上的两个动点，且恒有 上AOB = ，是否存在定圆与直线 AB
相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，请说明理由 .
18 ．在数列 {an } 中， a1 = 2,an + an+1 = 3. 2n (n∈N*) .
（1）求数列 {an }的通项公式；
（2） 已知数列 {bn } 满足 4b1 —14b2 —1 4bn —1 = anbn ；
①求证：数列 {bn } 是等差数列；
②若b2 = 3 ，设数列 的前n项和为Tn ，求证： Tn < 14 .
19． 已知函数
（1）若曲线 y = f (x) 在 x = 2 处的切线的方程为 x + y = b ，求实数 b 的值；
（2）若函数 f(x) ≤lna + 2a 恒成立，求 a 的取值范围 .
高三年级信息卷 数学答案
一、选择题：
1~4 ．D AAC 5~8 ．BCBC
二、选择题：
9 ．BD 10 ．AB 11．ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ．1024 13 ． -15 14 ．4
四、解答题：
15．某批零件一级品的比例约为 80%，其余均为二级品．每次使用一级品零件时肯定不会发生故障， 而在每次使用二级品零件时发生故障的概率为 0. 1 ．某项任务需要使用该零件 n 次（若使用期间 出现故障则换一件使用）.
（1）某零件在连续使用 3 次没有发生故障的条件下，求该零件为一级品的概率；
（2）当 n =2 时，求发生故障次数 X 的分布列及期望.
解：记事件 A = “从这批产品中任取一件为一级品 ”，则P(A) = 0.8, P(A) = 0.2 ，
记事件 Bn = “使用零件 n 次，没有发生故障 ”，则 P(Bn | A) = 1 ， P(Bn | A) = 0.9n .
（1） P(B3 ) = P(B3 | A)P(A) + P(B3 | A)P(A) = 1 × 0.8 + 0.9 3 × 0.2 = 0.8 + 0.1458 = 0.9458 ，
……………………………………………………3 分
所以 ． ……………………………6 分
（2） X 可能取 0 ，1 ，2.
P(X = 0) = P(B2 A)P(A) + P(B2 A)P(A) = 1 × 0.8 + 0.9 2 × 0.2 = 0.962 ， …………………8 分
P(X = 1) = P(AB1) P(A) + P(AB1) + P(A(B1B1))
= P(B1 A)P(A) P(A) + P(B1 A)P(A) + P((B1 B1 ) A)P(A)
= 0.1 × 0.2(0.8 + 0.9 × 0.2) + 0.9 × 0.1 × 0.2 = 0.0376 ， …………………10 分
P(X = 2) = [P(AB1)]2 = (0.2 × 0.1)2 = 0.0004 ， …………………12 分
所以 E(X) = 0.0384 ． …………………13 分
16 ．证明：（1）连C1D ，由点D 为EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 3(一),B)1C1 的中点， B1C1 为半个圆柱上底面的直径知 LDC1B1 = 45。，
由 LACB = 90。， AC = BC = 2 知LC1B1A1 = 45。， C1D = · ,
则 LDC1B1 = LC1B1A1 ，又 A1，B1，D，C1 四点共面，所以 A1B1 Ⅱ C1D ， …………2 分
X
0
1
2
P
0.962
0.0376
0.0004
由 A1ABB1 为直三棱柱的侧面知A1B1 Ⅱ AB ，即 A1B1 Ⅱ FB ，则C1D Ⅱ FB ，
由F 为 AB 的中点 AC = BC = 2 得 FB = ·2 = C1D ， 所以四边形FBDC1 为平行四边形，则 BD Ⅱ FC1 ，
又BD 平面BCD，FC1 丈 平面BCD ，则FC1 Ⅱ 平面BCD ， ………………4 分
因为 E ， F 分别为 AC ， AB 的中点，所以EF Ⅱ BC ，
又EF 丈平面BCD ， BC 平面BCD ，所以 EF Ⅱ 平面BCD ， ………………6 分
又EF∩ FC1 = F , EF ,FC1 平面EFC1 ，所以平面 BCD ∥ 平面C1EF ． ……………8 分
（2）（法一）以 {EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(-),C)-A , EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(-),C)-B , EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 9(-),C)-C-→ } 为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz ，
则E(1, 0, 0), F(1, 1, 0), C1(0, 0, 2), A1(2, 0, 2) ，
---
所以 EF = (0, 1, 0), EC1 = (-1, 0, 2), A1F = (-1, 1, -2) ，
-- ---
---→ --- ---
FC1 = (-1, -1, 2) ，
z
设FP = λFC1 = (-λ, -λ, 2λ), λ∈ [0, 1] ，
C1
A1
→ → →
P
E C
则 EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8(-),A) = EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 8(-),A)- + F--P- = (-λ- 1,-λ+ 1, 2λ- 2) ，
D
B1
由平面 BCD ∥ 平面C1EF 知直线 A1P 与平面BCD 所成角即为直线 A1P 与平面C1EF 所成角，
F
A
x
由{ → , 取 z = 1 ，
设平面C1EF 的法向量为 n = (x,y,z ) ， [n . E--F-→ = y = 0
B
（第 16 题）
y
ln . EC1 = -x + 2z = 0
则平面C1EF 的一个法向量为 n = (2, 0, 1) ， ……………11 分
设直线 AP 与平面C1EF 所成角为θ , 则
---→ EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 5(-),A)- . n 4
\ 3 3
sinθ= cs A1P, n = EQ \* jc3 \* hps22 \\al(\s\up 3(-),A)n = 5 6(λ- 2)2 + 10 ， …………………………14 分
又λ∈ [0, 1] ，则λ= 时， sinθ 的最大值为 ． …………………………15 分
所以直线 A1P 与平面 BCD 所成角的正弦值的最大值为 .
A1
（法二）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， CC1 丄 底面ABC ， 因为 EF 底面ABC ，所以 CC1 丄 EF ，
由（1）知 EF Ⅱ BC ， BC 丄 AC ，所以EF 丄 AC ， 又 AC ∩ CC1 = C , AC , CC1 平面AA1C1C ，
A
所以EF 丄 平面AA1C1C ，
数学答案 第 2 页 （共 7 页）
B1
I
D
C1
F
B
（第 16 题）
H P
E C
因为 EF 平面EFC1 ，
所以平面EFC1 丄 平面AA1C1C ， 过 A1 作 A1H 丄 EC1交EC1 于H ，
因为平面EFC1 ∩ 平面AA1C1C = C1E ，所以 A1H 丄 平面C1EF ， 又平面 BCD ∥ 平面C1EF ，
则直线 AP 与平面 BCD 所成角即为直线 AP 与平面C1EF 所成角上A1PH ， 因为 Rt△C1EC ∽ Rt△A1HC1 且正方形 ABCD 的边长为 2，
所以 = ，则 A1H =
又 sin 上A1PH = ，要使 sin 上A1PH 值最大，
则 A1P 最小，在△A1FC1 中 A1F = FC1 = 6 , A1C1 = 2 ，
过 A1 作 A1P 丄 C1F 交 FC1 于 P ，由等面积可求出 A1P = ，此时 sin 上A1PH = 所以直线 A1P 与平面 BCD 所成角的正弦值的最大值为 .
17．（1）设双曲线的焦距为 2c ，因为直线MF2 的倾斜角是直线PF1 的倾斜角的 2 倍，所以F1F2 = F2M ，
c25c+22 = 2c, c = 2或 c = ， ……………………2 分
点M ( , ) 在双曲线 C 上 所以 ，
联立 4 得 ，或 ， …………………………4 分
所以双曲线方程为： x2 = 1 ． …………………………5 分
（2）( ⅰ ) 若直线 AB 的斜率不存在，设 AB 方程为x = t ，
因为 上AOB = , 则 = 0, 即t 2 y0 2 = 0，
由 = 1解得 t = ± 可得原点到直线 AB 的距离为 ． …………………7 分
( ⅱ ) 若直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为l : y = kx + m ，
π -- ---→
又 上AOB = 2 ， 设A(x1, y1 ), B(x2, y2 ), 则OA .OB = 0, 即x1x2 + y1y2 = 0，
则 (k2 +1)x1x2 + km(x1 + x2 ) + m2 = 0 ，（*） …………………………9 分
联立 得 ( 3 -k2 )x2 - 2kmx - m2 - 3 = 0 ，
当 3 -k2 ≠ 0 且 Δ = (2km)2 + 4(3 -k2 )(m2 + 3) > 0 ，即 k = ± · 且 k2 < m2 + 3 时，
x1 + x2 = ,x1x2 = ，代入 …………………………11 分
得 (k2 +1)-(m2 + 3) + km . 2mk + m2 (3 -k2 ) = 0 ， 即 2m2 = 3(k2 +1) （ k = ± ）， ……12 分
k2 + 1 k2 + 1 k2 + 1 2 2 ．
原点 O 到直线 AB 的距离为 m = · = · (k2 +1) = · = ·· ………14 分
综合（ ⅰ ）（ ⅱ），存在以原点为圆心，半径为 的圆与直线 AB 相切，
所求定圆的方程为 x2 + y2 = …………………………15 分
18 ．（1）因为 an + an+1 = 3 . 2n (n ∈ N* ) ，
所以 an+1 = -an + 3 . 2n ，
所以 = - . + ，
所以 -1 = - . (-1) ， ……………………………………………3 分
因为 a1 = 2 ，所以 n=1 时， -1 = 0 ，
所以数列 {-1} 是各项为 0 的常数列，即 - 1 = 0 ，
所以 an = 2n ． ……………………………………………5分
（分奇偶项做每做出一种情况得 2 分，得出统一通项公式得 1 分）
（2）①由 4b1 -14b2 -1 …4bn -1 = anbn 得 4b1 +b2 +…+bn -n = (2n )bn = 2n.bn
所以 2(b1 + b2 + … + bn ) - 2n = n . bn ① …………………………………………7 分
所以 2(b1 + b2 + … + bn+1 ) - 2(n + 1) = (n + 1) . bn+1 ②
②-①得： (n - 1). bn+1 = nbn - 2 ③ ……………………………………………9 分
所以 n . bn+2 = (n + 1)bn+1 - 2 ④
④-③得 n . bn+2 + nbn = 2nbn+1 ，所以bn+2 + bn = 2bn+1 即bn+2 - bn+1 = bn+1 - bn
所以数列{bn } 是等差数列． ……………………………………………11 分
②当 n = 1 时， 由 4b1 -14b2 -1 …4bn -1 = anbn 得 4b1 -1 = a1b1 ，所以b1 = 2 ，
又b2 = 3 ，所以bn = n + 1 ， ……………………………………………13 分
所以 ， …………………15 分
14 22 22 32 n2 + 5n + 8 (n + 1)2 + 5(n + 1) + 8
即 Tn = c1 + c2 + … + cn = ( 20 - 21 ) + ( 21 - 22 ) + … + [ 2n- 1 - 2n ]
= 14 - < 14 ． …………………………………………17 分
19 ．解：（1）因为 f(x) = ln(x - a) + ·i9a - 4x(a > 0) ，函数的定义域为
所以 ………………………………2 分
由曲线 y = f(x) 在 x = 2 处的切线的方程为 x + y = b ，得 f’(2) = -1 ，
所以-8 = -1 ， ………………………………4 分
（方法一）方程化为
两边平方并化简得9a3 - 66a2 +145a - 88 = 0 ， 所以 (a -1)(9a2 - 5a + 88) = 0 ，
又 9a2 - 5a + 88 > 0 (Δ = (-5)2 - 4× 9 × 88 < 0 ），
所以 (a -1)(9a2 - 5a + 88) = 0 有唯一解 a = 1 （检验适合） ， ………………………………6 分
所以 f(x) = ln(x - 1) + · , f(2) = 1 ，
所以切点坐标为 (2, 1) ，代入直线方程 x + y = b 得b = 3 ． ………………………………8 分
所以函数 h(a) 是 ( , 2) 上的递增函数，又 h(1) = -1 ， 所以方程-8 = -1 有唯一解 a = 1 ，
（下同法一）
（2）（法一） f(x) = ln(x - a) + (a > 0) ，定义域为 (a, ] ，
设 g(x) = ·、i9a - 4x - 2(x - a) ，所以 g ’(x) = - - 2 < 0 ，
所以 g(x) 在 (a, ) 上递减，又 g(a) = · > 0 ， g() = - < 0 ，
所以 彐x0 ∈ (a, ) ，使得 g(x0 ) = 0 ，即 f’(x0 ) = 0 ， ………………………………10 分
当x ∈(a, x0 ) 时， g(x) > 0 ，即 f’(x) > 0 ，函数 f(x) 递增，
当 < 0 ，即 f’ < 0 ，函数 f 递减，
所以函数 f(x) 的最大值 fmax (x) = f (x0 ) = ln(x0 - a) + · ， ………………12 分
又 g(x0 ) = ·9a - 4x0 - 2(x0 - a) = 0 ，
所以 ·9a - 4x0 = 2(x0 - a) ，
所以 fmax (x) = f (x0 ) = ln(x0 - a)+ 2(x0 - a) ， …………………………………………13 分
因为 f(x) ≤ ln a + 2a 恒成立，即 ln(x0 - a) + 2(x0 - a) ≤ln a + 2a 恒成立，
设 h(x) = ln x + 2x ，则 h’(x) = + 2 > 0 ，所以 h(x) 递增，
所以 x0 - a ≤ a ，即 x0 ≤ 2a 恒成立， …………………………………………15 分
因为 g(x) 在 (a, ) 上递减，且 g(x0 ) = 0 ，
所以只需 g(2a) ≤ 0 恒成立，即 ·a - 2a ≤ 0 ，
又 a > 0 ，所以 a ≥ ． …………………………………………17 分
（法二）因为函数 f(x) ≤ ln a + 2a 恒成立，函数的定义域为 (a, ] ，
所以 f(2a) ≤ ln a + 2a 成立，得 ln a + · ≤ ln a + 2a ，得 ·ia ≤ 2a ，即 a ≥ ， f(x) = ln(x - a) + ·(a > 0) ，
设 g(x) = ·i9a - 4x - 2(x - a) ，所以 4x - 2 < 0 ，
所以 g(x) 在 (a, ) 上递减，又 g(a) = · > 0 ， g(2a) = · - 2a = ·(1 - 2 ·ia ) ≤0 ，
所以 彐x0 ∈ (a, 2a) ，使得 g(x0 ) = 0 ，即 f’(x0 ) = 0 ，
当x ∈(a, x0 ) 时， g(x) > 0 ，即 f’(x) > 0 ，函数 f(x) 递增，
当x ∈(x0 , ) 时， g(x) < 0 ，即 f’(x) < 0 ，函数 f(x) 递减，
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所以函数 f(x) 有最大值 fmax 9a—4x0 ，
所以 9a—4x0 = 2
所以 fmax (x) = f (x0 ) = ln(x0 — a) + 2(x0 — a) ，又x0 ∈ (a, 2a) ，
设 h(x) = ln(x — a) + 2(x — a), x ∈ (a, 2a) ，显然 h(x) 递增，且 h(2a) = ln a + 2a ， 又x0 ∈ (a, 2a) ，所以 h(x0 ) < h(2a) = ln a + 2a ，
即函数 f(x) ≤ ln a + 2a 恒成立，所以 a 的取值范围是 a ≥ .