江苏省苏州市南环实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案)
展开
这是一份江苏省苏州市南环实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含答案),共21页。
C.D.
2.(2分)下列调查中,适合用普查方式的是( )
A.检测某城市空气质量
B.检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C.检测一批节能灯的使用寿命
D.检测某批次汽车的抗撞能力
3.(2分)若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A.2B.3C.D.﹣1
4.(2分)在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中黄球估计有( )
A.15个B.20个C.30个D.35个
5.(2分)下列事件为确定事件的是( )
A.抬头会看到飞机
B.抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C.射击运动员射击一次命中靶心
D.长度分别是4,6,8的三条线段能围成三角形
6.(2分)已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2的值为( )
A.﹣2B.2C.﹣1D.1
7.(2分)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中正确的有( )
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;
③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.
A.3个B.4个C.1个D.2个
8.(2分)如图,在▱ABCD中,已知AD=8cm,AB=5cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
9.(2分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=25°,则旋转角α的度数是( )
A.48°B.50°C.52°D.55°
10.(2分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E、F分别是边AD、AC上的点,且AE=1,BF⊥EF,则CF的长是( )
A.B.C.D.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
11.(3分)方程x2=4的解为 .
12.(3分)某校为了了解本届初三学生体质健康情况,从全校初三学生中随机抽取85名学生进行调查,上述抽取的样本容量为 .
13.(3分)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,朝上一面的点数为奇数的可能性大小是 .
14.(3分)已知方程(2﹣m)x|m|﹣x+3=0,当m= 时,是关于x的一元二次方程.
15.(3分)菱形的面积是24,一条对角线的长为6,则菱形的另一条对角线的长为 .
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO,垂足为点E,BD=12cm,则AB的长为 cm.
17.(3分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是线段AO、BO的中点,若EF=3,△OAB的周长是14,则AC+BD= .
18.(3分)如图,点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一点,且∠BAE=30°,AE交对角线BD于点F,∠ADB的平分线MD交AE于点M,点P是线段MD上一动点,过点P作PQ⊥BD于点Q,连接PF,则PF+PQ的最小值为 .
三.解答题(满分56分)
19.(9分)用适当的方法解方程;
(1)x2﹣2x﹣3=0;
(2)3x(x﹣1)=2(x﹣1);
(3)(x+1)(x﹣1)=.
20.(6分)已知关于x的方程x2﹣(m+1)x+2(m﹣1)=0.
(1)求证:无论m取何值时,方程总有实数根;
(2)如果方程有两个实数根x1,x2,当(x1+x2)﹣x1x2=4时,求m的值.
21.(6分)某校开展课后延时服务,计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组,由于师资等条件的限制,每人只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)参加这次问卷调查的学生人数是 人,请补全条形统计图;
(2)选择“围棋”课外兴趣小组的学生所占的百分比为 %;
(3)扇形统计图中,“摄影”对应扇形圆心角的度数为 °;
(4)若该校共有1200名学生参加课后延时服务,请估计该校选择“书法”和“围棋”课外兴趣小组的学生共有多少人?
22.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求BC的长.
23.(5分)如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(3,3).
(1)试画出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,写出点B2的坐标为 ;
(3)请在x轴上找一点D得到▱ACBD,则点D的坐标为 ,若直线平分▱ACBD的面积,则b= .
24.(8分)对于实数a,b,定义新运算“△”:a△b=,例如:4△2,因为4>2,所以4△2=42﹣4×2=8.
(1)求1△(﹣2)和(﹣1)△2的值;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,且x1<x2,求x1△x2+3x2的值.
25.(8分)在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,点A的对应点为A'.
(1)求证:DG=DH;
(2)连接BG,求证:四边形BHDG是菱形;
(3)求折痕GH的长.
26.(8分)如图1,四边形ABCD是菱形,AD=5,过点D作AB的垂线DH,垂足为H,交对角线AC于M,连接BM,且AH=3.
(1)DH= ;DM= ;
(2)如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当点P在边AB上运动时,是否存在这样的t的值,使∠MPB与∠BCD互为余角?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)
1.(2分)下面的图案中,是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项正确;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
2.(2分)下列调查中,适合用普查方式的是( )
A.检测某城市空气质量
B.检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况
C.检测一批节能灯的使用寿命
D.检测某批次汽车的抗撞能力
【解答】解:A.检测某城市空气质量,适合抽样调查,故不符合题意;
B.检测神舟十三号载人飞船的零部件质量情况,适合普查,故符合题意;
C.检测一批节能灯的使用寿命,适合抽样调查,故不符合题意;
D.检测某批次汽车的抗撞能力,适合抽样调查,不符合题意.
故选:B.
3.(2分)若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A.2B.3C.D.﹣1
【解答】解:∵方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即1﹣4m>0,解得,
∴m的值可能是﹣1,
故选:D.
4.(2分)在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中黄球估计有( )
A.15个B.20个C.30个D.35个
【解答】解:设袋中有黄球x个,由题意得=0.3,
解得x=15,
∴黄球可能有15个.
故选:A.
5.(2分)下列事件为确定事件的是( )
A.抬头会看到飞机
B.抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上
C.射击运动员射击一次命中靶心
D.长度分别是4,6,8的三条线段能围成三角形
【解答】解:A、抬头会看到飞机,是随机事件,不符合题意;
B、抛掷1枚质地均匀的硬币反面朝上,是随机事件,不符合题意;
C、射击运动员射击一次命中靶心,是随机事件,不符合题意;
D、长度分别是4,6,8的三条线段能围成三角形,是必然事件,属于确定事件,符合题意;
故选:D.
6.(2分)已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2的值为( )
A.﹣2B.2C.﹣1D.1
【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=﹣=2.
故选:B.
7.(2分)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中正确的有( )
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;
③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.
A.3个B.4个C.1个D.2个
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AB=BC时,它是菱形,故①正确,
当AC⊥BD时,它是菱形,故②正确,
当∠ABC=90°时,它是矩形,故③正确,
当AC=BD时,它是矩形,故④错误,
故选:A.
8.(2分)如图,在▱ABCD中,已知AD=8cm,AB=5cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于( )
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AD=8cm,AB=5cm,
∴AD=BC=8cm,AB=CD=5cm,AD∥BC,
∴∠ADE=∠DEC,
∵E平分∠ADC,
∴∠ADE=∠EDC,
∴∠EDC=∠DEC,
∴CE=DC=5cm,
∴BE=BC﹣CE=3cm,
故选:C.
9.(2分)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=25°,则旋转角α的度数是( )
A.48°B.50°C.52°D.55°
【解答】解:∵DE⊥AC,∠CAD=25°,
∴∠ADE=90°﹣25°=65°.
由旋转可知,
AB=AD,∠B=∠ADE=65°,
∴∠ADB=∠B=65°,
∴∠BAD=180°﹣65°﹣65°=50°,
即旋转角α的度数为50°.
故选:B.
10.(2分)如图,正方形ABCD的边长为3,点E、F分别是边AD、AC上的点,且AE=1,BF⊥EF,则CF的长是( )
A.B.C.D.
【解答】解:过F作GH⊥AD,
由正方形ABCD的边长为3,且AE=1,BF⊥EF,
得△EGF~△FHB,
得,
设FH=HC=x,则BH=FG=3﹣x,EG=3﹣x﹣1=2﹣x,
得,
得FH=x=1,
得CF=FH=.
故选:A.
二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)
11.(3分)方程x2=4的解为 x1=2,x2=﹣2 .
【解答】解:开方得,x=±2,
即x1=2,x2=﹣2.
故答案为,x1=2,x2=﹣2.
12.(3分)某校为了了解本届初三学生体质健康情况,从全校初三学生中随机抽取85名学生进行调查,上述抽取的样本容量为 85 .
【解答】解:由题意,可知本题随机抽查85名同学,所以样本容量是85.
故答案为:85.
13.(3分)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,朝上一面的点数为奇数的可能性大小是 .
【解答】解:∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,朝上一面的点数是奇数的有3个,
∴掷得朝上一面的点数是奇数的概率为:.
故答案为:.
14.(3分)已知方程(2﹣m)x|m|﹣x+3=0,当m= ﹣2 时,是关于x的一元二次方程.
【解答】解:∵(2﹣m)x|m|﹣x+3=0是关于x的一元二次方程.
∴2﹣m≠0,|m|=2,
∴m=﹣2,
故答案为:﹣2.
15.(3分)菱形的面积是24,一条对角线的长为6,则菱形的另一条对角线的长为 8 .
【解答】解:菱形的面积计算公式S=ab(a、b为对角线的长度),
已知S=24,a=6,
则b=8,
故答案为 8.
16.(3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE垂直且平分线段BO,垂足为点E,BD=12cm,则AB的长为 6 cm.
【解答】解:∵AE垂直且平分线段BO,
∴AB=AO,
∵四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD相交于点O,BD=12cm,
∴,
∴AB=AO=6cm,
故答案为:6.
17.(3分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是线段AO、BO的中点,若EF=3,△OAB的周长是14,则AC+BD= 16 .
【解答】解:如图,∵点E、F分别是线段AO、BO的中点,
∴EF是△OAB的中位线,
∴AB=2EF.
又∵EF=3,
∴AB=6.
∵△OAB的周长是14,
∴AB+OA+OB=14,即6+OA+OB=14,
∴OA+OB=8.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OA,BD=2OB.
∴AC+BD=2(OA+OB)=16.
故答案为:16.
18.(3分)如图,点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一点,且∠BAE=30°,AE交对角线BD于点F,∠ADB的平分线MD交AE于点M,点P是线段MD上一动点,过点P作PQ⊥BD于点Q,连接PF,则PF+PQ的最小值为 6﹣2 .
【解答】解:过点P作PG⊥AD于点G,连接FG,过点F作FH⊥AD于点H,作FN⊥AB于点N,
∴四边形ANFH是矩形,
∴FH=AN,
∵DM是∠ADB的平分线,PQ⊥BD,
∴PG=PQ,
∴PF+PQ=PF+PG≥FG≥FH,
∴PF+PQ的最小值为FH的长,
∵四边形ABCD是边长为4的正方形,
∴AB=4,∠ABF=45°,
∴FN=BN,
∵∠BAE=30°,
∴AN=FN=BN,
∵AN+BN=AB,
∴BN+BN=4,
解得BN=2﹣2,
∴FH=AN=×(2﹣2)=6﹣2,
∴PF+PQ的最小值为6﹣2,
故答案为:6﹣2.
三.解答题(满分56分)
19.(9分)用适当的方法解方程;
(1)x2﹣2x﹣3=0;
(2)3x(x﹣1)=2(x﹣1);
(3)(x+1)(x﹣1)=.
【解答】解:(1)x2﹣2x﹣3=0,
(x﹣3)(x+1)=0,、
x﹣3=0或x+1=0,
所以x1=3,x2=﹣1;
(2)3x(x﹣1)=2(x﹣1),
3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0,
(x﹣1)(3x﹣2)=0,
x﹣1=0或3x﹣2=0,
所以x1=1,x2=;
(3)(x+1)(x﹣1)=.
方程化为一般式为x2﹣2x﹣1=0,
∵a=1,b=﹣2,c=﹣1,
∴Δ=(﹣2)2﹣4×(﹣1)=12>0,
∴x===±,
所以x1=﹣,x2=+.
20.(6分)已知关于x的方程x2﹣(m+1)x+2(m﹣1)=0.
(1)求证:无论m取何值时,方程总有实数根;
(2)如果方程有两个实数根x1,x2,当(x1+x2)﹣x1x2=4时,求m的值.
【解答】(1)证明:∵Δ=(m+1)2﹣4×2(m﹣1)
=m2+2m+1﹣8m+8
=m2﹣6m+9
=(m﹣3)2≥0,
∴无论m取何值时,方程总有实数根;
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=m+1,x1x2=2(m﹣1),
∵(x1+x2)﹣x1x2=4,
∴m+1﹣2(m﹣1)=0,
解得m=3,
即m的值为3.
21.(6分)某校开展课后延时服务,计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组,由于师资等条件的限制,每人只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题:
(1)参加这次问卷调查的学生人数是 100 人,请补全条形统计图;
(2)选择“围棋”课外兴趣小组的学生所占的百分比为 16 %;
(3)扇形统计图中,“摄影”对应扇形圆心角的度数为 122.4 °;
(4)若该校共有1200名学生参加课后延时服务,请估计该校选择“书法”和“围棋”课外兴趣小组的学生共有多少人?
【解答】解:(1)参加这次问卷调查的学生人数是20÷20%=100(人).
故答案为:100.
“航模”的人数为100×30%=30(人).
补全条形统计图如图所示.
(2)选择“围棋”课外兴趣小组的学生所占的百分比为16÷100×100%=16%.
故答案为:16.
(3)扇形统计图中,“摄影”对应扇形圆心角的度数为360°×=122.4°.
故答案为:122.4.
(4)1200×=432(人).
∴估计该校选择“书法”和“围棋”课外兴趣小组的学生共约432人.
22.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边AB,CD上,且四边形BEDF为正方形.
(1)求证:AE=CF;
(2)已知平行四边形ABCD的面积为20,AB=5,求BC的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵正方形BEDF,
∴BE=DF,
∴AB﹣BE=CD﹣DF,
∴AE=CF;
(2)解:∵正方形BEDF,
∴BF⊥AB,
∴BF•AB=20,
∴BF=4,
∵CF=CD﹣DF=5﹣4=1,
在Rt△BCF中,
CF2+BF2=BC2
∴BC=.
23.(5分)如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(3,3).
(1)试画出△ABC以C为旋转中心,沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C;
(2)以原点O为对称中心,画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,写出点B2的坐标为 (﹣5,﹣2) ;
(3)请在x轴上找一点D得到▱ACBD,则点D的坐标为 (3,0) ,若直线平分▱ACBD的面积,则b= ﹣3 .
【解答】解:(1)如图,△A1B1C即为所求;
(2)如图,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标(﹣5,﹣2);
故答案为:(﹣5,﹣2);
(3)如图,平行四边形ACBD即为所求,D(3,0),
∵平行四边形的中心点的坐标为(3,1.5),
又∵直线平分▱ACBD的面积,
∴直线y=x+b经过点(3,1.5),
∴1.5=+b,
∴b=﹣3.
故答案为:(3,0),﹣3.
24.(8分)对于实数a,b,定义新运算“△”:a△b=,例如:4△2,因为4>2,所以4△2=42﹣4×2=8.
(1)求1△(﹣2)和(﹣1)△2的值;
(2)若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个根,且x1<x2,求x1△x2+3x2的值.
【解答】解:(1)1△(﹣2)=12﹣1×(﹣2)=3;
(﹣1)△2=﹣1×2﹣22=﹣6;
(2)∵x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的根,
∴﹣3x2﹣2=0,
∴﹣3x2=2,
∵x1<x2,
∴x1△x2+3x2=x1x2﹣+3x2=x1x2﹣(﹣3x2)=x1x2﹣2,
根据根与系数的关系得x1+x2=3,x1x2=﹣2,
∴x1△x2+3x2=﹣2﹣2=﹣4.
25.(8分)在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,点A的对应点为A'.
(1)求证:DG=DH;
(2)连接BG,求证:四边形BHDG是菱形;
(3)求折痕GH的长.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠BHG=∠DGH,
∵将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,点A落在点A'处,GH是折痕,
∴∠BHG=∠DHG,
∴∠DHG=∠DGH,
∴DG=DH;
(2)证明:连接BG,如图,
∵将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,点A落在点A'处,GH是折痕,
∴BG=DG,BH=DH,∠BGH=∠DGH,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,AD∥BC,
∴∠DGH=∠BHG,
∴∠BGH=∠BHG,
∴BG=BH,
∴BG=DG=BH=DH,
∴四边形BHDG是菱形;
(3)解:过G作GE⊥BC于E,则∠GEC=∠GEB=90°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABE=90°,
∴四边形ABEG是矩形,
∴AB=GE=6,AG=BE,
设AG=x,则BG=DG=8﹣x,
在Rt△BAG中,
由勾股定理,得AB2+AG2=BG2,
即62+x2=(8﹣x)2,
解得x=,
即AG=,BH=BG=8﹣x=,
∴EH=BH﹣BE=﹣=,
在Rt△GEH中,
由勾股定理,得GH===,
即折痕GH的长为.
26.(8分)如图1,四边形ABCD是菱形,AD=5,过点D作AB的垂线DH,垂足为H,交对角线AC于M,连接BM,且AH=3.
(1)DH= 4 ;DM= ;
(2)如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当点P在边AB上运动时,是否存在这样的t的值,使∠MPB与∠BCD互为余角?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)在Rt△ADH中,AD=5,AH=3,
∴DH==4,
在Rt△ADH中,AD=5,AH=3,
∴DH=4,
∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴∠ACD=∠ACB,CD=CB,
在△DCM和△BCM中,
,
∴△DCM≌△BCM(SAS),
∴DM=BM,
在Rt△BHM中,BM=DM,HM=DH﹣DM=4﹣DM,BH=AB﹣AH=2,
根据勾股定理得,DM2﹣MH2=BH2,
即:DM2﹣(4﹣DM)2=4,
∴DM=;
故答案为:4,;
(2)在△BCM和△DCM中,
,
∴△BCM≌△DCM(SAS),
∴BM=DM=,∠CDM=∠CBM=90°
①当P在AB之间时,0<t<,S=(5﹣2t)×=﹣t+.
②当P在BC之间时,<t<5,S=(2t﹣5)×=t﹣,
综上,S与t之间的函数关系式为S=;
(3)存在,
∵∠ADM+∠BAD=90°,∠BCD=∠BAD,
∴∠ADM+∠BCD=90°,
∵∠MPB+∠BCD=90°,
∴∠MPB=∠ADM,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAM=∠BAM,
∵AM=AM,
∴△ADM≌△ABM(AAS),
∴∠ADM=∠ABM,
∴∠MPB=∠ABM,
∵MH⊥AB,
∴PH=BH=2,
∴BP=2BH=4,
∵AB=5,
∴AP=1,
∴t=.
相关试卷
这是一份江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题,共4页。
这是一份江苏省苏州市立达中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷,共6页。
这是一份江苏省苏州市胥江实验中学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题,共4页。