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2024年甘肃省金昌市永昌县赵定庄中学联片教研中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年甘肃省金昌市永昌县赵定庄中学联片教研中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.无理数 5的倒数是( )
A. − 5B. − 55C. −5D. 55
2.下列计算正确的是( )
A. 2× 3=6B. 2+ 3= 5C. 8− 2= 2D. 8÷ 2=4
3.已知实数n满足n2−n+1=0，则4n3−5n2+5n+11的值为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
4.抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过( )
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
5.如图，能判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. ∠3=∠4
D. ∠B+∠BCD=180°
6.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为( )
A. 2B. 2 23C. 75D. 32
7.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到△DEF的位置，若AB=12cm，DH=5cm，则阴影面积等于( )
A. 90cm2B. 57cm2C. 51cm2D. 45cm2
8.如图，在平面直角坐标系中，以P(0,−1)为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为(−2,−4)，则点B的对应点C的坐标为( )
A. (4,5)
B. (4,6)
C. (2,4)
D. (2,6)
9.已知点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y310.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D(−2,3)，AD=5，若反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点B，则k的值为( )
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解2a2−a= ______．
12.如图，函数y=kx+b的图象过点(2,3)，则不等式kx+b≤3的解集是______．
13.如图，若a//b，∠3=130°，∠2=20°，则∠1的度数为 ．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF= ______度.
15.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5，AC=4，D是BC上的一个动点，连接AD.过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是______．
16.如图，直线y=kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为______．
17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=______．
18.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=13，则BD= ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(2024−π)0−8cs60°+(−13)−2；
(2)化简：(1−2a+1)⋅a2−1a2−2a+1．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且A(4,4)，B(3,2)，C(1,2)．
(1)在图中画出将△ABC沿x轴向左平移6个单位后得到的△A1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1)；
(2)在图中画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2(点A、B、C的对应点分别为点A2，B2，C2).
21.(本小题6分)
超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
22.(本小题6分)
如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，∠B=∠D，求证：BC=DE．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．
24.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF//CE，AF与⊙O的交点为F．
(1)求证：AF=CD；
(2)若⊙O的半径为6，AH=2OH，求AE的长．
25.(本小题8分)
已知A，B，C，D，E五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去A基地的大约有______人；
(3)甲、乙两所学校计划从A，B，C三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
26.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0 )，∠ABC=45°
(1)求b、c的值；
(2)点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： 5的倒数是1 5= 55，
故选：D．
根据倒数的定义写出即可．
考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2× 3= 2×3= 6，故A错误；
B、二次根式的加法，被开方数不能相加，故B错误；
C、 8− 2=2 2− 2= 2，故C正确；
D、 8÷ 2= 82= 4=2，故D错误；
故选：C．
根据 a× b= ab， a÷ b= ab，可得答案．
本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的乘除法运算．
3.【答案】A
【解析】解：4n3−5n2+5n+11
=4n3−4n2−n2+5n+11
=4n(n2−n)−n2+5n+11
=−4n−n2+5n+11
=n−n2+11
=−(n2−n)+11
=1+11
=12．
故选：A．
由n2−n+1=0，可得n2−n=−1，把所给代数式整理成4n3−4n2−n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2−n的式子，把n2−n=−1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．
本题考查因式分解的应用．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0，
∴x1+x2=ka，
∴ka<0，
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故A符合题意；
由∠1=∠3不能判定AD//BC，
故B不符合题意；
由∠3=∠4，
∴AB//DC，
故C不符合题意；
∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
故D不符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过C作CH⊥AO于H，
∵CD=BD，
∴∠COD=∠BOE=∠CAO，
∵S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，
∴CHBE=23，
∵∠A=∠BOE，
∴tan∠A=tan∠BOE，
∴CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，
设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，
∴OH=3m−2m=m，
∴CH= 9m2−m2=2 2m，
∴tan∠A=CHAH=2 2m2m= 2，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴tan∠ACO= 2；
故选：A．
如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD=∠BOE=∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得CHBE=23，证明tan∠A=tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，可得OH=3m−2m=m，CH= 9m2−m2=2 2m，再利用正切的定义可得答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=6cm，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：∵△HEC是△ABC和△DEF两个三角形的重叠部分，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB，BE=6cm，
∵AB=12cm，DH=5cm，
∴HE=DE−DH=12−5=7cm，
∴阴影部分的面积=12×(7+12)×6=57cm2，
故选B．
8.【答案】A
【解析】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，
则点B在新坐标系中的坐标为(−2,−3)，
∵△ABP与△DCP的位似比为1：2，
∴点C在新坐标系中的坐标为(4,6)，
则点C在原坐标系中的坐标为(4,5)，
故选：A．
建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得1⋅y1=k，2⋅y2=k，−3⋅y3=k，
所以y1=k，y2=12k，y3=−13k，
而k>0，
所以y3故选：D．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1=k，y2=12k，y3=−13k，然后在k>0的条件下比较它们的大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，设AD与y轴交于点P，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
在△ADE和△BCH中，
∠DAE=∠CBH∠AED=∠BHCAD=BC,
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】a(2a−1)
【解析】解：2a2−a
=a(2a−1)．
故答案为：a(2a−1)．
先确定公因式为a，然后利用提取公因式法进行因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】x≤2
【解析】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点(2,3)，
∴kx+b≤3的解集是x≤2．
故答案为：x≤2．
先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解．
13.【答案】30°
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
依据平行线的性质，即可得到∠4的度数，再根据三角形内角和定理即可得∠1的度数．
【解答】
解：∵a//b，
∴∠3=∠4=130°，
∴∠5=130°，
又∵∠2=20°，
∴∠1=180°−20°−130°=30°，
故答案为：30°．
14.【答案】18
【解析】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF．
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD．
∴∠FMD=∠FDM．
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD．
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD．
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180．
∴x=18．
故答案为：18．
连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF=∠MDA，∠MCD=∠MDC；由折叠可知DF=DC，可得∠DFC=∠DCF；由MF=AB，AB=CD，DF=DC，可得FM=FD，进而得到∠FMD=∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC=2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】 13−2
【解析】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
在Rt△BCO′中，BO′= BC2+CO′2= 22+32= 13，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E= 13−2，
故答案为： 13−2．
如图，连接BO′、BC.在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题．
16.【答案】(5,4)
【解析】解：过A作AM//x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，如图所示．
当x=0时，y=k×0+4=4，
∴点A的坐标为(0,4)，
∴BH=4．
∵矩形ABCD的面积为20，
∴S△ABM=12S矩形ABCD=12×20=10=12AM⋅BH，
∴AM=5，
∴点M的坐标为(5,4)，
∴直线CD必经过一点(5,4)．
故答案为：(5,4)．
过A作AM//x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，进而可得出BH的长度，由矩形ABCD的面积，可求出三角形ABM的面积，利用三角形的面积公式，可求出AM的长度，再结合BH的长，即可得出点M的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及矩形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出点M的坐标是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】【分析】
由OD⊥AB，OE⊥AC，根据垂径定理得到AD=DB，AE=CE，则根据三角形中位线定义得到DE为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线定理得DE=12BC，再把DE=2代入计算即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理．
【解答】
解：∵OD⊥AB，
∴AD=DB，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∴BC=2DE=2×2=4．
故答案为：4
18.【答案】3− 3
【解析】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，
∴AH⊥BC，
∴∠BAH=12∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠DAH=∠EAC，
∴tan∠DAH=tan∠EAC=13，
∵AH=ABsin60°=6× 32=3 3，
∴DHAH=DH3 3=13，
∴DH= 3，
∵BH=12AB=3，
∴BD=BH−DH=3− 3，
故答案为：3− 3．
过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根据∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，从而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH=ABsin60°=3 3，再由DHAH=DH3 3=13，求得DH= 3，即可求得结果．
本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH=∠EAC是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(2024−π)0−8cs60°+(−13)−2
=1−8×12+9
=1−4+9
=6；
(2)(1−2a+1)⋅a2−1a2−2a+1
=a+1−2a+1⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=a−1a+1⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=1．
【解析】(1)先化简，然后计算乘法，最后计算加减法即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得5y−4x=1020x+10y=160，解得：x=5y=6，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
(2)设A种商品购进a件，则乙种商品(200−a)件，
根据题意，得10(a−30)+0.8×10[200−(a−30)]−5a−6(200−a)≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
【解析】(1)根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
(2)设购进甲种商品a件，则乙种商品(200−a) 件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系．
22.【答案】证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD−∠CAD=∠CAE−∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】由垂直可得∠BAD=∠CAE=90°，从而可求得∠BAC=∠DAE，利用ASA可证得△ABC≌△ADE，则有BC=DE．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是由已知条件求得∠BAC=∠DAE．
23.【答案】证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE//AC且DE=AF=12AC．
同理DF//AB且DF=AE=12AB．
又∵AB=AC，
∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
【解析】由题意易得DE//AC且DE=AF=12AC，DF//AB且DF=AE=12AB.结合已知推导出DE=DF=AF=AE，从而证明四边形AEDF是菱形．
此题考查菱形的判定，关键是根据中位线定理得出DE//AC且DE=AF=12AC解答．
24.【答案】(1)证明：连接AC，OC，BC，则OC=OA，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠OCA=90°，∠B+∠OAC=90°，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠ACE=∠B，
∵AF//CE，
∴∠CAF=∠ACE=∠B，
∴CF=AC，
∵CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴CF=AD，
∴AF=CF+AC=AD+AC=CD，
∴AF=CD．
(2)解：∵⊙O的半径为6，AH=2OH，
∴OC=OA=2OH+OH=6，
∴OH=2，
∵∠OHC=∠OCE=90°，
∴OHOC=OCOE=cs∠COE，
∴OE=OC2OH=622=18，
∴AE=OE−OA=18−6=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE=∠ACB=90°，可证明∠ACE=∠B，由AF//CE，得∠CAF=∠ACE=∠B，则CF=AC，由垂径定理得AD=AC，则CF=AD，即可证明AF=CD，所以AF=CD；
(2)由⊙O的半径为6，AH=2OH，得OC=OA=2OH+OH=6，求得OH=2，因为OHOC=OCOE=cs∠COE，所以OE=OC2OH=18，则AE=12．
此题主要考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)本次抽取的学生有：14÷28%=50(人)，
其中选择B的学生有：50−10−14−2−8=16(人)，
补全的条形统计图如图所示；
(2)14.4°；200
(3)树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
∴两校恰好选取同一个基地的概率为39=13．
【解析】【分析】
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率有关知识
(1)先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图．
(2)直接用360°乘以选择D基地人数得占比即可求出D所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项A基地的占比即可估计愿意去A基地的人数．
(3)列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率．
【解答】
解：(1)见答案
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×250=14.4°，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去A基地的大约有：1000×1050=200(人)；
(3)见答案
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，AD=EC ∠ADC=∠DCE CD=DC ，
∴△ACD≌△EDC(SAS)；
(2)解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【解析】(1)由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；
(2)由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
此题主要考查了平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是(0,3)，
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是(3,0)．
根据题意得：c=3−9+3b+c=0，
解得：c=3b=2；
(2)二次函数的解析式是y=−x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则n=33m+n=0，
解得m=−1n=3，
则直线BC的解析式是y=−x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=−x2+2x+3得y=−t2+2t+3，即P的纵坐标是−t2+2t+3，
把x=t代入y=−x+3，得y=−t+3，即Q的纵坐标是−t+3．
则PQ=(−t2+2t+3)−(−t+3)=−t2+3t，
则d= 2PQ，即d=− 2t2+3 2t；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是(−1,0)，P的坐标是(t,−t2+2t+3)，
∵在直角△PAK中，tan∠PAK=−t2+2t+3t+1=3−t，
在直角△AOD中，∠DAO=ODOA=OD1，
∴3−t=OD1，
∴OD=3−t，
∴CD=3−(3−t)=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=12CD=12t.
∵PH=MH+PM，
∴t=12t+(−t2+3t)．
∴t=52或0(舍去)．
∴PM=−(52)2+3×52=54，
PM=54，CM=5 24，PK=74．
∵二次函数的解析式是y=−x2+2x+3的顶点E的坐标是(1,4)．
∴点E到PM的距离是4−74=94，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC= 2，∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=12× 2×5 24+12×54×94=8532．
【解析】(1)在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
(2)首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在(3)中正确求得t的值是解题的关键．
1.无理数 5的倒数是( )
A. − 5B. − 55C. −5D. 55
2.下列计算正确的是( )
A. 2× 3=6B. 2+ 3= 5C. 8− 2= 2D. 8÷ 2=4
3.已知实数n满足n2−n+1=0，则4n3−5n2+5n+11的值为( )
A. 12B. 10C. 8D. 6
4.抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2<0，则直线y=ax+k一定经过( )
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
5.如图，能判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠1=∠3
C. ∠3=∠4
D. ∠B+∠BCD=180°
6.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，CD=DB，连接OC，CA，OD，过点B作EB⊥AB，交OD的延长线于点E.设△OAC的面积为S1，△OBE的面积为S2，若S1S2=23，则tan∠ACO的值为( )
A. 2B. 2 23C. 75D. 32
7.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移6cm到△DEF的位置，若AB=12cm，DH=5cm，则阴影面积等于( )
A. 90cm2B. 57cm2C. 51cm2D. 45cm2
8.如图，在平面直角坐标系中，以P(0,−1)为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为(−2,−4)，则点B的对应点C的坐标为( )
A. (4,5)
B. (4,6)
C. (2,4)
D. (2,6)
9.已知点A(1,y1)，B(2,y2)，C(−3,y3)都在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3
A. 163
B. 8
C. 10
D. 323
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.因式分解2a2−a= ______．
12.如图，函数y=kx+b的图象过点(2,3)，则不等式kx+b≤3的解集是______．
13.如图，若a//b，∠3=130°，∠2=20°，则∠1的度数为 ．
14.如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF.若MF=AB，则∠DAF= ______度.
15.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5，AC=4，D是BC上的一个动点，连接AD.过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是______．
16.如图，直线y=kx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，矩形ABCD位于第一象限，若矩形ABCD的面积为20，则直线CD必经过一点，这个点的坐标为______．
17.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若DE=2，则BC=______．
18.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC=13，则BD= ______．
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(2024−π)0−8cs60°+(−13)−2；
(2)化简：(1−2a+1)⋅a2−1a2−2a+1．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且A(4,4)，B(3,2)，C(1,2)．
(1)在图中画出将△ABC沿x轴向左平移6个单位后得到的△A1B1C1(点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1)；
(2)在图中画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2(点A、B、C的对应点分别为点A2，B2，C2).
21.(本小题6分)
超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
22.(本小题6分)
如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，∠B=∠D，求证：BC=DE．
23.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．
24.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，⊙O的切线CE与BA的延长线交于点E，AF//CE，AF与⊙O的交点为F．
(1)求证：AF=CD；
(2)若⊙O的半径为6，AH=2OH，求AE的长．
25.(本小题8分)
已知A，B，C，D，E五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去A基地的大约有______人；
(3)甲、乙两所学校计划从A，B，C三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
26.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．
(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
27.(本小题10分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴 正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3(k≠0 )，∠ABC=45°
(1)求b、c的值；
(2)点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： 5的倒数是1 5= 55，
故选：D．
根据倒数的定义写出即可．
考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2× 3= 2×3= 6，故A错误；
B、二次根式的加法，被开方数不能相加，故B错误；
C、 8− 2=2 2− 2= 2，故C正确；
D、 8÷ 2= 82= 4=2，故D错误；
故选：C．
根据 a× b= ab， a÷ b= ab，可得答案．
本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的乘除法运算．
3.【答案】A
【解析】解：4n3−5n2+5n+11
=4n3−4n2−n2+5n+11
=4n(n2−n)−n2+5n+11
=−4n−n2+5n+11
=n−n2+11
=−(n2−n)+11
=1+11
=12．
故选：A．
由n2−n+1=0，可得n2−n=−1，把所给代数式整理成4n3−4n2−n2+5n+11，把前两项提取4n，得到含n2−n的式子，把n2−n=−1整体代入后继续整理，化简，再整体代入计算即可．
本题考查因式分解的应用．关键是把等式中含字母的项看成一个整体，得到这个整体的值．难点是把所给等式整理成和等式中含字母的项有关的式子．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，
∴kx=ax2−a，
∴ax2−kx−a=0，
∴x1+x2=ka，
∴ka<0，
当a>0，k<0时，直线y=ax+k经过第一、三、四象限，
当a<0，k>0时，直线y=ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y=ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
根据已知条件可得出ax2−kx−a=0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴AD//BC，
故A符合题意；
由∠1=∠3不能判定AD//BC，
故B不符合题意；
由∠3=∠4，
∴AB//DC，
故C不符合题意；
∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，
故D不符合题意；
故选：A．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图，过C作CH⊥AO于H，
∵CD=BD，
∴∠COD=∠BOE=∠CAO，
∵S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，
∴CHBE=23，
∵∠A=∠BOE，
∴tan∠A=tan∠BOE，
∴CHAH=BEOB，即CHBE=AHOB=23，
设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，
∴OH=3m−2m=m，
∴CH= 9m2−m2=2 2m，
∴tan∠A=CHAH=2 2m2m= 2，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴tan∠ACO= 2；
故选：A．
如图，过C作CH⊥AO于H，证明∠COD=∠BOE=∠CAO，由S1S2=23，即12OA⋅CH12OB⋅BE=23，可得CHBE=23，证明tan∠A=tan∠BOE，可得CHBE=AHOB=23，设AH=2m，则BO=3m=AO=CO，可得OH=3m−2m=m，CH= 9m2−m2=2 2m，再利用正切的定义可得答案．
本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE=AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE=6cm，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：∵△HEC是△ABC和△DEF两个三角形的重叠部分，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE=AB，BE=6cm，
∵AB=12cm，DH=5cm，
∴HE=DE−DH=12−5=7cm，
∴阴影部分的面积=12×(7+12)×6=57cm2，
故选B．
8.【答案】A
【解析】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，
则点B在新坐标系中的坐标为(−2,−3)，
∵△ABP与△DCP的位似比为1：2，
∴点C在新坐标系中的坐标为(4,6)，
则点C在原坐标系中的坐标为(4,5)，
故选：A．
建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得1⋅y1=k，2⋅y2=k，−3⋅y3=k，
所以y1=k，y2=12k，y3=−13k，
而k>0，
所以y3
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出y1=k，y2=12k，y3=−13k，然后在k>0的条件下比较它们的大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，设AD与y轴交于点P，
∴∠BHC=90°，
∵点D(−2,3)，AD=5，
∴DE=3，
∴AE= AD2−DE2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°，
∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠CBH=∠DCH，
∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°，∠CPD=∠APO，
∴∠DCP=∠DAE，
∴∠CBH=∠DAE，
∵∠AED=∠BHC=90°，
在△ADE和△BCH中，
∠DAE=∠CBH∠AED=∠BHCAD=BC,
∴△ADE≌△BCH(AAS)，
∴BH=AE=4，
∵OE=2，
∴OA=2，
∴AF=2，
∵AO=OE=2，OP//DE，
∴OP=12DE，
∵∠APO+∠PAO=∠BAF+∠PAO=90°，
∴∠APO=∠BAF，
∴△APO∽△BAF，
∴OPAF=OABF，
∴12×32=2BF，
∴BF=83，
∴B(4,83)，
∴k=323，
故选：D．
过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，得到∠BHC=90°，根据勾股定理得到AE= AD2−DE2=4，根据矩形的性质得到AD=BC，根据全等三角形的性质得到BH=AE=4，求得AF=2，根据相似三角形的性质求出B点坐标，即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】a(2a−1)
【解析】解：2a2−a
=a(2a−1)．
故答案为：a(2a−1)．
先确定公因式为a，然后利用提取公因式法进行因式分解即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】x≤2
【解析】解：观察图象可知，y随x的增大而增大，且图象经过点(2,3)，
∴kx+b≤3的解集是x≤2．
故答案为：x≤2．
先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解．
13.【答案】30°
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
依据平行线的性质，即可得到∠4的度数，再根据三角形内角和定理即可得∠1的度数．
【解答】
解：∵a//b，
∴∠3=∠4=130°，
∴∠5=130°，
又∵∠2=20°，
∴∠1=180°−20°−130°=30°，
故答案为：30°．
14.【答案】18
【解析】解：连接DM，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∵M是AC的中点，
∴DM=AM=CM，
∴∠FAD=∠MDA，∠MDC=∠MCD．
∵DC，DF关于DE对称，
∴DF=DC，
∴∠DFC=∠DCF．
∵MF=AB，AB=CD，DF=DC，
∴MF=FD．
∴∠FMD=∠FDM．
∵∠DFC=∠FMD+∠FDM，
∴∠DFC=2∠FMD．
∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，
∴∠DMC=2∠FAD．
设∠FAD=x°，则∠DFC=4x°，
∴∠MCD=∠MDC=4x°．
∵∠DMC+∠MCD+∠MDC=180°，
∴2x+4x+4x=180．
∴x=18．
故答案为：18．
连接DM，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AMD和△MCD为等腰三角形，∠DAF=∠MDA，∠MCD=∠MDC；由折叠可知DF=DC，可得∠DFC=∠DCF；由MF=AB，AB=CD，DF=DC，可得FM=FD，进而得到∠FMD=∠FDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得∠DFC=2∠FMD；最后在△MDC中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得．
本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用三角形内角和定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】 13−2
【解析】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
在Rt△BCO′中，BO′= BC2+CO′2= 22+32= 13，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E= 13−2，
故答案为： 13−2．
如图，连接BO′、BC.在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B−O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定等E的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题．
16.【答案】(5,4)
【解析】解：过A作AM//x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，如图所示．
当x=0时，y=k×0+4=4，
∴点A的坐标为(0,4)，
∴BH=4．
∵矩形ABCD的面积为20，
∴S△ABM=12S矩形ABCD=12×20=10=12AM⋅BH，
∴AM=5，
∴点M的坐标为(5,4)，
∴直线CD必经过一点(5,4)．
故答案为：(5,4)．
过A作AM//x轴交CD于点M，连结BM，作BH⊥AM于点H，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标，进而可得出BH的长度，由矩形ABCD的面积，可求出三角形ABM的面积，利用三角形的面积公式，可求出AM的长度，再结合BH的长，即可得出点M的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及矩形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出点M的坐标是解题的关键．
17.【答案】4
【解析】【分析】
由OD⊥AB，OE⊥AC，根据垂径定理得到AD=DB，AE=CE，则根据三角形中位线定义得到DE为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线定理得DE=12BC，再把DE=2代入计算即可．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了三角形中位线定理．
【解答】
解：∵OD⊥AB，
∴AD=DB，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∴BC=2DE=2×2=4．
故答案为：4
18.【答案】3− 3
【解析】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠BAC=60°，
∴AH⊥BC，
∴∠BAH=12∠BAC=30°，
∴∠BAD+∠DAH=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠DAH=∠EAC，
∴tan∠DAH=tan∠EAC=13，
∵AH=ABsin60°=6× 32=3 3，
∴DHAH=DH3 3=13，
∴DH= 3，
∵BH=12AB=3，
∴BD=BH−DH=3− 3，
故答案为：3− 3．
过点A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°，再由AH⊥BC，可得∠BAD+∠DAH=30°，再根据∠BAD+∠EAC=30°，可得∠DAH=∠EAC，从而可得tan∠DAH=tan∠EAC=13，利用锐角三角函数求得AH=ABsin60°=3 3，再由DHAH=DH3 3=13，求得DH= 3，即可求得结果．
本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明∠DAH=∠EAC是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(2024−π)0−8cs60°+(−13)−2
=1−8×12+9
=1−4+9
=6；
(2)(1−2a+1)⋅a2−1a2−2a+1
=a+1−2a+1⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=a−1a+1⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=1．
【解析】(1)先化简，然后计算乘法，最后计算加减法即可；
(2)先通分括号内的式子，再算括号外的乘法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)根据平移的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
本题考查作图−平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)设A甲种商品每件进价x元，B乙种商品每件进价y元，
根据题意，得5y−4x=1020x+10y=160，解得：x=5y=6，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
(2)设A种商品购进a件，则乙种商品(200−a)件，
根据题意，得10(a−30)+0.8×10[200−(a−30)]−5a−6(200−a)≥640，
解得：a≥100，
答：至少购进A种商品100件．
【解析】(1)根据“购进4件甲种商品比购进5件乙种商品少用10元，购进20件甲种商品和10件乙种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
(2)设购进甲种商品a件，则乙种商品(200−a) 件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系．
22.【答案】证明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD−∠CAD=∠CAE−∠CAD，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC与△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】由垂直可得∠BAD=∠CAE=90°，从而可求得∠BAC=∠DAE，利用ASA可证得△ABC≌△ADE，则有BC=DE．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是由已知条件求得∠BAC=∠DAE．
23.【答案】证明：∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE//AC且DE=AF=12AC．
同理DF//AB且DF=AE=12AB．
又∵AB=AC，
∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
【解析】由题意易得DE//AC且DE=AF=12AC，DF//AB且DF=AE=12AB.结合已知推导出DE=DF=AF=AE，从而证明四边形AEDF是菱形．
此题考查菱形的判定，关键是根据中位线定理得出DE//AC且DE=AF=12AC解答．
24.【答案】(1)证明：连接AC，OC，BC，则OC=OA，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥OC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠OCE=∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠OCA=90°，∠B+∠OAC=90°，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠ACE=∠B，
∵AF//CE，
∴∠CAF=∠ACE=∠B，
∴CF=AC，
∵CD⊥AB，
∴AD=AC，
∴CF=AD，
∴AF=CF+AC=AD+AC=CD，
∴AF=CD．
(2)解：∵⊙O的半径为6，AH=2OH，
∴OC=OA=2OH+OH=6，
∴OH=2，
∵∠OHC=∠OCE=90°，
∴OHOC=OCOE=cs∠COE，
∴OE=OC2OH=622=18，
∴AE=OE−OA=18−6=12，
∴AE的长为12．
【解析】(1)连接AC、OC、BC，由切线的性质证明CE⊥OC，而AB为⊙O的直径，所以∠OCE=∠ACB=90°，可证明∠ACE=∠B，由AF//CE，得∠CAF=∠ACE=∠B，则CF=AC，由垂径定理得AD=AC，则CF=AD，即可证明AF=CD，所以AF=CD；
(2)由⊙O的半径为6，AH=2OH，得OC=OA=2OH+OH=6，求得OH=2，因为OHOC=OCOE=cs∠COE，所以OE=OC2OH=18，则AE=12．
此题主要考查圆周角定理、切线的性质定理、平行线的性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：(1)本次抽取的学生有：14÷28%=50(人)，
其中选择B的学生有：50−10−14−2−8=16(人)，
补全的条形统计图如图所示；
(2)14.4°；200
(3)树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
∴两校恰好选取同一个基地的概率为39=13．
【解析】【分析】
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率有关知识
(1)先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图．
(2)直接用360°乘以选择D基地人数得占比即可求出D所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项A基地的占比即可估计愿意去A基地的人数．
(3)列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率．
【解答】
解：(1)见答案
(2)在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×250=14.4°，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去A基地的大约有：1000×1050=200(人)；
(3)见答案
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，AD=EC ∠ADC=∠DCE CD=DC ，
∴△ACD≌△EDC(SAS)；
(2)解：△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
【解析】(1)由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；
(2)由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
此题主要考查了平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
27.【答案】解：(1)在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是(0,3)，
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是(3,0)．
根据题意得：c=3−9+3b+c=0，
解得：c=3b=2；
(2)二次函数的解析式是y=−x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则n=33m+n=0，
解得m=−1n=3，
则直线BC的解析式是y=−x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=−x2+2x+3得y=−t2+2t+3，即P的纵坐标是−t2+2t+3，
把x=t代入y=−x+3，得y=−t+3，即Q的纵坐标是−t+3．
则PQ=(−t2+2t+3)−(−t+3)=−t2+3t，
则d= 2PQ，即d=− 2t2+3 2t；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是(−1,0)，P的坐标是(t,−t2+2t+3)，
∵在直角△PAK中，tan∠PAK=−t2+2t+3t+1=3−t，
在直角△AOD中，∠DAO=ODOA=OD1，
∴3−t=OD1，
∴OD=3−t，
∴CD=3−(3−t)=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=12CD=12t.
∵PH=MH+PM，
∴t=12t+(−t2+3t)．
∴t=52或0(舍去)．
∴PM=−(52)2+3×52=54，
PM=54，CM=5 24，PK=74．
∵二次函数的解析式是y=−x2+2x+3的顶点E的坐标是(1,4)．
∴点E到PM的距离是4−74=94，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC= 2，∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=12× 2×5 24+12×54×94=8532．
【解析】(1)在y=kx+3中，令x=0，即可求得C的纵坐标，然后根据△OBC是等腰直角三角形求得B的坐标，利用待定系数法求得b和c的值；
(2)首先求得直线BC的解析式，则可求得P和N的纵坐标，则PN的长即可求得，然后根据△PMN是等腰直角三角形即可表示出MN的长；
(3)延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K，过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM，在直角△OAD和直角△KAP中，利用三角函数即可列方程求得t的值，再根据S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP求解．
本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，在(3)中正确求得t的值是解题的关键．
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