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精品解析：四川省内江市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
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本测评卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区接内作答，字体工整，笔迹济楚；不能答在测评卷上．
2．测评结束后，监测员将答题卡收回．
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式：，分式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案.
【详解】解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式，
故选：CC故选：
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数.
2. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为( )米．
A. 2.03×10﹣8B. 2.03×10﹣7C. 2.03×10﹣6D. 0.203×10﹣6
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000203=2.03×10﹣7．
故选：B．
【点睛】此题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不等于0，列出不等式，即可求解．
【详解】由题意得：x≥0且x-2≠0，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件及分母不等于0，是解题的关键．
4. 已知：﹣=，则的值是（ ）
A. B. ﹣C. 3D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选C．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.
5. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义解答．
【详解】解：下列曲线中能表示y是x函数的是A、B、C，
故选：D．
【点睛】此题考查函数定义：在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，此时x叫自变量，y是x的函数．
6. 在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，10B. 10，20C. 10，10D. 10，15
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义可得答案．
【详解】解：捐款金额学生数最多的是10元，
故众数为10；
共50名学生，中位数在第25名、26名学生处，
故中位数为=10；
故选：C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
7. 如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作AE⊥DM于E，证明△ABM≌△AEM(AAS)，得AE=AB=1，BM=ME，在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，在Rt△CDM中，由勾股定理，得(+x)2=(2-x)2+12，解得：x=2-,然后代入CM=2-x，即可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM(AAS)，
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=,
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
(+x)2=(2-x)2+12，
解得：x=2-,
∴CM=2-(2-)=,
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，作辅助线AE⊥DM于E，是解题的关键．
8. 若关于x的分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先把所给分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母，得：x-3＝m+2（x−1），
由分式方程有增根，得到x−1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝−2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
对角线相等的菱形是正方形，故B正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误；
对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选B．
10. 一次函数与正比例函数（是常数，且），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，分别判断出一次函数和正比例函数的系数的符号，看是否一致，由此即可得出答案，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
故选：A．
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若点C的坐标为（4，3），则k的值为（ ）
A. 12B. 20C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】延长BC交x轴于D，则BD⊥OD，根据菱形的性质以及勾股定理得出BC=OC=OA=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值即可．
【详解】解：延长BC交x轴于D，如图所示：
则BD⊥OD，
∵C的坐标为（4，3），
∴OD＝4，CD＝3，
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OA＝OC＝5，
∴BD＝5+3＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
把B（4，8）代入函数y＝（x＞0）得：k＝4×8＝32；
故选D．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解题关键在于作辅助线和掌握各性质定义.
12. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：
（1）a＝40，m＝1；
（2）乙的速度是80km/h；
（3）甲比乙迟h到达B地；
（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确；
（2）120÷（3.5﹣2）=80km/h（千米/小时），故（2）正确；
（3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
解得：
∴y=40x﹣20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x﹣20得，x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车的行驶260km需要260÷80=3.25h，
∴7﹣（2+3.25）=h，
∴甲比乙迟h到达B地，故（3）正确；
（4）当1.5＜x≤7时，y=40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b'，由题意得
解得：
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x=．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x=．
∴﹣2=，﹣2=．
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故（4）错误．
故选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在题中横线上．）
13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】点与点关于轴对称，
，，
则a+b的值是：,
故答案为．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.
14. 在反比例函数的图象上有三个点，则的大小关系为____________．（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】先由得到函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，然后即可得到，，的大小关系．
【详解】解：，
反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断的正负．
15. 如图，四边形是矩形，的平分线交延长线于点E，若，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知，则，在中利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
又∵平分线交的延长线于点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
则由勾股定理知，，即．
解得．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等角对等边等知识， 此题难度不大，关键是推出等式．
16. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有__________________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=x，DG=GB=x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，
∵，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=x，BD=，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=x，DG=GB=x，
∴S△DGF=×DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB=x2，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. （1）化简：．
（2）计算：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可；
（2）先计算零指数幂、负整数指数幂、立方根、绝对值，再进行实数混合运算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
18. 如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？
（直接写出条件即可，不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析；（3），且．
【解析】
【分析】（1）根据D是BC的中点，，可得，即可求证；
（2）根据等腰三角形“三线合一”，可得到，即可求解；
（3）根据，且，可得 ， ，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：因为D是BC的中点，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以；
（2）若，则四边形ADCE是矩形，理由如下：
因为，且D是BC的中点，
所以，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形；
（3），且．理由如下：
由（2）得：四边形是矩形，
∵，且D是BC的中点，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴四边形ADCE为正方形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19. 为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如下表所示
（1）分别求出两位同学在四次测试中的平均分；
（2）分别求出两位同学测试成绩的方差，若这次参赛目的是为了成绩稳定发挥，你认为选谁参加比赛更合适，请说明理由．
【答案】（1）90分；90分；
（2）选择甲参加比赛更合适，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由平均数的公式计算即可；
（2）先分别求出两位同学测试成绩的方差，再根据方差的意义求解即可．
【小问1详解】
（分，
（分，
【小问2详解】
，
，
甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛更合适．
【点睛】本题考查了方差与平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
20. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
21. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图像经过点，交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
【答案】（1），直线解析式为
（2）的周长最小时，
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出D点坐标，然后再代入反比例函数解析式可求得k；然后再确定点E得坐标，再通过待定系数法即可解答；
（2）先求出关于轴对称点为，连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，再运用待定系数法求得直线的解析式，直线与x轴的交点即为P点坐标；
（3）先求出直线DE与x轴交点Q的坐标，再求出PE的长，然后结合点D、点E的坐标可求得、,最后根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
又∵点是边的中点，
∴，
∴
反比例函数解析式为，
∵为上一点，得．
∴，
∴，
设直线解析式为得：
，解得，
∴直线解析式为．
【小问2详解】
解：关于轴对称点为，
连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，
设直线解析式为得
，解得，
∴直线解析式为
∴直线与轴交点为，
∴的周长最小时，．
小问3详解】
解：直线解析式为，设其与轴的交点为，
当y2=0，可得x=6
∴的坐标为，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题属于反比例综合题，主要考查了反比例函数解析式、最短路径以及三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
22. 如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）
（1）如图①，当时，之间满足的数量关系是____________；
（2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：．
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意证明即可证明；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质用“”即可证明；
（3）根据菱形的性质和直角三角形的性质证明，可得，进而求出答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
证明：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴，
∴；
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题, 涉及全等三角形, 正方形及菱形的性质, 解答本题的关键是设计三角形全等, 巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．甲
90
85
95
90
乙
98
82
88
92
本测评卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区接内作答，字体工整，笔迹济楚；不能答在测评卷上．
2．测评结束后，监测员将答题卡收回．
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各式：，分式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的定义对上式逐个进行判断，得出正确答案.
【详解】解：，，这3个式子分母中含有字母，因此是分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式，
故选：CC故选：
【点睛】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数.
2. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为( )米．
A. 2.03×10﹣8B. 2.03×10﹣7C. 2.03×10﹣6D. 0.203×10﹣6
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000203=2.03×10﹣7．
故选：B．
【点睛】此题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分母不等于0，列出不等式，即可求解．
【详解】由题意得：x≥0且x-2≠0，
∴且，
故选C．
【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件及分母不等于0，是解题的关键．
4. 已知：﹣=，则的值是（ ）
A. B. ﹣C. 3D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】已知等式左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，变形后即可得到结果．
【详解】∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选C．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，化简求值的方法有直接代入法，整体代入法等常用的方法，解题时可根据题目具体条件选择合适的方法，当未知的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为0.
5. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义解答．
【详解】解：下列曲线中能表示y是x函数的是A、B、C，
故选：D．
【点睛】此题考查函数定义：在一个变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，此时x叫自变量，y是x的函数．
6. 在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，10B. 10，20C. 10，10D. 10，15
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义可得答案．
【详解】解：捐款金额学生数最多的是10元，
故众数为10；
共50名学生，中位数在第25名、26名学生处，
故中位数为=10；
故选：C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
7. 如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作AE⊥DM于E，证明△ABM≌△AEM(AAS)，得AE=AB=1，BM=ME，在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=，设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，在Rt△CDM中，由勾股定理，得(+x)2=(2-x)2+12，解得：x=2-,然后代入CM=2-x，即可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM(AAS)，
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=,
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
(+x)2=(2-x)2+12，
解得：x=2-,
∴CM=2-(2-)=,
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，作辅助线AE⊥DM于E，是解题的关键．
8. 若关于x的分式方程产生增根，则m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先把所给分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母，得：x-3＝m+2（x−1），
由分式方程有增根，得到x−1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程，可得：m＝−2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误；
对角线相等的菱形是正方形，故B正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C错误；
对角线互相平分垂直且相等的四边形是正方形，故D错误．
故选B．
10. 一次函数与正比例函数（是常数，且），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质，分别判断出一次函数和正比例函数的系数的符号，看是否一致，由此即可得出答案，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论一致，故本选项正确；
B、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
C、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
D、由一次函数的图象可知，，故；由正比例函数的图象可知，两结论不一致，故本选项不正确；
故选：A．
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，若点C的坐标为（4，3），则k的值为（ ）
A. 12B. 20C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】延长BC交x轴于D，则BD⊥OD，根据菱形的性质以及勾股定理得出BC=OC=OA=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值即可．
【详解】解：延长BC交x轴于D，如图所示：
则BD⊥OD，
∵C的坐标为（4，3），
∴OD＝4，CD＝3，
∴OC＝＝5，
∵四边形OABC是菱形，
∴BC＝OA＝OC＝5，
∴BD＝5+3＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
把B（4，8）代入函数y＝（x＞0）得：k＝4×8＝32；
故选D．
【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解题关键在于作辅助线和掌握各性质定义.
12. 甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论：
（1）a＝40，m＝1；
（2）乙的速度是80km/h；
（3）甲比乙迟h到达B地；
（4）乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确；
（2）120÷（3.5﹣2）=80km/h（千米/小时），故（2）正确；
（3）设甲车休息之后行驶路程y（km）与时间x（h）的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
解得：
∴y=40x﹣20，
根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车，
把y=260代入y=40x﹣20得，x=7，
∵乙车的行驶速度：80km/h，
∴乙车的行驶260km需要260÷80=3.25h，
∴7﹣（2+3.25）=h，
∴甲比乙迟h到达B地，故（3）正确；
（4）当1.5＜x≤7时，y=40x﹣20．
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b'，由题意得
解得：
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，
解得：x=．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，
解得：x=．
∴﹣2=，﹣2=．
所以乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km，故（4）错误．
故选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在题中横线上．）
13. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求得a、b的值即可求得答案.
【详解】点与点关于轴对称，
，，
则a+b的值是：,
故答案为．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键.
14. 在反比例函数的图象上有三个点，则的大小关系为____________．（用“<”连接）
【答案】
【解析】
【分析】先由得到函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，然后即可得到，，的大小关系．
【详解】解：，
反比例函数在第一象限和第三象限的函数值随的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是会判断的正负．
15. 如图，四边形是矩形，的平分线交延长线于点E，若，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知，则，在中利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
又∵平分线交的延长线于点，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，，
则由勾股定理知，，即．
解得．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等角对等边等知识， 此题难度不大，关键是推出等式．
16. 如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：①BC=DF；②；③；④，则，正确的有__________________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】由矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC，可判断①；通过证明△DCG≌△BEG，可得∠BGE=∠DGC，BG=DG，即可判断②③；过点G作GH⊥CD于H，设AD=4x=DF，AB=3x，由勾股定理可求BD=5x，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=x，DG=GB=x，由三角形面积公式可求解，可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠F=∠FAD，
∴AD=DF，
∴BC=DF，故①正确；
∵∠EAB=∠BEA=45°，
∴AB=BE=CD，
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，CG⊥AG，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，
∴∠CGA=∠DGB=90°，
∴BG⊥DG，故③正确；
过点G作GH⊥CD于H，
∵，
∴设AD=4x=DF，AB=3x，
∴CF=CE=x，BD=，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG=CH=FH=x，DG=GB=x，
∴S△DGF=×DF×HG=x2，S△BDG=DG×GB=x2，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. （1）化简：．
（2）计算：．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可；
（2）先计算零指数幂、负整数指数幂、立方根、绝对值，再进行实数混合运算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】此题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
18. 如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．
（1）求证：；
（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？
（直接写出条件即可，不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析；（3），且．
【解析】
【分析】（1）根据D是BC的中点，，可得，即可求证；
（2）根据等腰三角形“三线合一”，可得到，即可求解；
（3）根据，且，可得 ， ，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：因为D是BC的中点，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以四边形ADCE是平行四边形，
所以；
（2）若，则四边形ADCE是矩形，理由如下：
因为，且D是BC的中点，
所以，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形；
（3），且．理由如下：
由（2）得：四边形是矩形，
∵，且D是BC的中点，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴四边形ADCE为正方形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，矩形，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19. 为了选拔一名学生参加全市诗词大赛，学校组织了四次测试，其中甲乙两位同学成绩较为优秀，他们在四次测试中的成绩（单位：分）如下表所示
（1）分别求出两位同学在四次测试中的平均分；
（2）分别求出两位同学测试成绩的方差，若这次参赛目的是为了成绩稳定发挥，你认为选谁参加比赛更合适，请说明理由．
【答案】（1）90分；90分；
（2）选择甲参加比赛更合适，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由平均数的公式计算即可；
（2）先分别求出两位同学测试成绩的方差，再根据方差的意义求解即可．
【小问1详解】
（分，
（分，
【小问2详解】
，
，
甲的方差小于乙的方差，
选择甲参加比赛更合适．
【点睛】本题考查了方差与平均数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
20. “节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元；
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．
【答案】（1）2000元；（2）A型车20辆，B型车40辆
【解析】
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【详解】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得：
，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由题意，得
y=（2000-1500-200）a+（2400-1800）（60-a），
y=－300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60-a≤2a，
∴a≥20．
∵y=－300a+36000．
∴k=－300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y最大=30000元．
∴B型车的数量为：60-20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．
21. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图像经过点，交于点．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的周长最小，求此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
【答案】（1），直线解析式为
（2）的周长最小时，
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出D点坐标，然后再代入反比例函数解析式可求得k；然后再确定点E得坐标，再通过待定系数法即可解答；
（2）先求出关于轴对称点为，连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，再运用待定系数法求得直线的解析式，直线与x轴的交点即为P点坐标；
（3）先求出直线DE与x轴交点Q的坐标，再求出PE的长，然后结合点D、点E的坐标可求得、,最后根据求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
又∵点是边的中点，
∴，
∴
反比例函数解析式为，
∵为上一点，得．
∴，
∴，
设直线解析式为得：
，解得，
∴直线解析式为．
【小问2详解】
解：关于轴对称点为，
连接D′E交x轴于点P，此时△PDE周长最小，
设直线解析式为得
，解得，
∴直线解析式为
∴直线与轴交点为，
∴的周长最小时，．
小问3详解】
解：直线解析式为，设其与轴的交点为，
当y2=0，可得x=6
∴的坐标为，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴ ，
∴．
【点睛】本题属于反比例综合题，主要考查了反比例函数解析式、最短路径以及三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
22. 如图①，的顶点P是正方形两条对角线的交点，，将绕点P旋转，旋转过程中的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）
（1）如图①，当时，之间满足的数量关系是____________；
（2）如图②，将图①中的正方形改为的菱形，M是中点，其他条件不变，当时，求证：．
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中的边与线段延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，之间满足的数量关系．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意证明即可证明；
（2）根据菱形的性质和直角三角形的性质用“”即可证明；
（3）根据菱形的性质和直角三角形的性质证明，可得，进而求出答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
证明：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴，
∴；
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了四边形的综合题, 涉及全等三角形, 正方形及菱形的性质, 解答本题的关键是设计三角形全等, 巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系．甲
90
85
95
90
乙
98
82
88
92
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