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新教材(广西专版)高考数学一轮复习第十一章第七节二项分布、超几何分布、正态分布课件
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这是一份新教材(广西专版)高考数学一轮复习第十一章第七节二项分布、超几何分布、正态分布课件，共48页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，伯努利试验，XBnp，p1-p，np1-p，2正态曲线特点，XNμσ2，答案A等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做 . 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
实际原型是有放回地抽样检验问题
(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
微思考两点分布(0—1分布)和二项分布有什么关系?
提示 两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.
2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
微点拨超几何分布与二项分布的关系
3.正态分布(1)正态曲线
函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)= ,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为 .
服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ . ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ . ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .
微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?
提示 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中a=p,b=1-p.( )(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.( )
3.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(22.5)= .
解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验,且方案二比方案一更“优”,求p的取值范围.
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为
方法总结二项分布的解题策略
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列和均值.
典例突破例2.某高中学校德育处在全校组织了知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)如下:52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)写出该样本的中位数,若该校共有3 000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和均值.
方法总结求超几何分布的分布列的步骤
对点训练2(2023陕西西安一模)猜灯谜是我国一种民俗活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动,工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目,答题人从中随机选取4道灯谜题目作答,若答对3道及以上灯谜题目,答题人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.(1)求甲能获得奖品的概率;(2)记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与均值.
考向1.正态分布的概率计算典例突破例3.(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且
(2)(2023广东佛山二模)佛山被誉为“南国陶都”,拥有上千年的制陶史,佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)= .
答案 (1)A (2)1
解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),由对称性可知,P(X<1)=P(X>3).
(2)因为X~N(800,σ2),均值为μ=800,且P(X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=P(X<801)-P(X<800)=0.6-0.5=0.1.由题可得Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.
名师点析正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是“正态曲线关于直线x=μ对称”“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
对点训练3(1)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(x>-1)+P(x≥5)=1,则μ=( )A.-1B.1C.-2D.2(2)已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10 000袋这种食品,袋装质量在区间[492,504]的约有 袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3).
答案 (1)D (2)8 186
解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则对称轴为X=μ.又P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1),所以5和-1关于对称轴对称,则μ= =2.故选D.
(2)由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682 7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954 5,
故P(492≤X≤504)≈0.135 9+0.682 7=0.818 6,则袋装质量在区间[492,504]的约有10 000×0.818 6=8 186(袋).
考向2.正态分布的实际应用典例突破例4.某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级.该省的某市为了解本市9 630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49).现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
所以0.001 35×9 630≈13,所以全市前13名的成绩在90分以上,该50名考生成绩中90分以上的有0.08×50=4(人).
名师点析解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想.
对点训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.
解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.E(X)≈16×0.002 7=0.043 2.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
知识梳理1.n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做 . 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
实际原型是有放回地抽样检验问题
(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0
微思考两点分布(0—1分布)和二项分布有什么关系?
提示 两点分布是一种特殊的二项分布,即是n=1的二项分布;二项分布可以看作两点分布的一般形式.
2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
微点拨超几何分布与二项分布的关系
3.正态分布(1)正态曲线
函数f(x)= ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.特别地,当μ=0,σ=1时,相应曲线称为标准正态曲线.
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.②曲线与x轴之间的区域的面积为1.③曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
⑥当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中,如图1所示;σ较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图2所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)= ,x∈R,则称随机变量X服从正态分布,记为 .
服从正态分布的随机变量是一种连续型随机变量
假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ . ②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ . ③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ .
微点拨1.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用“正态曲线关于直线X=μ对称”和“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.2.在实际应用中,通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
微思考正态分布函数中的μ,σ的含义是什么?
提示 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n展开式的通项,其中a=p,b=1-p.( )(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布.( )
3.随机变量X服从正态分布N(2,σ2),若P(2
解析由题意可知,P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)=P(X>2)-P(2
(2)若将该4例疑似病例样本进行化验,且方案二比方案一更“优”,求p的取值范围.
则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列为
方法总结二项分布的解题策略
对点训练1一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ,现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物.如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,那么称该组为“甲类组”.(1)求一个试用组为“甲类组”的概率;(2)观察3个试用组,用η表示这3个试用组中“甲类组”的个数,求η的分布列和均值.
典例突破例2.某高中学校德育处在全校组织了知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制)如下:52,63,67,68,72,76,76,76,82,88,93,94.(1)写出该样本的中位数,若该校共有3 000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;(2)从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人,记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布列和均值.
方法总结求超几何分布的分布列的步骤
对点训练2(2023陕西西安一模)猜灯谜是我国一种民俗活动.某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动,工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目,答题人从中随机选取4道灯谜题目作答,若答对3道及以上灯谜题目,答题人便可获得奖品.已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道.(1)求甲能获得奖品的概率;(2)记甲答对灯谜题目的数量为X,求X的分布列与均值.
考向1.正态分布的概率计算典例突破例3.(1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且
(2)(2023广东佛山二模)佛山被誉为“南国陶都”,拥有上千年的制陶史,佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,现从该生产线上随机抽取10片瓷砖,记Y表示800≤X<801的瓷砖片数,则E(Y)= .
答案 (1)A (2)1
解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),由对称性可知,P(X<1)=P(X>3).
(2)因为X~N(800,σ2),均值为μ=800,且P(X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=P(X<801)-P(X<800)=0.6-0.5=0.1.由题可得Y~B(10,0.1),所以E(Y)=10×0.1=1.
名师点析正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是“正态曲线关于直线x=μ对称”“曲线与x轴之间的区域的面积为1”.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
对点训练3(1)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(x>-1)+P(x≥5)=1,则μ=( )A.-1B.1C.-2D.2(2)已知某种袋装食品每袋质量X~N(500,16),则随机抽取10 000袋这种食品,袋装质量在区间[492,504]的约有 袋(质量单位:g).(附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997 3).
答案 (1)D (2)8 186
解析 (1)因为随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则对称轴为X=μ.又P(X>-1)+P(X≥5)=1,而P(X>-1)+P(X≤-1)=1,所以P(X≥5)=P(X≤-1),所以5和-1关于对称轴对称,则μ= =2.故选D.
(2)由题意得P(500-4≤X≤500+4)≈0.682 7,P(500-8≤X≤500+8)≈0.954 5,
故P(492≤X≤504)≈0.135 9+0.682 7=0.818 6,则袋装质量在区间[492,504]的约有10 000×0.818 6=8 186(袋).
考向2.正态分布的实际应用典例突破例4.某省高考改革方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门等级性考试科目中自主选择3个,在获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级,位次由高到低分为A,B,C,D,E五等21级.该省的某市为了解本市9 630名学生的某次选考化学成绩水平,统计在全市范围内选考化学的原始成绩,发现其成绩服从正态分布N(69,49).现从某校随机抽取了50名学生,将所得成绩整理后,绘制出如图所示的频率分布直方图.
(2)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人,该两人成绩排名(从高到低)在全市前13名的人数记为X,求随机变量X的分布列.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
所以0.001 35×9 630≈13,所以全市前13名的成绩在90分以上,该50名考生成绩中90分以上的有0.08×50=4(人).
名师点析解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内取值的概率.在此过程中会用到归纳思想和数形结合思想.
对点训练4为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95.
解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率约为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率约为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.E(X)≈16×0.002 7=0.043 2.(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
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