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2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第九章 平面解析几何 高考解答题专项五 第3课时 证明与探究问题（课件）
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考向1.利用直接法证明圆锥曲线中的问题
例1.(2021山东肥城模拟)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线的倾斜角为30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过点F的直线与双曲线的右支交于A,B两点,与y轴交于点P,点P关于原点的对称点为点Q,求证:S△QAB> .
(2)证明由题可知直线的斜率存在,所以设直线方程为y=k(x-2),所以P(0,-2k),Q(0,2k).设A(x1,y1),B(x2,y2).
名师点析对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质或基本不等式求得最值.
考向2.利用转化法证明圆锥曲线中的问题例2.设椭圆C: +y2=1的右焦点为点F,过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设点O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解 (1)由题可知F(1,0),直线l的方程为x=1.
(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
名师点析利用转化法证明圆锥曲线问题的三种策略
对点训练2在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过定点F(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设M为直线l:x=-1上任意一点,过点M作曲线C的切线,切点为N(图略),证明:MF⊥NF.
考向1.利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题例3.已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.
(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,直线AB的方程为y=x-1,所以M(-1,-2).
名师点析利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题的流程
(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点,点P为直线x=3上的一点,是否存在直线l与点P,使得△ABP恰好为等边三角形?若存在,求出△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
考向2.利用探究转化法解答圆锥曲线中的探究问题
(2)假设存在这样的直线,由题可知直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+m.
名师点析转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.
考向1.利用直接法证明圆锥曲线中的问题
例1.(2021山东肥城模拟)已知双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点F与抛物线y2=8x的焦点重合,一条渐近线的倾斜角为30°.(1)求双曲线C的方程;(2)过点F的直线与双曲线的右支交于A,B两点,与y轴交于点P,点P关于原点的对称点为点Q,求证:S△QAB> .
(2)证明由题可知直线的斜率存在,所以设直线方程为y=k(x-2),所以P(0,-2k),Q(0,2k).设A(x1,y1),B(x2,y2).
名师点析对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质或基本不等式求得最值.
考向2.利用转化法证明圆锥曲线中的问题例2.设椭圆C: +y2=1的右焦点为点F,过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设点O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.
解 (1)由题可知F(1,0),直线l的方程为x=1.
(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则
名师点析利用转化法证明圆锥曲线问题的三种策略
对点训练2在平面直角坐标系中,已知圆心为点Q的动圆恒过定点F(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设M为直线l:x=-1上任意一点,过点M作曲线C的切线,切点为N(图略),证明:MF⊥NF.
考向1.利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题例3.已知点F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.
(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,直线AB的方程为y=x-1,所以M(-1,-2).
名师点析利用肯定顺推法解答圆锥曲线中的探究问题的流程
(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A,B两点,点P为直线x=3上的一点,是否存在直线l与点P,使得△ABP恰好为等边三角形?若存在,求出△ABP的面积;若不存在,请说明理由.
考向2.利用探究转化法解答圆锥曲线中的探究问题
(2)假设存在这样的直线,由题可知直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+m.
名师点析转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.
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