精品解析：重庆市九龙坡区、綦江区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解得，即可选出正确答案．
【详解】解：由题意得，
解得，
即二次根式中x的取值范围是，
故x的取值可以是，
故选：A
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方式为非负数是解题的关键．
2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一、据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】A、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故A选项能证明勾股定理；
B、梯形的面积为：；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴ ，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．
3. 点和都在直线上，且，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的增减性即可得．
【详解】解：∵一次函数中，
随的增大而减小，
点和都在直线上，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
4. 如图，点O为菱形的对角线的交点，点M，N分别为边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. B. 12C. D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据是的中位线，根据三角形中位线定理求的的长，然后根据菱形的性质求解．
【详解】解：∵点M，N分别为边的中点，即是的中位线，
∴，
∵，
所以菱形的面积为 ，
故选：C
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理求的的长是关键．
5. 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．一辆以电能作为动力来源的新能源汽车剩余的电量百分比y（%）与已行驶的路程x（千米）的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗电量相同，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（ ）
A. 48千米B. 96千米C. 56千米D. 102千米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出与的函数关系式，当时，即可求解．
【详解】解：设，由题意得
，
解得，
，
当时，，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，理解自变量和函数值所对应的实际意义是解题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 是最简二次根式B. 与是同类二次根式C. D. 的化简结果是
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简逐项分析判断即可．
【详解】解：A.不是最简二次根式，原说法错误；
B.，与是同类二次根式，原说法正确；
C.在，的情况下，原说法错误；
D.的化简结果是2，原说法错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式、同类二次根式的定义以及二次根式的性质和化简，熟练掌握基础知识是解题的关键．
7. 如图，在正方形中，点P在对角线上，，，E、F分别为垂足，连接、，若，则（ ）

A. 3B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据正方形的对称性得出，然后证明四边形是矩形，根据矩形的对角线相等即可求解．
【详解】解：如图，连接，

∵在正方形中，点在对角线上，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，作出辅助线，证明是解题的关键．
8. 对于一次函数，下列说法错误的是（ ）
A. y随x的增大而减小
B. 图象与y轴交点为
C. 图象经过第一、二、四象限
D. 图象经过点
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数可变为，利用即可判断A选项，当时，，即可判断B选项，，可判断C选项，当时，，解得，即可判断D选项．
【详解】解：一次函数可变为，
A．∵，∴y随x的增大而减小，故选项正确，不符合题意；
B．当时，，∴图象与y轴交点为，故选项错误，符合题意；
C．∵，，∴图象经过第一、二、四象限，故选项正确，不符合题意；
D．当时，，解得，∴图象经过点，故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
9. 如图，在中，，于F，交于E，若，则的大小是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质，可得，结合已知条件可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得，求得，根据直角三角两锐角互余即可求得．
【详解】解：如图，取的中点，连接，

四边形是平行四边形
∴，
，
，
是直角三角形，
的的中点，
，
，
，
，
，
∵，
，，
，
，
，
∴，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的两锐角互余，等边对等角，三角形的外角性质，找中点作辅助线是解题的关键．
10. 在统计学中，我们用方差来衡量一组数据波动的大小．下列说法正确的有（ ）
①有一组数据：a，b，c，d（）．将这组数据改变为：，b，c，．设这组数据改变前后的方差分别是，，则；
②若40个数据的平方和是40，平均数是，则这组数据的方差为；
③已知一组数据，，…的平均数为1，方差为，若在这组数据中加入另一个数据，重新计算，平均数无变化，则这10个数据的方差为．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据这组数据改变后，数据的波动变大了可知方差变大了，然后可得①正确；设这40个数据分别为，，，…，，根据题意和平均数的计算方法得出，，然后整体代入方差公式进行计算，即可得到②正确；根据方差的计算公式求出，然后整体代入计算，即可得到③正确．
【详解】解：①∵这组数据改变后，数据的波动变大了，
∴，说法正确；
②设这40个数据分别为，，，…，，
∴，，
∴这组数据的方差为
，说法正确；
③∵一组数据，，…的平均数为1，加入另一个数据，平均数无变化，
∴，
∵一组数据，，…的方差为，
∴，
∴，
∴这10个数据的方差为，说法正确；
∴说法正确的有3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的意义，求一组数据的算术平均数和方差，熟练掌握方差公式是解题的关键．
二、填空题．本大题8个小题，每小题4分，共32分，请把答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 已知，且n为正整数，则___________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据无理数的估算即可得．
【详解】解：，
，
为正整数，且，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为_____．
【答案】36
【解析】
【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】在Rt△ACB中，，
则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
13. 如图，在菱形中，轴，且，，则点A的坐标为 ___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，然后根据轴即可得．
【详解】解：，，
，
四边形是菱形，
，
又轴，
，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式、菱形的性质、坐标与图形，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．
14. 一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少2个单位长度，则此函数图象向下平移3个单位长度的表达式是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出一次函数的图象也经过点，利用待定系数法求得解析式，进而根据平移的规律即可求得平移后的函数解析式．
【详解】解：一次函数的图像经过点，且当增加1个单位时，减少2个单位长度，
一次函数图象也经过点，
，
解得：，
一次函数的解析式为：，
此函数图像向下平移3个单位长度的表达式是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键．
15. 某超市销售A，B，C三种矿泉水，它们每瓶的单价依次是2元、3元、元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是 ___________元．
【答案】
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得结果．
【详解】解：这天销售的矿泉水的平均单价是：
（元）．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
16. 一次函数（m为常数），当时，在x的取值范围内有且仅有三个负整数，则m的取值范围是 ___________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据当时，即，解得，由在x的取值范围内有且仅有三个负整数，即可得到m的取值范围．
【详解】解：当时，即，解得，
∵在x的取值范围内有且仅有三个负整数，
∴负整数是，
∴m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】此题考查了一次函数、一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质和一元一次不等式的解集是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，，E是的中点，将沿直线翻折至矩形所在平面内，得到，连接，并延长交于点F，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，设交于点H，如图，根据折叠的性质、矩形的性质和三角形的外角性质可证明，进而可得四边形是平行四边形，可得，然后利用勾股定理求出，等面积法求出，进而求得，证明，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，E是的中点，，
∴，，
∴，
连接，设交于点H，如图，
∵将沿直线翻折至矩形所在平面内，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则在直角三角形中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
则在直角三角形中，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．
18. 对于一个四位正整数，如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字则称这个数是“加油数”；如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字则称这个数是“满意数”．一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，规定：．已知“满意数”（，，x、y是整数），“加油数”（，，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除．现规定，当k取最大值时， ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据满意数的定义求出，可得，然后可得；再分情况讨论的值，根据“的各个数位上的数字之和能被12整除”求出t的值，进而求出，即可得解．
【详解】解：是满意数，
，
，
，
，
（，）是加油数，
∴当时，t各数位上数字和为，
，
又能被12整除，
，
，
t是加油数，
，
或，
或，
∴或，
或者，
当时，t各数位上数字和为，
∴，
又 能被12整除，
∴，
∴，
t是加油数，
∴，
∴或，
∴或，
∴或，
或者，
∴当时，取最大值，此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下有理数运算，整式的加减，解题的关键是理解新定义中各个量之间的关系，并根据关系进行分类讨论求解．
三、解答题．本大题8个小题，第19题8分，第20-26题每题10分，共78分．解答时，每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并写在答题卡上．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行计算；
（2）先利用二次根式的乘法法则，绝对值的性质，负整数指数幂的性质化简，再进行计算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：一般情况下先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 如图，在中，，O是的中点，点M在的延长线上．
（1）作的平分线，连接，并延长交于点D，连接；（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，完成四边形是平行四边形的证明过程．
证明：∵是的平分线
∴___________①
∵
∴
∵___________②
∴
∴
∴
∴___________③
∴
∵O是的中点
∴___________④
在和中，
∴
∴___________⑤
∵
∴四边形是平行四边形 ___________⑥．（填写推理依据）
【答案】（1）见解析 （2）①，②，③，④，⑤，⑥有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图、线段的作法即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的判定即可得证．
【小问1详解】
解：由题意，作图如下：
【小问2详解】
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形（有一组对边平行且相等四边形是平行四边形）．
故答案为：①，②，③，④，⑤，⑥有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
21. 2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和七年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：，B：，C：，D：．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：

根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空： ___________， ___________， ___________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【答案】（1）87.5；88；35；
（2）八年级的成绩更好，理由见解析；
（3）估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．
【解析】
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，根据八年级等级C的学生人数求出其所占百分比，可得m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
小问1详解】
解：由题意得：八年级等级A的学生人数为（人），
等级B的学生人数为（人），
∴八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故八年级学生成绩的中位数；
七年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数；
由题意可得：，
故，
故答案为：87.5；88；35；
【小问2详解】
解：八年级的成绩更好，
理由：因为两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于七年级；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有430人．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
22. A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶，甲车从A城驶往B城，乙车从B城驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如下表，已知y是x的一次函数．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，当乙车与甲车相遇后速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚1小时到达终点，求乙车变化后的速度a．
【答案】（1）
（2）乙车变化后的速度a为千米/时．
【解析】
【分析】（1）直接用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出相遇的时间，再求出甲车到达终点的时间，可得乙车到达终点的时间，然后根据速度＝路程÷时间即可求得变化后的速度的值．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为，
将，代入得，
解得，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
解：由表格可知，之间的距离为，甲车的速度为：（千米/时），
∴相遇时间为（小时），
∵甲车到达终点的时间为（小时），
∴乙车到达终点的时间为（小时），
∴（千米/时）
答：乙车变化后的速度a为千米/时．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，有理数四则运算的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向．
（1）求的度数；
（2）求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号）
【答案】（1）
（2）千米．
【解析】
【分析】（1）如图，由得，再求得，由三角形内角和定理即可得到答案；
（2）过点B作于点H，则，在中，求出，在中，由即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
即的度数为；
【小问2详解】
过点B作于点H，
则，
在中，，
在中，（米），
即B，C两地的距离为千米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是前提，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，．点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线向终点C运动，连接、，设点P运动的时间为x秒，的面积为y．（点P不与点O、点C重合）

（1）请直接写出y关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质；
（3）根据图象直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析；当时，y随x的增大而增大．
（3）
【解析】
【分析】（1）分点P在边上，点P在边上，点P在边上三种情况，分别根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）根据函数解析式画出函数图象，根据函数图象可知函数的性质；
（3）由时，或，结合函数图象可直接得出答案．
【小问1详解】
解：∵矩形的顶点，，
∴，，
当点P在边上，即时，，
当点P在边上，即时，，
当点P在边上，即时，，
综上，；
【小问2详解】
函数图象如图：

性质：当时，y随x的增大而增大．
【小问3详解】
当时，或，
由函数图象得，时，．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数的图象和性质，正确求出函数解析式是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，此直线交x轴于点B，交y轴于点A，直线与x轴交于点D．

（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点M在x轴上方，且在直线上，若面积等于12，请求出点M的坐标；
（3）如图2，已知点，若点P为直线上一动点，连接，在坐标轴上是否存在点Q，使是以Q为直角顶点，为底边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，点Q坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）分别令，即可得出答案；
（2）设交于N，，利用待定系数法求出直线的解析式，然后可得点N的坐标，再根据面积等于12列式求出a的值即可；
（3）分四种情况：①如图，当点在y轴正半轴上且在下方时，设，过点作直线交于E，过点P作于F，证明，可得，，则，然后根据点P在直线上，代入求出t的值即可；②如图，当点在y轴正半轴上且在上方时，③如图，当点在x轴负半轴上时，④如图，当点在x轴正半轴上时，同理求解即可．
【小问1详解】
解：在中，
令，得，
令，解得，
，；
【小问2详解】
解：如图1，设交于N，，直线的解析式为，

代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
解得：，
∴ ，
∵，
∴，
∵面积等于12，
∴，
解得：，
∴；
【小问3详解】
存在；
分情况讨论：①如图，当点在y轴正半轴上且在下方时，设，
过点作直线交于E，过点P作于F，

则，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵点P在直线上，
∴，
解得：，
∴；
②如图，当点在y轴正半轴上且在上方时，
同理可得：；

③如图，当点在x轴负半轴上时，
同理可得：；

④如图，当点在x轴正半轴上时，
同理可得：；

综上所述，存在使是以Q为直角顶点，为底边的等腰直角三角形，点Q坐标为或或或．
【点睛】本题为一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．
26. 已知，在中，，，D为线段上一点，连接，过点C作，，连接，延长到点E，连接，使得．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点G是线段上一点，连接，过点G作，过点D作，交于点H，求证：；
（3）如图3，点M为上一点，连接，若，，请直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明，利用证明，推出，再证明是等腰直角三角形即可求解；
（2）过点H作交的延长线于点P，交的延长线于点Q，证明四边形为矩形，推出，再证明五点共圆，推出是等腰直角三角形，即可证明结论；
（3）作交线段于点I，则，，，求得，，在的下方作，过点M作于点N，则，当D、M、N在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
证明：过点H作交的延长线于点Q，交的延长线于点P，

∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴五点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（1）得，
∴，，
作交线段于点I，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在的下方作，过点M作于点N，

∴，
当D、M、N在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的运算等知识，本题难度大，解题的关键是作出合适的辅助线，构造出等腰直角三角形以及含的直角三角形．
四、选作题．本大题1个小题，共20分，不计入总分，解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
27. 如图是数学中很有意思的一个图形，常被称为杨辉三角．它具有以下一些基本的特点：
①每一行两端均为1；
②第n行有n个数；
③从第3行开始，除两端的1外，中间的数等于其左上角的数与右上角的数的和．
例如：第5行的（左上角的数）（右上角的数），又如第6行左边的（左上角的数）（右上角的数）．显然这个三角是可以无限往下延伸的．
该三角的一个很大的用途是计算（需观察第n+1行的数）的展开式．例如：当时，第三行的数依次为1，2，1，则，当时，第6行的数依次为1，5，10，10，5，1，则（按a的降幂，b的升幂排列）．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）第7行从左往右数，第3个数为 ___________；从上往下数，数字70第一次出现在第 ___________行从左往右数第 ___________个位置；
（2）___________ ___________； ___________+___________+___________+___________+___________；
（3）设，求的值．
（4）设，求的值．
【答案】（1）15，9，5；
（2）3，3，，，，，；
（3）
（4）64
【解析】
【分析】（1）根据题意写出第7行数字，即可得出第7行从左往右数，第3个数是多少，再往下写第8和第9行，即可得知数字70第一次出现哪个位置；
（2）根据题意，当时，第4行的数依次为1，3，3，1，即为展开项的系数，当时同理即可求解；
（3）先将各项展开，得到，，，，，代入求值即可；
（4）当时，第7行的数依次为1、6、15、20、15、6、1，将各项展开，得到，，，，，，，代入求值即可
【小问1详解】
解：根据题意，第7行数字为：1、6、15、20、15、6、1；
第8行数字为：1、7、21、35、35、21、7、1；
第9行数字为：1、8、28、56、70、56、28、8、1；
∴第7行从左往右数，第3个数15；从上往下数，数字70第一次出现在第9行从左往右数第5个位置；
故答案为：15，9，5；
【小问2详解】
当时，第4行的数依次为1，3，3，1，
∴，
当时，第7行的数依次为1、6、15、20、15、6、1，
∴，
故答案为：3，3，，，，，；
【小问3详解】
解：当时，第5行的数依次为1、4、6、4、1，
∴
∵
∴，，，，，
∴；
【小问4详解】
当时，第7行的数依次为1、6、15、20、15、6、1，
，
∵，
∴，，，，，，，
∴
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意是解题的关键．学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
b
59.66
八年级
85.2
a
91
91.76
行驶时间x（时）
0
1
2
甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）
450
360
270