北京市昌平区2024年九年级中考二模数学试卷（解析版）

这是一份北京市昌平区2024年九年级中考二模数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024年2月5日至25日，人民网连续第23次开展全国两会调查，调查围绕10个领域设置49个候选热词．本次调查广纳民情民意，吸引约6 150 000人次参与，其中6 150 000用科学记数法可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
2. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故符合题意；
故选D．
3. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，，光线在空气中也平行，

，.
，
，.
.
故选：C.
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数轴可知，，，
A、，，故本选项不符合题意；
B、，，，，故本选项不符合题意；
C、，，，，，故本选项不符合题意；
D、，，，故本选项符合题意；
故选：D．
5. 正多边形的一个外角是，那么这个正多边形是（ ）
A. 正四边形B. 正六边形C. 正八边形D. 正十边形
【答案】B
【解析】∵正多边形的一个外角是，
∴这个正多边形的边数为，
∴这个正多边形为正六边形．
故选：B．
6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，得：，
解得，
故选：C．
7. 在不透明的袋子里有三个除颜色外其它都相同的小球，两个红球，一个黄球，从中随机同时取出两个小球，其中取到一个红球一个黄球的概率为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】列表把所有等可能结果表示出来，两个红球分别表示为红1，红2，
共有6种等可能结果，其中一个红球一个黄球的结果有4种，
∴取到一个红球一个黄球的概率为，
故选：A ．
8. 如图，为半圆O的直径，C，D是直径上两点，且，过点D作的垂线交半圆于点E，．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
【答案】D
【解析】由题意知，，，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
如图，连接，
∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，②正确，故符合要求；
∴，
∴，
∴，③正确，故不符合要求；
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】代数式有意义，


故答案为：.
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
【答案】3（x+y）2．
【解析】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2．
故答案为3（x+y）2．
11. 分式方程的解是__________．
【答案】
【解析】去分母得：，
解得：，
当时，．
所以原方程的解为．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则__________．
【答案】8
【解析】点和在反比例函数图象上，
，
解得，
故答案为：8．
13. 如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧上一点，若，则__________°．
【答案】50
【解析】连接，，
，分别切圆于、，
半径，半径，
，
，
，
．
故答案为：50．
14. 年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 __________（结果保留两位小数）．
【答案】
【解析】由题意知，种植杨树的成活率大约为，
故答案为：．
15. 图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为__________cm．
【答案】3
【解析】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
，
，
，，
，
解得：，
故答案为：3．
16. 某学校为丰富学生的课余生活，组织校园篮球赛，初三年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知第一天（2）班与（4）班比赛，第二天（3）班与（5）班比赛，第三天（4）班与（6）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，那么第三天与（3）班比赛的是__________班，第五天与（1）班比赛的是__________班．
【答案】（1） （2）
【解析】（3）班已知的比赛：第二天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（3）班比赛，而第三天已知进行的是（4）班与（6）班比赛，故第三天只有（1）班与（3）班比赛，
（4）班与（2）班比赛在第一天，（4）班与（6）班比赛在第三天，第二天已知（3）班与（5）班比赛，故第二天（4）班与（1）班比赛，（2）班与（6）班比赛，同理可得：第四天（1）班与（6）班比赛，（4）班与（5）班比赛，第一天（3）班与（6）班比赛，（1）班与（5）班比赛，故最后一天为（1）班与（2）班比赛，（3）班与（4）班比赛，（5）班与（6）班比赛，如表1
同一天场地上的比赛可交换进行．
故答案为：（1），（2）.
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 计算：.
解：原式
．
18. 解不等式组：．
解：．
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以这个不等式的解集为．
19. 已知，求代数式的值．
解：原式
，
，
原式.
20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．
（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
中，，
，，
，，
过点C作的垂线交其延长线于点E，
，
中，，
．
21. 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？
解：因为边空宽：字宽：字距，
所以设边空宽为，字宽为，字距为.
由题意可得：，
解得.
答：横幅字距为．
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（1，3）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=2x的图象平移得到，
∴k=2．
∵一次函数y=2x+b的图象过点（1，3），
∴3=2×1+b．
∴b=1．
∴这个一次函数的表达式为y=2x+1．
（2）把点（1，3）代入y=mx，求得m=3，
∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=2x+1的值，
∴m≥3．
23. 4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息．
a.初一、初二年级学生得分的折线图
b.初三年级学生得分：
10，9，6，10，8，7，10，7，3，10
c.初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下
根据以上信息，回答下列问题：
（1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是__________（填“初一”或“初二”）；
（2）统计表中__________，__________；
（3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：__________（写出符合题意的序号）.
①平均数；②中位数；③众数；④方差.
解：（1）由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一．
故答案为：初一；
（2）由题意得，，
把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，
故中位数，
故答案为：8，8.5；
（3）将其中的数据6改为9，则数据变为：10，9，9，10，8，7，10，7，3，10
数据变化，
平均数、方差改变，
中位数为：，
中位数改变，
众数依然是10，
众数不变．
故答案为：①②④．
24. 如图，是的直径，点C在上，若弦平分，交于点E，过点C作的切线，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求半径的长．
（1）证明：连接.
平分，
，
∴，
是直径，，
，
在中，，
是切线，
，
，
，
，
，
.
（2）解：连接，
直径，
∴，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
中，，
设，则，，∴，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
即半径的长为2．
25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
（1）该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
（2）若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．
解：（1）方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
，方案二效果更好；
故答案为：，，；二；
（2），
当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后该衣服中存有污物是原来的
故答案为：二，．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中．
（1）若抛物线经过点，
①求抛物线的对称轴；
②当时，比较，的大小，并说明理由；
（2）设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围．
解：（1）①∵抛物线经过点和点，
∴抛物线的对称轴是：直线，
②，理由如下：
∵，
∴离对称轴越近，函数值越小，
∵，，
∴，
∴，
当时，，
即点比点离对称轴更近，
∴，
当时，
∵
∴，
即点比点离对称轴更近，
∴，
综上所述：．
（2）∵即，开口向上，
∴，
∴
，
∵，
∴随着m的增大而增大，
要使得存在实数，当时，都有，
只需保证，
即当时，，
∴的取值范围是．
27. 如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，．
（1）如图1，当点D在边上时，
①根据题意，补全图1；
②直接写出：__________；
（2）如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
解：（1）①根据题意补全图形如下：
②设，，
，，
，
，
；
（2）成立，
延长，取，连接，
，，
，
，，
，
，
点为的中点，点为的中点，
，，，．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，．
（1）如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________；
（2）若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围；
（3）以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围．
解：（1）连接和，过点B作轴于点H，如图，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴点A饶点顺时针旋转得到点B，
则点是线段的“关联点”；
∵，，，
∴
设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则
∴点、点，
∵点的纵坐标小于点B纵坐标
∴线段与线段无交点，
则点不是线段的“关联点”；
∵，，，
∴，
∴
∴点B饶点顺时针旋转得到点A，
则点是线段的“关联点”；
故答案为：，；
（2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴
由题意可设点，
∵，，
∴
∴点的纵坐标为，
同理，可得点的纵坐标为，
∵点P为线段的“关联点”，
∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，
①当线段的A点和线段的重合，
∵，点的纵坐标为，
∴，解得；
②当线段的B点和线段的重合，
∵，点的纵坐标为，
∴；
综上所述，；
（3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，
∵点P为的“关联点”，
∴与由公共点，如图，
∴，
即线段上存在点P使得，
①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，
∵，，，∴
即t的最大值为4；
②当点T到线段的距离为时，如图，
则，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，
设点C为直线与x轴的交点，则点，
∵，，∴，
∴，即，解得，
∴，即．
红1
红2
黄
红1
--------
红1，红2
红1，黄
红2
红2，红1
----------
红2，黄
黄
黄，红1
黄，红2
---------
第一批次
第二批次
第三批次
第四批次
第五批次
种植数量
成活数量
成活频率
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
场地1
场地2
场地3
年级
初一
初二
初三
平均数
8
8
m
中位数
8
8.5
n