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四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二下学期第三次月考（5月）数学试题（学生版+教师版）
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考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（40分）
1. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 21B. 24C. 27D. 29
2 若随机变量，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 32
3. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A. 0.93B. 0.934C. 0.94D. 0.945
4. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 180B. C. D. 90
6. 在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A. B. 60C. 80D. 160
7. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ）
A. 26B. 25C. 24D. 23
8. 已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（18分）
9. 在一个袋中装有质地大小一样6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 随机变量服从超几何分布D. 随机变量服从二项分布
10. 已知数列前项和，则（ ）
A. 不是等差数列B.
C. 数列是等差数列D.
11. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆或的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 矩形的四边均与椭圆相切，若为正方形，则的边长为
C. 若是椭圆的蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为
D. 若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分）
12. 某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为__________.（用数字作答）
13. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
14. 已知函数，函数有两个极值点．若，则最小值是______.
四、解答题（77分）
15. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
16. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．
18. 已知椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线交于两点（点在点的上方），的上､下顶点分别为，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
19. 已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）当时，讨论函数的单调性．
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（40分）
1. 在等差数列中，若，则（ ）
A. 21B. 24C. 27D. 29
2 若随机变量，则（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 32
3. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A. 0.93B. 0.934C. 0.94D. 0.945
4. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A. 180B. C. D. 90
6. 在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A. B. 60C. 80D. 160
7. 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为（ ）
A. 26B. 25C. 24D. 23
8. 已知函数在上无极值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（18分）
9. 在一个袋中装有质地大小一样6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 随机变量服从超几何分布D. 随机变量服从二项分布
10. 已知数列前项和，则（ ）
A. 不是等差数列B.
C. 数列是等差数列D.
11. 法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆或的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的蒙日圆方程为
B. 矩形的四边均与椭圆相切，若为正方形，则的边长为
C. 若是椭圆的蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为
D. 若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或
第II卷（非选择题）
三、填空题（15分）
12. 某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为__________.（用数字作答）
13. 过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为______.
14. 已知函数，函数有两个极值点．若，则最小值是______.
四、解答题（77分）
15. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
16. 为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自高一的人数为，来自高二的人数为，试判断与的大小关系．（结论不要求证明）
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为2的正方形.
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．
18. 已知椭圆经过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线交于两点（点在点的上方），的上､下顶点分别为，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
19. 已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程．
（2）当时，讨论函数的单调性．
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
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