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【数学】安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测试题（解析版）
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这是一份【数学】安徽省合肥市庐江县2022-2023学年高二下学期期末教学质量抽测试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的答案涂在答题卡上）
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B.
2. 复数(i为虚数单位)在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意，复数，
可得复数对应点为，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．
基本事件为：，
5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，
则，
所以．
故选：A．
4. 是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数且单调递减，又由得，所以，即为，故答案选B.
5. 随机变量，且，则（ ）
A. 64B. 128C. 256D. 32
【答案】A
【解析】随机变量服从二项分布，且，所以，
则，因此.故选A.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ）
A. B. C. 9D. 6
【答案】D
【解析】如图，设E、F在底面的投影分别为，过分别作交正方形对应边于I、J、K、L，易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL，设，则，故则该刍瞢的体积为：
．
故选：D．
7. 如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，则从正方形开始，连续15个正方形的面积之和等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第个正方形的面积为，设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，
所以第个正方形的边长为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，
当时，，又，
数列是首项为，公比为的等比数列，
连续15个正方形的面积之和等于
故选：B
8. 下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ①②
【答案】A
【解析】对于①：随机变量服从二项分布，
则，故①正确；
对于②：随机变量服从正态分布且，
则，故②正确；
对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，
则，，所以，故③正确；
对于④：，，故④错误．
故选：A．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确的答案涂在答题卡上）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B. 正态分布在区间和上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
【答案】BD
【解析】对于A，根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．A错误；
对于B，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，
所以在两个区间上的概率相等，B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，C错误；
对于D，一组数据的平均数是，则，
所以该组数据的众数和中位数均为，D正确．
故选：BD
10. 若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项
【答案】CD
【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则
所以该展开式中二项式系数最大的项为与项
即为第5项；第6项.故选：CD
11. 已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】BC
【解析】令，得，
即当时，；
当时，；
当时，，
所以和的值最大.
故选：BC.
12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数在区间内单调递增
B. 当时，函数取得极小值
C. 函数在区间内单调递增
D. 当时，函数有极小值
【答案】BC
【解析】对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；
对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，故D不正确.
故选：BC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设向量，若，则______________.
【答案】5
【解析】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
14. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】由，
可得
则，即，解得．故答案为：.
15. 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
（参考公式与数据：，其中）
【答案】有
【解析】依题意，可得出如下列联表：
，
所以有以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
故答案为：有.
16. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
【答案】0.087
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设__________，求数列的前项和为．
①，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
解：（1）设数列的公差为，数列的首项为，
由题知，，
因为，解得，
所以，
又，即，解得，
所以．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）选条件①：，则，
故，两式相减得
，
．
选条件②：，
，
．
选条件③：，
．
18. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
解：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴．
19. 四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心为直径的球面交于点，交于点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
解：（1）证法一：依题设知，是所作球面的直径，则.
又因为平面，平面，则，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，则，
由，，平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
证法二：
因为平面，
所以，又以的中点为球心为直径的球面交于点，
所以，故为的中点，
建立空间直角坐标系如图，
则．
，
设平面的法向量为，
则
即
取，则，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则，
所以平面的一个法向量为．
即
平面平面．
（2）设平面的一个法向量，
又，，
由，可得：，
令，则，
设所求角为，则，
故所求角的正弦值为．
20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
解：（1）因为，
，
，
，，
因此相关系数，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，
因此，当时，，
所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．
21. 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
解：（1）设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
22. 已知函数.
（1）若函数有两个零点，求取值范围；
（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.
解：（1）令，．
令．．
时，，时，，
在单调递增，在单调递减，
且时，，时，，
要使函数有两个零点，则（1）即可，
的取值范围的取值范围为：．
（2），．
设，
，设，．
在上单调递增，而，（1）．
，，，即，．
在单调递增，在，单调递减．
，，
时，关于的不等式在上恒成立．国内代表
国外代表
合计
不乐观
乐观
合计
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的答案涂在答题卡上）
1. 设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 ,选B.
2. 复数(i为虚数单位)在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意，复数，
可得复数对应点为，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 算盘是我国一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位､十位､百位､千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位､十位､百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．
基本事件为：，
5500共14种，
事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050，
则，
所以．
故选：A．
4. 是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数且单调递减，又由得，所以，即为，故答案选B.
5. 随机变量，且，则（ ）
A. 64B. 128C. 256D. 32
【答案】A
【解析】随机变量服从二项分布，且，所以，
则，因此.故选A.
6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为3的正方形，上棱平面与平面的距离为，该刍甍的体积为（ ）
A. B. C. 9D. 6
【答案】D
【解析】如图，设E、F在底面的投影分别为，过分别作交正方形对应边于I、J、K、L，易知该刍甍被分割为四棱锥E-ADJI和F-BCLK，及三棱柱EIJ-FKL，设，则，故则该刍瞢的体积为：
．
故选：D．
7. 如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，则从正方形开始，连续15个正方形的面积之和等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第个正方形的面积为，设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，
所以第个正方形的边长为，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，
当时，，又，
数列是首项为，公比为的等比数列，
连续15个正方形的面积之和等于
故选：B
8. 下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；.
A. ①②③B. ②③④C. ②③D. ①②
【答案】A
【解析】对于①：随机变量服从二项分布，
则，故①正确；
对于②：随机变量服从正态分布且，
则，故②正确；
对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，
则，，所以，故③正确；
对于④：，，故④错误．
故选：A．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把正确的答案涂在答题卡上）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平的
B. 正态分布在区间和上取值的概率相等
C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
D. 若一组数据的平均数是2，则这组数据的众数和中位数都是2
【答案】BD
【解析】对于A，根据抽样的意义，对每个个体都是公平的．A错误；
对于B，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，
所以在两个区间上的概率相等，B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，C错误；
对于D，一组数据的平均数是，则，
所以该组数据的众数和中位数均为，D正确．
故选：BD
10. 若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项
【答案】CD
【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则
所以该展开式中二项式系数最大的项为与项
即为第5项；第6项.故选：CD
11. 已知随机变量，若使的值最大，则k等于（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】BC
【解析】令，得，
即当时，；
当时，；
当时，，
所以和的值最大.
故选：BC.
12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 函数在区间内单调递增
B. 当时，函数取得极小值
C. 函数在区间内单调递增
D. 当时，函数有极小值
【答案】BC
【解析】对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；
对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；
对于D，当时，，故D不正确.
故选：BC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设向量，若，则______________.
【答案】5
【解析】由可得，
又因为，
所以，
即，
故答案为：5.
14. 已知，则的值为__________．
【答案】
【解析】由，
可得
则，即，解得．故答案为：.
15. 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
（参考公式与数据：，其中）
【答案】有
【解析】依题意，可得出如下列联表：
，
所以有以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
故答案为：有.
16. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝______．(精确到0.001)
【答案】0.087
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以由全概率公式可得，
因为
所以．
故答案为：．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知数列是首项为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设__________，求数列的前项和为．
①，② ，③ ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
解：（1）设数列的公差为，数列的首项为，
由题知，，
因为，解得，
所以，
又，即，解得，
所以．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）选条件①：，则，
故，两式相减得
，
．
选条件②：，
，
．
选条件③：，
．
18. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
解：（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，
∵，∴，
∴．
19. 四棱锥中，底面是矩形，平面．以的中点为球心为直径的球面交于点，交于点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值；
解：（1）证法一：依题设知，是所作球面的直径，则.
又因为平面，平面，则，
又，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，则，
由，，平面，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面；
证法二：
因为平面，
所以，又以的中点为球心为直径的球面交于点，
所以，故为的中点，
建立空间直角坐标系如图，
则．
，
设平面的法向量为，
则
即
取，则，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则，
所以平面的一个法向量为．
即
平面平面．
（2）设平面的一个法向量，
又，，
由，可得：，
令，则，
设所求角为，则，
故所求角的正弦值为．
20. 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求关于的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
解：（1）因为，
，
，
，，
因此相关系数，
所以可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）知，，，
因此，当时，，
所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克．
21. 已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
解：（1）设直线，，，．
∴由得，
∴，．
∴直线的斜率，即．
即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（2）四边形能为平行四边形．
∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，
由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．
∴由得，即
将点的坐标代入直线的方程得，因此．
四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即
∴．解得，．
∵，，，
∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．
22. 已知函数.
（1）若函数有两个零点，求取值范围；
（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.
解：（1）令，．
令．．
时，，时，，
在单调递增，在单调递减，
且时，，时，，
要使函数有两个零点，则（1）即可，
的取值范围的取值范围为：．
（2），．
设，
，设，．
在上单调递增，而，（1）．
，，，即，．
在单调递增，在，单调递减．
，，
时，关于的不等式在上恒成立．国内代表
国外代表
合计
不乐观
乐观
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