2022-2023学年浙江省职教高考研究联合体高三（上）第一次月考数学试卷

这是一份2022-2023学年浙江省职教高考研究联合体高三（上）第一次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{1，a}，集合B＝{1，2，且A∩B＝{1，2}（ ）
A．1B．2C．3D．2或3
2．已知x＜y，下列式子正确的是（ ）
A．x2＜y2B．x+2＜y+1C．x﹣3＜y﹣3D．
3．“”是“x2＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．下列给出的不等式中，解集为（﹣1，3）的是（ ）
A．x2+2x﹣3＜0B．|1﹣x|＜2C．2x﹣3＞0D．
5．函数的定义域是（ ）
A．（1，2]B．[﹣2，2]C．（0，2）D．（1，2）
6．如图所示，在△ABC中，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．若直线l的倾斜角α＝135°，则斜率k等于（ ）
A．1B．﹣1C．D．
8．若角α的终边上有一点P（﹣2，0），则csα等于（ ）
A．0B．1C．﹣1D．
9．双曲线的焦距为（ ）
A．4B．C．3D．6
10．下列叙述中，正确的是（ ）
A．若直线a⊥平面α，则直线a与平面α内所有的直线都垂直且相交
B．若直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则直线a⊥直线c
C．过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α
D．若直线a，b与平面α所成的角相等，则a∥b或a与b相交
11．从n个工作人员中选2人参加某公益活动，若不同选法的种数为55，则n等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
12．口袋里装有4只红球和3只白球，若从中任意地摸取2只球，则“摸到的恰好是2只红球”的概率为（ ）
A．B．C．D．
13．如图所示，若角，把角α的终边OP沿逆时针方向旋转，则β等于（ ）
A．πB．C．D．
14．如图所示，已知圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），且圆C与y轴相切（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y+3）2＝9
C．（x+2）2+（y+3）2＝2D．（x+2）2+（y+3）2＝4
15．已知关于x的不等式ax2+ax﹣2＞0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，4]B．[0，8）C．[﹣8，0]D．{0}
16．若抛物线C的图象如图所示，焦点为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4xB．x2＝4yC．x2＝﹣2yD．x2＝y
17．下列式子正确的是（ ）
A．
B．sin22α+cs22α＝1
C．cs2α＝1﹣2cs2α
D．
18．函数f（x）＝sinx的图象可以看作是把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位得到的
B．向左平移个单位得到的
C．向右平移个单位得到的
D．向左平移个单位得到的
19．已知数列{an}的前n项和为，则a6等于（ ）
A．18B．10C．8D．4
20．椭圆C的图象如图所示，已知左焦点F1（﹣1，0），右顶点A2（2，0），直线l过右焦点F2且倾斜角α＝60°．若直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A．4B．C．D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题0分，共28分）
21．已知x＞0，y＞0，且x+y﹣2＝0，则 。
22．已知函数则f[f（0）]＝ 。
23．函数的值域为 。
24．如图所示，在Rt△ABC中，已知AB是斜边，BC＝3，则沿斜边AB旋转一周后构成的几何体的体积为 。
25．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项为 。
26．若等比数列{an}的前两项分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则数列{an}的前10项和为 ．
27．已知双曲线的右焦点，离心率2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．若这两条曲线交于A，则|AB|＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
28．计算：。
29．在△ABC中，已知A，B，C三个内角的对边分别为a，b，c，b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，且△ABC的面积为，求：
（1）a和b的值；
（2）若△ABC是钝角三角形，且边c是最大边，求边c的长。
30．已知，，，，求：
（1）sinβ的值；
（2）sin2α+cs2β的值。
31．已知直线l1：x+y﹣2＝0，圆C的圆心P是在直线l1上，且圆心P到坐标原点O的距离为半径，且|OP|＝22：x﹣y+1＝0．
（1）求圆C的标准方程；
（2）判断直线l2与圆C的位置关系，若相交，求相交弦长。
32．如图所示，把边长为a的正方形（见图①）沿对角线BD折叠为一个120°的二面角（见图②）
（1）AC的长；
（2）三棱锥A﹣BCD的体积。
33．王大爷现有100m长的铁丝网，现要围成一个菜园，要求一面靠墙（截面图）．
问：选择哪种方案围成的菜园面积最大？最大面积是多少？（参考数据：π≈3.14，结果保留整数部分）
34．已知数列{an}满足a1＝1，且2an﹣an+1＝0；数列{bn}满足b1＝a1，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和．
35．已知抛物线x2＝﹣2py（p＞0）上一点M（t，﹣2）到焦点F的距离为4（﹣2，0）且与抛物线交于A，B两点，△OAB的面积为（其中O为坐标原点）。求：
（1）抛物线的标准方程；
（2）t的值；
（3）直线l的方程。
2022-2023学年浙江省职教高考研究联合体高三（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题0分，11—20小题每小题0分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．错涂、多涂或未涂均无分．
1．已知集合A＝{1，a}，集合B＝{1，2，且A∩B＝{1，2}（ ）
A．1B．2C．3D．2或3
【答案】B
【分析】根据集合交集的定义即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，a}，2，5}，2}，
∴a＝2．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，难度不大．
2．已知x＜y，下列式子正确的是（ ）
A．x2＜y2B．x+2＜y+1C．x﹣3＜y﹣3D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质以及特殊值法判断求解即可。
【解答】解：当x＝﹣2，y＝﹣1时，x3＞y2，
当x＝﹣2，y＝﹣2时，
∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，
当x＝﹣8，y＝1时，，
故选：C。
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等式的基本性质，为基础题。
3．“”是“x2＝1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的基本概念判断求解即可。
【解答】解：∵，
∴x＝1，
∵x7＝1，
∴x＝±1，
∴“”能够推出“x2＝1”，“x8＝1”不能够推出“”，
∴“x＝4”是“x2＝1”的充分不必要条件，
故选：A。
【点评】本题主要考查充分必要条件的基本概念，解题的关键在于掌握充分必要条件的基本概念，为基础题。
4．下列给出的不等式中，解集为（﹣1，3）的是（ ）
A．x2+2x﹣3＜0B．|1﹣x|＜2C．2x﹣3＞0D．
【答案】B
【分析】分别求解各个不等式的解集即可。
【解答】解：∵x2+2x﹣7＜0，
∴（x+3）（x﹣7）＜0，
∴﹣3＜x＜7，
∴不等式的解集为（﹣3，1），
∵|6﹣x|＜2，
∴﹣2＜x﹣3＜2
∴﹣1＜x＜6，
∴不等式的解集为（﹣1，3），
∵5x﹣3＞0，
∴x＞，
∴不等式的解集为，
∵，
∴（x+3）（x+1）＜8，
∴﹣3＜x＜﹣1，
∴不等式的解集为（﹣5，﹣1），
故选：B。
【点评】本题主要考查不等式的求解，解题的关键在于因式分解和数值运算，为基础题。
5．函数的定义域是（ ）
A．（1，2]B．[﹣2，2]C．（0，2）D．（1，2）
【答案】D
【分析】根据函数有意义得到并求解即可。
【解答】解：∵函数有意义，
∴，
∴，
∴1＜x＜3，
故选：D。
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解题的关键在于掌握函数的基本性质和数值运算，为基础题。
6．如图所示，在△ABC中，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算法则直接转化求解即可．
【解答】解：因为在△ABC中，，，且D为BC的中点，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
7．若直线l的倾斜角α＝135°，则斜率k等于（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【答案】B
【分析】根据直线l的倾斜角α＝135°求解即可。
【解答】解：∵直线l的倾斜角α＝135°，
∴斜率k＝tan135°＝﹣1，
故选：B。
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，解题的关键在于掌握直线的斜率和倾斜角的关系以及数值运算，为基础题。
8．若角α的终边上有一点P（﹣2，0），则csα等于（ ）
A．0B．1C．﹣1D．
【答案】C
【分析】根据角α的终边上有一点P（﹣2，0）即可求解．
【解答】解：∵角α的终边上有一点P（﹣2，0），
∴csα＝＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查任意角的三角函数，难度不大．
9．双曲线的焦距为（ ）
A．4B．C．3D．6
【答案】D
【分析】由双曲线的标准方程得到c的值，进而得到焦距.
【解答】解：由双曲线可得，c3＝4+5＝2，
解得c＝3，则焦距为2c＝3．
故选：D。
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题.
10．下列叙述中，正确的是（ ）
A．若直线a⊥平面α，则直线a与平面α内所有的直线都垂直且相交
B．若直线a⊥直线b，直线b⊥直线c，则直线a⊥直线c
C．过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α
D．若直线a，b与平面α所成的角相等，则a∥b或a与b相交
【答案】C
【分析】根据空间中线线，线面间的位置关系逐项分析判断即可.
【解答】解：对于A，a与α内所有的直线垂直；
对于B，空间直线垂直不具有传递性、平行或异面；
对于C，由线面平行的判定可知，正确；
对于D，a与b也可能异面．
故选：C。
【点评】本题主要考查间中线线，线面间的位置关系，属于基础题.
11．从n个工作人员中选2人参加某公益活动，若不同选法的种数为55，则n等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】先根据从n个工作人员中选2人参加某公益活动，若不同选法的种数为55得到，再化简求解n2﹣n﹣110＝0即可。
【解答】解：∵从n个工作人员中选2人参加某公益活动，若不同选法的种数为55，
∴，
∴n2﹣n﹣110＝7，
∴n＝﹣10或n＝11，
∵n＞0，
∴n＝11，
故选：D。
【点评】本题主要考查组合数的计算，解题的关键在于数值运算，为基础题。
12．口袋里装有4只红球和3只白球，若从中任意地摸取2只球，则“摸到的恰好是2只红球”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题干信息和古典概型的概率计算公式求解即可。
【解答】解：∵口袋里装有4只红球和3只白球，
∴从中任意地摸取3只球，则“摸到的恰好是2只红球”的概率，
故选：A。
【点评】本题主要考查古典概型，解题的关键在于掌握古典概型的概率计算公式和数值运算，为基础题。
13．如图所示，若角，把角α的终边OP沿逆时针方向旋转，则β等于（ ）
A．πB．C．D．
【答案】C
【分析】根据角α的终边OP沿逆时针方向旋转得到新的角β即可求解．
【解答】解：∵角，
∴把角α的终边OP沿逆时针方向旋转得到新的角．
故选：C．
【点评】本题考查任意角与象限角，难度不大．
14．如图所示，已知圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），且圆C与y轴相切（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4B．（x+2）2+（y+3）2＝9
C．（x+2）2+（y+3）2＝2D．（x+2）2+（y+3）2＝4
【答案】D
【分析】先根据圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），且圆C与y轴相切得到圆C的半径r＝|﹣2|＝2，再根据圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），半径r＝|﹣2|＝2求解即可。
【解答】解：∵圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），
∴圆C的半径r＝|﹣7|＝2，
∵圆C的圆心坐标为（﹣2，﹣3），
∴圆C的标准方程为（x+2）2+（y+2）2＝4，
故选：D。
【点评】本题主要考查圆的标准方程，解题的关键在于求解圆的半径，为基础题。
15．已知关于x的不等式ax2+ax﹣2＞0的解集为∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，4]B．[0，8）C．[﹣8，0]D．{0}
【答案】C
【分析】分a是否为0两类讨论即可求解．
【解答】解：当a＝0时，﹣2＜6；
当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+ax﹣6＞0的解集为∅，需满足；
综上所述，实数a的取值范围是[﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，难度不大．
16．若抛物线C的图象如图所示，焦点为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A．y2＝4xB．x2＝4yC．x2＝﹣2yD．x2＝y
【答案】C
【分析】根据题意可得设抛物线C的标准方程为x2＝﹣2py（p＞0），，解得p，即可得出答案．
【解答】解：因为抛物线C的开口向下，
所以设抛物线C的标准方程为x2＝﹣2py（p＞6）．
因为焦点为，
所以，
解得p＝1，
所以抛物线C的标准方程为x2＝﹣6y，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的方程，属于基础题．
17．下列式子正确的是（ ）
A．
B．sin22α+cs22α＝1
C．cs2α＝1﹣2cs2α
D．
【答案】B
【分析】根据基本不等式、平方关系、倍角公式以及和角公式可逐一判断．
【解答】解：∵A项中，要求a＞0，
∴A错误；
∵sin24α+cs22α＝5，
∴B正确；
∵cs2α＝2cs3α﹣1，
∴C错误；
∵，
∴D错误．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式、平方关系、倍角公式以及和角公式，难度不大．
18．函数f（x）＝sinx的图象可以看作是把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位得到的
B．向左平移个单位得到的
C．向右平移个单位得到的
D．向左平移个单位得到的
【答案】A
【分析】根据f（x）＝sin（x+﹣），函数以及正弦函数的图象平移的法则求解即可。
【解答】解：∵f（x）＝sin（x+﹣），函数，
∴函数f（x）＝sinx的图象可以看作是把函数的图象向右平移，
故选：A。
【点评】本题主要考查正弦函数的图象，解题的关键在于掌握正弦函数的图象平移的法则，为基础题。
19．已知数列{an}的前n项和为，则a6等于（ ）
A．18B．10C．8D．4
【答案】C
【分析】根据以及a6＝S6﹣S5求解即可。
【解答】解：∵，
∴，
故选：C。
【点评】本题主要考查数列，解题的关键在于掌握数列的递推公式以及数值运算，为基础题。
20．椭圆C的图象如图所示，已知左焦点F1（﹣1，0），右顶点A2（2，0），直线l过右焦点F2且倾斜角α＝60°．若直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|等于（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得椭圆方程，再求出直线方程，联立直线与椭圆方程，可得交点坐标，再由弦长公式求解即可．
【解答】解：依题意，c＝1，b2＝a4﹣c2＝3，
则椭圆C的方程为，
又∵直线l过点（1，6），
∴直线l的方程为，
联立椭圆与直线方程得，
消去y并化简得5x7﹣8x＝0，解得x8＝0，，
则．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共7小题，每小题0分，共28分）
21．已知x＞0，y＞0，且x+y﹣2＝0，则 2 。
【答案】2．
【分析】根据＝即可求解．
【解答】解：∵x+y﹣2＝0，
∴x+y＝4，
∴＝，当且仅当＝时，等号成立．
故答案为：5．
【点评】本题考查基本不等式，难度不大．
22．已知函数则f[f（0）]＝ 1 。
【答案】1．
【分析】先求出f（0），从而求出f[f（0）]．
【解答】解：∵当x＝0时，f（x）＝，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题考查分段函数的值，难度不大．
23．函数的值域为 [﹣1，1] 。
【答案】[﹣1，1]。
【分析】利用三角函数的和角公式和辅助角公式将函数化为f（x）＝sin2x即可求解。
【解答】解：∵＝，
∴﹣1≤f（x）≤1，
故答案为：[﹣2，1]。
【点评】本题主要考查三角函数的和角公式和辅助角公式，解题的关键在于掌握三角函数的和角公式和辅助角公式以及数值运算，为基础题。
24．如图所示，在Rt△ABC中，已知AB是斜边，BC＝3，则沿斜边AB旋转一周后构成的几何体的体积为 。
【答案】.
【分析】根据题意作出该几何体，再计算其体积即可.
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，
∵，
∴．
故答案为：.
【点评】本题考查简单组合体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
25．若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第6项为 。
【答案】。
【分析】先根据的展开式中只有第5项的二项式系数最大求得n＝2×（5﹣1）＝8，再根据二项式的展开式求解即可。
【解答】解：∵的展开式中只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝6×（5﹣1）＝2，
∴展开式中第6项为，
故答案为：。
【点评】本题主要考查二项式定理，解题的关键在于掌握二项式的展开式和数值运算，为基础题。
26．若等比数列{an}的前两项分别是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则数列{an}的前10项和为 210﹣1或 ．
【答案】210﹣1或．
【分析】根据题意可得出：a1＝1，a2＝2或a1＝2，a2＝1，然后由等比数列的前n项和公式即可求得答案．
【解答】解：解x2﹣3x+4＝0得，x＝1或6n}的公比为q，
①若a1＝1，a8＝2，则q＝2，∴；
②若a1＝2，a2＝1，则，∴．
故答案为：210﹣1或．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式，等比数列的定义，考查了计算能力，属于基础题．
27．已知双曲线的右焦点，离心率2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0）．若这两条曲线交于A，则|AB|＝ ．
【答案】．
【分析】根据题意求得双曲线和抛物线方程，再联立方程组，可得A，B两点的坐标，进而得解．
【解答】解：由题意，双曲线，
又右焦点，则双曲线的方程为x2﹣y6＝1，
由抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，7）2＝4x，
联立方程组得，
把②代入①，得x2﹣4x﹣1＝0，
解得（舍去），，
则，
于是，，
不妨设，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线和抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
28．计算：。
【答案】3．
【分析】根据指数的运算以及对数的运算即可求解．
【解答】解：＝．
【点评】本题考查指数的运算以及对数的运算，难度不大．
29．在△ABC中，已知A，B，C三个内角的对边分别为a，b，c，b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，且△ABC的面积为，求：
（1）a和b的值；
（2）若△ABC是钝角三角形，且边c是最大边，求边c的长。
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）由韦达定理建立关于a，b的方程组，解出即可；
（2）由面积公式可得，进而得到∠C＝120°，再由余弦定理即可得到答案.
【解答】解：（1）由于a，b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，
则，
解得或；
（2）∵，
∴，
∵△ABC是钝角三角形，且边c是最大边，
∴∠C＝120°．
由余弦定理得，
∵c＞5，
∴．
【点评】本题考查余弦定理以及三角形的面积公式，考查一元二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题.
30．已知，，，，求：
（1）sinβ的值；
（2）sin2α+cs2β的值。
【答案】（1）；（2）﹣．
【分析】（1）先求出csα和sin（α+β），再根据sinβ＝sin（α+β﹣α）＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα即可求解；
（2）根据sin2α+cs2β＝2sinαcsα+1﹣2sin2β即可求解．
【解答】解：（1）∵，，
∴csα＝﹣＝﹣，
∵，，
∴sin（α+β）＝﹣＝﹣，
∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣cs（α+β）sinα＝；
（2）sin3α+cs2β＝2sinαcsα+5﹣2sin2β＝．
【点评】本题考查和角公式、平方关系以及倍角公式，难度中等．
31．已知直线l1：x+y﹣2＝0，圆C的圆心P是在直线l1上，且圆心P到坐标原点O的距离为半径，且|OP|＝22：x﹣y+1＝0．
（1）求圆C的标准方程；
（2）判断直线l2与圆C的位置关系，若相交，求相交弦长。
【答案】（1）x2+（y﹣2）2＝4或（x﹣2）2+y2＝4．
（2）.
【分析】（1）设圆C的圆心坐标为P（a，2﹣a），根据题意可得a的值，进而得到圆的标准方程；
（2）根据（1），分圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4和圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝4讨论即可得出结论.
【解答】解：（1）设圆C的圆心坐标为P（a，2﹣a），
∵|OP|＝2，
∴a6+（2﹣a）2＝3，解得a＝0或a＝2，
∴圆心坐标为（4，2）或（2，
又∵半径r＝|OP|＝4，
∴圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝4或（x﹣2）3+y2＝4．
（2）①当圆C的标准方程为（x﹣8）2+y2＝2时，圆心坐标为C（2，半径r＝2．
∵圆心P（4，0）到直线l2的距离为，
∴直线l2与圆x2+（y﹣6）2＝4相交．
设两个交点为A，B，则．
②当圆C的标准方程为x3+（y﹣2）2＝7时，圆心坐标为（0，半径r＝2．
∵圆心P（6，2）到直线l2的距离为，
∴直线l2与圆x2+（y﹣6）2＝4相交．
设两个交点为A，B，则．
【点评】本题考查圆的标准方程的求法以及直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题.
32．如图所示，把边长为a的正方形（见图①）沿对角线BD折叠为一个120°的二面角（见图②）
（1）AC的长；
（2）三棱锥A﹣BCD的体积。
【答案】（1）．（2）.
【分析】（1）过点A作AE⊥BD于点E，可知∠AEC＝120°，然后在△AEC中由余弦定理得解；
（2）易知BD⊥平面AEC，进而可知VA﹣BCD＝2VB﹣AEC，再由三棱锥的体积公式得解.
【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，
∵△BAD与△BCD是全等的等腰直角三角形，
∴AE＝CE，CE⊥BD，
∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的一个平面角，即∠AEC＝120°，
∵在△AEC中，，
∴AC5＝AE2+CE2﹣2AE⋅CE⋅cs120°＝，
∴．
（2）∵AE⊥BD，CE⊥BD，AE在平面AEC内，
∴BD⊥平面AEC，
∴．
【点评】本题考查二面角的定义，三棱锥的体积公式以及余弦定理的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.
33．王大爷现有100m长的铁丝网，现要围成一个菜园，要求一面靠墙（截面图）．
问：选择哪种方案围成的菜园面积最大？最大面积是多少？（参考数据：π≈3.14，结果保留整数部分）
【答案】选择方案②围成的菜园面积最大，最大面积约为1592m2．
【分析】分别求出三种方案所围成的菜园面积即可．
【解答】解：方案①：设AB＝x，矩形的面积为S1，则BC＝100﹣2x，
∵，2＜x＜50，
∴当AB＝25m时，；
方案②：设半径为r（r＞6），半圆的面积为S2，
∵πr＝100，
∴，
∴；
方案③：设△PQM的面积为S3，
∵PM＝QM，PM+QM＝100，
∴PM＝QM＝50，
∵（0°＜∠PMQ＜180°），
∴当∠PMQ＝90°时，S3取最大值，此时；
综上所述，S1＝S3＜S2，
答：选择方案②围成的菜园面积最大，最大面积约为1592m2．
【点评】本题考查从实际问题抽象出函数模型，难度中等．
34．已知数列{an}满足a1＝1，且2an﹣an+1＝0；数列{bn}满足b1＝a1，数列{bn}的前n项和．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和．
【答案】（1），bn＝n；（2）．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式和等比数列的定义求出数列的通项公式；
（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1＝1，且5an﹣an+1＝0；
整理得：（常数），
所以数列{an}是以1为首项，6为公比的等比数列；
所以．
数列{bn}满足b2＝a1，＝1，数列{bn}的前n项和，
所以，（首项符合通项）．
所以：bn＝n．
（2）由（1）得：＝，
所以＝．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．
35．已知抛物线x2＝﹣2py（p＞0）上一点M（t，﹣2）到焦点F的距离为4（﹣2，0）且与抛物线交于A，B两点，△OAB的面积为（其中O为坐标原点）。求：
（1）抛物线的标准方程；
（2）t的值；
（3）直线l的方程。
【答案】（1）x2＝﹣8y．
（2）t＝﹣4或4．
（3）x+y+2＝0．
【分析】（1）由于点M（t，﹣2）到焦点F的距离为4，结合抛物线的定义可得点M（t，﹣2）到准线的距离为4，即，解得p，即可得出答案.
（2）把点M（t，﹣2）代入抛物线的方程x2＝﹣8y，即可得出答案.
（3）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x+2），联立直线l与抛物线方程，由判别式可得Δ＝64k2﹣64k，计算弦长|AB|，点O到直线l的距离d，进而可得三角形面积，使其为8，进而可得答案.
【解答】解：（1）抛物线x2＝﹣2py（p＞3）的准线方程为，
因为点M（t，﹣2）到焦点F的距离为2，
所以由抛物线的定义可得点M（t，﹣2）到准线，即，
解得p＝4，
所以抛物线的标准方程为x2＝﹣8y．
（2）因为点M（t，﹣6）在抛物线x2＝﹣8y上，
所以t7＝﹣8×（﹣2），即t7＝16，
所以t＝﹣4或4．
（3）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x+8）．
联立直线l与抛物线方程得
①代入②并消去y得x2＝﹣8k（x+3），
整理得x2+8kx+16k＝7，
设A（x1，y1），B（x8，y2），
所以Δ＝64k2﹣64k，
x6+x2＝﹣8k，x4x2＝16k，
所以|AB|＝＝＝，
又点O到直线l的距离为，
所以＝，
所以，
所以k4﹣k3﹣2＝0，即k3（k﹣2）＝2，
所以k4﹣k3﹣2＝0，
所以k2﹣1﹣k3﹣5＝0，
所以（k2+8）（k2﹣1）﹣（k8+1）＝0，
所以（k3+1）（k+1）（k﹣2）﹣（k+1）（k2﹣k+2）＝0，
所以（k+1）[（k2+1）（k﹣1）﹣（k6﹣k+1）]＝0，
所以（k+8）（k3﹣2k8+2k﹣2）＝6，
所以k+1＝0或k8﹣2k2+7k﹣2＝0，
所以k＝﹣4或k3﹣2k6+2k﹣2＝8，
令g（k）＝k3﹣2k7+2k﹣2，
g′（k）＝2k2﹣4k+4，
Δ＝（﹣4）2﹣2×3×2＜6，
所以g′（k）＞0，
所以g（k）在R上单调递增，
又g（1）＝﹣1＜2，g（2）＝2＞0，
所以若g（k）＝7，则k∈（1，
所以方程k3﹣4k2+2k﹣8＝0的根k∈（1，5），
因为斜率k为整数，
所以k＝﹣1，
所以直线l的方程为y＝﹣（x+2），即x+y+5＝0．
【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，属于基础题.