吉林省普通高中友好学校联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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1. 在如图所示平面直角坐标系中，向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是 ( )
A. 平行B. 相交
C. 异面D. 平行、相交或异面
3. 若i是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A. 2B. C. D.
4. 如图，已知等腰直角三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A. B. 1C. D.
5. 已知圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，已知，且，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
8. 已知平面上的两个单位向量满足，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是
A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱锥D. 正方体
10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则共轭复数B. 若复数，则
C. 若复数z为纯虚数，则D. 若，则
11. 下列命题正确的是（ ）
A.
B. 已知，非零实数，若，则与共线
C. 若为非零向量，若“”则“”
D. 若单位向量满足，则与的夹角为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数，则在复平面内对应的点位于______象限.
13. 已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.
14. 已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z是复平面中对应的点位于第二象限.
16. 已知向量，，．
（1）若点A，B，C共线，求实数m的值；
（2）若△ABC为直角三角形，求实数m值．
17. 正棱锥S﹣ABCD的底面边长为4，高为1.
求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；
（2）棱锥的表面积与体积.
18. 如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.

（1）证明：平面ABED.
（2）证明：平面平面BCFE
19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，．
（1）求索道AB长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？