2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一上学期第三十七届基础年段期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省普通高中友好学校联合体高一上学期第三十七届基础年段期中联考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则的子集的个数是（ ）
A．15B．8C．7D．16
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为，所以由，
所以的子集的个数是，
故选：D
2．下列不等式中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，根据不等式的可加性可知若，则，A正确，
对于B, 若，则,B错误，
对于CD，若，则，，故CD错误，
故选：A
3．命题：，的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由特称命题的否定判断．
【详解】由题意得，的否定是，，
故选：B
4．不等式的解集为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直接根据一元二次不等式的解法求解．
【详解】解：∵，∴，无解
故选：D．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，注意三个二次——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，属于基础题．
5．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件．
【详解】因为关于的一元二次方程有实数解，
所以，
解得，而可以推出，
所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件，
故选：A．
6．设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，确定这三个数所在范围，即可比较出大小.
【详解】由题意得，即；
，即；
，即，
则a，b，c的大小关系为.
故选：D．
7．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】探讨函数的奇偶性并排除两个选项，再由时函数值的正负判断作答.
【详解】函数的定义域为，，
因此函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项AB不满足；
当时，，，即，又，则，其图象在x轴上方，D不满足，C满足.
故选：C
8．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数的零点直接求解即可，函数的零点利用零点存在性定理求解即可，从而可得答案
【详解】解：令，则，得，即，
令，则，得，即，
因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，
综上，，
故选：B
二、多选题
9．下列有关幂函数的结论中，正确的是（ ）
A．的图象都经过点
B．的图象可能会出现在第四象限
C．当时，在是增函数
D．当时，在是减函数
【答案】ACD
【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得.
【详解】由幂函数的性质可知，即的图象都经过点，故A正确；
若函数的图象出现在第四象限，且函数在第一象限内必有图象，
从而存在，使得一个对应两个值，与函数的定义矛盾，故B错误；
当时，在是增函数，故C正确；
当时，在是减函数，故D正确.
故选：ACD.
10．已知，则正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】先把指数式化为对数式可得，，可判断A，由对数的运算性质可判断D，由基本不等式可判断BC．
【详解】，，，，，故正确，
，故D不正确，
，当且仅当时取等号，，，故B正确，
（因为，故等号不成立），，故C正确.
故选：
11．某数学课外兴趣小组对函数f(x)＝2|x－1|的图象与性质进行了探究，得到的下列四个结论中正确的有（ ）
A．该函数的值域为(0，＋∞)
B．该函数在区间[0，＋∞)上单调递增
C．该函数的图象关于直线x＝1对称
D．该函数的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点
【答案】CD
【分析】画出函数f(x)的图像，依次分析各个选项即可判断正误﹒
【详解】解析画出f(x)＝2|x－1|的图象如图：
对于A，根据f(x)的图象可知，函数f(x)的值域为[1，＋∞)，A错误；
对于B，根据f(x)的图象可知，函数f(x)在区间[0，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，B错误；
对于C，根据f(x)的图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确；
对于D，因为y＝－a2≤0，所以函数f(x)的图象与直线y＝－a2(a∈R)不可能有交点，D正确．
故选：CD．
12．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最小值为2；
B．已知函数（a＞0且）在上是减函数，则实数a的取值范围是；
C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线y＝x对称；
D．若x，y，z为正数，且，则．
【答案】BCD
【分析】根据指数型复合函数判断单调性得最值，即可判断A；由对数复合函数的单调性分类讨论即可得实数a的取值范围，来判断B；根据互为反函数的图象性质即可判断C；由指对互化即对数函数的运算性质、换底公式的计算，即可判断D.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，由复合函数单调性可得该函数在上单调递增，
在上单调递减，所以函数有最大值，故A不正确；
对于B，已知函数且在上是减函数，
所以，解得，当时，成立，实数的取值范围是，故B正确；
对于C，同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，所以他们的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，若x，y，z为正数，设，则，
所以，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知函数（且）的图象恒过定点，则 .
【答案】3
【解析】根据指数函数图像过定点的知识，求得的值，进而求得的值.
【详解】根据指数函数过定点的知识可知，解得，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
14．函数，则 ．
【答案】9
【分析】根据函数解析式代值计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：9.
15．函数，函数的零点所在的区间为则
【答案】2
【分析】探讨给定函数的单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间作答.
【详解】函数定义域为，且在上单调递增，
，
因此函数的唯一零点在内，所以.
故答案为：2
16．已知是上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是
【答案】
【分析】根据题意，作出函数的图象，结合图象，分类讨论，即可求得不等式的解集，得到答案.
【详解】由题意，不等式，可转化为或，
因为是上的奇函数，且在上是增函数，且，
可得函数的图象，如图所示，
由图象可得，当时，解得；
当时，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，以及不等式的求解，着重考查了数形结合思想，解答本题的关键是利用函数的性质作出函数的草图，属于中档试题.
四、解答题
17．已知全集，集合，集合.
(1)当时，求；
(2)设，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解不等式，得到，进而求出交集，并集和补集；
（2）根据交集结果得到集合包含关系，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
所以或
（2）因为，则，由（1）知，，
因为，于是得，则有，解得，
所以实数的取值范围是.
18．已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理列出关于的方程组，由此求解出的值；
（2）将问题转化为一元二次不等式在上恒成立，根据与的关系求解出的取值范围.
【详解】（1）因为的解集为，
所以的两根为和3，
所以
解得；
（2）由（1）得，
因为，
所以对恒成立，
于是，
即，
解得.
19．（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；
（2）由题设知，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.
【详解】（1）∵，且，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
∴的最小值为；
（2）∵，则，
∴，
当且仅当即时等号成立.
∴的最大值.
20．已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值．
(2)若．
（ⅰ）求的定义域并判断其奇偶性；
（ⅱ）求的单调递增区间．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）定义城为，偶函数；（ⅱ）．
【分析】（1）将点的坐标代入函数中化简可得a的值；
（2）先求出的解析式，（ⅰ）由，可求出定义域，再利用函数奇偶性的定义判断其奇偶性；（ⅱ）利用复合函数“同增异减”的方法求其增区间.
【详解】（1）由条件知，即，
又且，所以．
（2）．
（ⅰ）由，得，故的定义城为．
因为，故是偶函数．
（ⅱ），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为．
21．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为.
(1)求集合；
(2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式即可求解，
（2）根据真子集关系，即可列不等式求解.
【详解】（1）因为为真命题,所以方程有解，
即得，
所以.
（2）因为是的必要不充分条件,所以是的真子集,且
则或解得,
综上,实数的取值范围.
22．已知函数f(x)＝ 为奇函数．
(1)求b的值；
(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；
(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.
【答案】(1) b＝0；(2)见解析；(3)
【分析】(1)根据，求得的值；
(2)由(1)可得，再利用函数的单调性的定义证明函数在区间上是减函数；
(3)由题意可得，再根据函数在区间上是减函数，可得，由此求得的范围．
【详解】(1)∵函数为定义在上的奇函数，
经验证b＝0符合题意；
(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．
证明:设，
则有，
，可得 ，，，
,
即
函数在区间(1，＋∞)上是减函数．
(3)由不等式
可得，
再根据函数在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，
解得：，故不等式的解集为.