2024年青海省海东市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷为试题卷，请将答案写在答题卡上，否则无效．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 2024年青海非物质文化遗产精品展以“山宗水源大美青海”为主题在青海省图书馆开幕．下列艺术字不能看作轴对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形叫做对称轴．按照定义对各选项分析即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）

A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数轴可知点A表示的数是，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是，
的相反数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．
3. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见简单几何体的三视图，结合俯视图是从上往下看到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
【详解】解：该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答．
【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意；
B项，，原计算错误，故本项不符合题意；
C项，，原计算错误，故本项不符合题意；
D项，，原计算错误，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键．
5. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C是的中点，连接，，若的面积为3，则k的值为（ ）

A. 12B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义进行计算即可．
【详解】解：轴于点，是的中点，的面积为3，
，
又，
，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提，求出的面积是正确解答的关键．
6. 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得．
【详解】解：如图，连接，

∵切于点B，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键．
7. 2024年中国山地自行车联赛第一站暨巴黎奥运会选拔赛上，青海省体工二大队多名运动员获得佳绩．自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，，
，，
，，
车轮的直径为，
半径，
则，
∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是．
故选：A．
8. 如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）

A. 小亮从家到羽毛球馆用了分钟B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米
C. 报亭到小亮家的距离是米D. 小亮打羽毛球的时间是分钟
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 从函数图象可得出，小亮从家到羽毛球馆用了分钟，故该选项正确，不符合题意；
B. （米/分钟），
即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走米，故该选项正确，不符合题意；
C. 从函数图象可得出，报亭到小亮家的距离是米，故该选项正确，不符合题意；
D. 小亮打羽毛球的时间是分钟，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，理解函数图像上点的坐标的实际意义，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 请写出一个大于0而小于2的无理数：______-.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【详解】解：∵1＜2＜4
∴1＜＜2
故答案为
10. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】：把代入方程 ，求出关于m的方程的解即可．
【详解】把代入方程 ，
得，
解得．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11. 4月1日，国家和青海省重点能源项目——玛尔挡水电站首台机组投产发电，水电站机组全面投产后，平均年发电量达73.04亿千瓦时，数据“73.04亿”用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可．
【详解】解：73.04亿．
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查一元一次不等式的解法，平面直角坐标系中各个象限内点的符号，根据点在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于的不等式，解之即可得的取值范围．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：．
13. 若实数m，n满足，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．
【详解】解：由题意知，m，n满足，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
14. 如图，直线，，，则的度数为__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角定义以及性质，根据平行线的性质可得出，再根据三角形的外角定义以及性质可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为___________cm．

【答案】10
【解析】
【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到，，再根据勾股定理构建方程解题即可．
【详解】解：设圆心为O，为纸条宽，连接，，

则，，
∴，，
设，则，
又∵，
∴，即，
解得：，
∴半径，
即直径为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
16. 如图，矩形中，，，E边上一点且，连接于点F，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】由矩形的性质得∠D＝90°，AB∥CD，则∠BAF＝∠AED，由勾股定理得AE＝2，证△ABF∽△EAD，得＝，即可求出AF＝1．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
由勾股定理得：AE＝＝＝2，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD，
∴＝，
即＝，
解得：AF＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的的与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，方程去分母后得整式方程，求得方程解后再进行检验即可得到方程的解
【详解】解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
19. 如图，，，，垂足分别为，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
20. 如图，已知矩形．
（1）作矩形对角线的垂直平分线，垂足为点，交边于点，交边于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）连接、，求证四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，矩形的性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握垂直平分线的作法和菱形的判定方法是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）利用矩形的性质证出，得到，再利用菱形的判定方法直接判定即可．
小问1详解】
解：如图，即为所作；
小问2详解】
证明：∵垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
（ASA），
∴，
∴与互相垂直平分，
∴四边形为菱形．
21. 某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
（1）求A，B玩具的单价；
（2）若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
【答案】（1）A、B玩具的单价分别为50元、75元；
（2）最多购置100个A玩具．
【解析】
【分析】（1）设A玩具的单价为x元每个，则B玩具的单价为元每个；根据“购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元”列出方程即可求解；
（2）设A玩具购置y个，则B玩具购置个，根据“购置玩具的总额不高于20000元”列出不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设A玩具的单价为x元，则B玩具的单价为元；
由题意得：；
解得：，
则B玩具单价为（元）；
答：A、B玩具的单价分别为50元、75元；
【小问2详解】
设A玩具购置y个，则B玩具购置个，
由题意可得：，
解得：，
∴最多购置100个A玩具．
【点睛】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，属于中考常规考题，解题的关键在于读懂题目，找准题目中的等量关系或不等关系．
22. 某数学兴趣小组准备测量楼顶部广告牌的高度．

方案设计：在A处测得点D的仰角为，在B处测得点E的仰角为，点A、B、C在同一水平线上，点E、D、C在一条直线上，．
数据收集：．
问题解决：求广告牌的高度．（结果保留根号）
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
【答案】．
【解析】
【分析】在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，解直角三角形求得的长，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，求出、的长是解题的关键．
23. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，青海的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格．某校为了解学生对“南山秦腔”“青海眉户戏”“沪湟皮影戏”“传统青稞酒酿造技艺”的发展历程和文化知晓情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查，结果分为四种类型：．非常了解； ．比较了解；．基本了解；．不了解，根据调查结果，绘制了两幅尚不完整的统计图．
（1）此次调查的学生的总人数为__________；扇形统计图中，__________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有8000人，请你估计对这四项非遗的发展历程和文化知晓情况在“．非常了解”的学生有多少名？
（4）在被调查的“．非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，若从中随机选取两名学生进行校园宣讲，求恰好选到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）80，45
（2）图见解析 （3）约有1600名
（4）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、统计表、扇形统计图，能够理解统计表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图可知的学生数和百分百，即可求得；
（2）根据总人数与条形统计图即可求出的学生数，画图即可；
（3）用样本估计总体，即用乘以总数即可；
（4）画树状图得出所有等可能得结果以及恰好选到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：（名）
，
即，
故答案为：80，45；
【小问2详解】
类人数为：（名），
补全的条形统计图如图所示；
【小问3详解】
（名），
故对这四项非遗的发展历程和文化知晓情况在“．非常了解”的学生约有1600名；
【小问4详解】
画树状图如图：
由图可知共有12种等可能的情况，其中恰好选到一名男生和一名女生的情况有8种，故恰好选到一名男生和一名女生的概率为．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．

（1）求直线和抛物线的解析式．
（2）若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形? 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
【答案】（1）直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ；
（2）存在，
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数动点围城等腰三角形及最大面积问题：
（1）将点代入解析式求解即可得到答案；
（2）设存在，设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案；
（3）设点P坐标，表示出面积，结合新函数性质求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：设直线的解析式为：，将点， 代入，得，
，，
解得：，，
∴直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为：，
设点，
∵M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
∴，
∵， ，
，
解得：，
∴；
【小问3详解】
解：设，且，连接，
∴
，
，
∵，，
∴当时，最大为．
25. 如图，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接于、、，求证：．
【初步探索】
小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
（1）根据小明的思路，请你完成证明；
（2）若圆的半径为6，则的最大值为________；
【类比迁移】
（3）如图，等腰内接于圆，，点是狐上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为6，试求周长的最大值．
【答案】(1)见解析（2）12（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理，得到，结合旋转性质，得，，利用三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质证明即可；
（2）根据直径是最大的弦，当是直径时，的值最大，即最大，计算即可；
（3）绕点顺时针旋转到，使点与点重合，、、三点在同一直线上，进而证明为等腰直角三角形，类比（2）即可得出结论
【详解】解：（1）∵等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点，
∴，
∵，
∴，
∴、、三点在同一直线上，
∵绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
（2）∵圆的半径为6，
∴圆的直径为12，
∵，
故当为圆的直径时最大，
故的最大值为12，
故答案为：12．
(3) ∵绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
∴，，，，
∵直角三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点，
∴，
∵，
∴，
∴、、三点同一直线上，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
故当为圆的直径时最大，
故的最大值为，
∵为圆的直径，
∴，
∴周长的最大值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直径是圆中最大的弦，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．