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所属成套资源：【热点模型】备战2024年高考物理二轮复习热点模型精讲
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专题15 电磁感应中的棒轨模型---【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型
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这是一份专题15 电磁感应中的棒轨模型---【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型，文件包含专题15电磁感应中的棒轨模型原卷版docx、专题15电磁感应中的棒轨模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
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三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题15 电磁感应中的棒轨模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16057" 模型一 单杆＋导轨模型 PAGEREF _Tc16057 \h 1
\l "_Tc30544" 类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 PAGEREF _Tc30544 \h 1
\l "_Tc15670" 类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 PAGEREF _Tc15670 \h 2
\l "_Tc19571" 模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题 PAGEREF _Tc19571 \h 3
模型一 单杆＋导轨模型
单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。
类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题
类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型
模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题
双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。
【模型演练1】（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求：
（1）末金属棒两端的电势差；
（2）恒力F的大小；
（3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热；
（4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），
【详解】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；由图乙可知末金属杆的瞬时速度为，电动势为
末金属杆两端的电势差
解得
（2）当金属棒匀速运动时，由平衡条件得
其中
由乙图可知
联立解得
（3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得
又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得
又
，
可得
（4）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，有
代入数据解得
在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得
又由图可知
代入数据解得
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
（1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
（2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。
（3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。
（4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）
【详解】导体棒切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律有
导体棒做匀速运动
F＝F安
又F安＝BIL，其中
在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功
W＝FvΔt＝F安vΔt＝Δt
电路获得的电能
ΔE＝EIΔt＝Δt
可见，在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
（2）导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLvm
电源与电阻所在回路的电流
I＝
电源的输出功率
P＝UI＝
（3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等，
BLv＝U
由电容器的U-t图可知
U＝t
导体棒的速度随时间变化的关系为
v＝t
可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度
a＝
由C＝和I＝，得
I＝＝
由牛顿第二定律有
F－BIL＝ma
可得
F＝
（4）导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为E＝BLv
电容器所带电荷量为
Q＝CE＝CBLv
再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为
ΔU＝ΔE＝BLΔv，ΔQ＝CΔU＝CBLΔv
流过导体棒的电流
I＝＝CBLa
导体棒受到的安培力
f1＝BIL＝CB2L2a
导体棒所受到的摩擦力
f2＝μmg
由牛顿第二定律得
F－f1－f2＝ma
联立以上各式解得
a＝
显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为
v＝t
【模型演练3】．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m
【详解】（1）导体棒b运动产生的感应电动势
回路电流
导体棒受安培力
解得
F0=2N
因
则a加速度为零，b的加速度
方向向左；
（2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大
最大电流
解得
Im=6A
（3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时
解得b棒速度
v3=2m/s
由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为
Q=0.5J
此时由能量关系
解得
x=0.5m
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为和，质量均为金属棒垂直于导轨静止放置。现将金属棒自弧形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，棒始终在窄轨磁场中运动，棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．棒刚进入磁场时，棒的加速度方向水平向左
B．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒和棒组成的系统动量守恒
C．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过棒的电量为
D．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒上产生的焦耳热为
【答案】B
【详解】A．根据右手定则，棒进入磁场时，棒的电流方向向外，则棒的电流方向向内，根据左手定则可得，棒的安培力方向向左，所以棒加速度方向水平向左，故A正确；
B．根据左手定则，棒受到的安培力方向都向左，故棒组成的系统合外力不为零，动量不守恒，故B错误；
C．对棒，根据动能定理
解得
当棒达到稳定时
即
对棒，由动量定理
对棒，由动量定理
通过棒的电荷量为
以上各式联立，解得
故C正确；
D．根据能量守恒
解得
则b棒上产生的焦耳热为
故D正确。
本题选不正确的，故选B。
2．（2024上·山西朔州·高三统考期末）光滑导轨固定于水平面上，导轨宽度为，导轨处于垂直水平面竖直向下的匀强磁场中，俯视图如图1所示，质量为的金属棒置于导轨上，金属棒在外力作用下由静止开始运动，已知外力随金属棒速度变化规律如图2所示，导轨左端连接阻值为的电阻，其余电阻不计，则关于金属棒运动过程下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．内通过电阻R的电量为
C．磁感应强度大小为
D．内外力的冲量大小为
【答案】D
【详解】AC．根据牛顿第二定律
其中
整理得
根据图像可知
，
解得
，
导体棒加速度不变，做匀变速直线运动，故AC错误；
B．内通过的位移为
则电阻R的电量为
故B错误；
D．5s末导体棒的速度
根据动量定理
，
其中
解得外力的冲量大小为
35N·s
故D正确。
故选D。
3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒 ab垂直于 MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为 R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动， 则下列判断正确的是（ ）
A．速率
B．从秒电源消耗的电能
C．t秒后通过电阻R的电流为零
D．t秒末导体棒 ab两端的电压为E
【答案】A
【详解】ACD．闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，可知此时导体棒不受安培力作用，导体棒中的电流为0，导体棒ab产生的电动势与电阻两端电压相等，则有
此时通过电阻R的电流为
则有
联立可得
t秒末导体棒 ab两端的电压为
故A正确，CD错误；
B．从秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能，电阻和内阻的焦耳热，且通过电阻并不是一直为，所以
故B错误。
故选A。
二、多选题
4．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图，空间中存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中水平放置两根足够长的光滑金属导轨，导轨间距为d。一质量为m，电阻不计的导体棒MN垂直横跨在导轨上，与导轨接触良好。导轨一端分别与电源、电容器和定值电阻通过开关连接，电源的电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，定值电阻为R。首先将开关S2与d接通，待电路稳定后再将开关S1与b点相接、开关S2与c点相接，当导体棒匀速时，将开关S2与c点断开、开关S1与a接通，导体棒运动一段距离后速度为零。下列说法正确的是（ ）
A．导体棒匀速时速度
B．当S1与a刚接通瞬间导体棒的加速度
C．从S1与a接通至导体棒速度为零用时
D．若导体棒匀速运动时速度为v，S1与a接通后导体棒位移
【答案】BD
【详解】A．将开关S1与b点相接、开关S2与c点相接，导体棒与电容器连成闭合回路，电容器放电，导体棒受安培力作用做加速运动，开始时电容器两板间电压为E，则随时间增加，电容器两板间电压减小，当导体棒中产生的感应电动势等于电容器两板间电压时，导体棒匀速运动，则
U=Bdv
对导体棒由动量定理
其中
解得
选项A错误；
B．当S1与a刚接通瞬间对导体棒
解得导体棒的加速度
选项B正确；
CD．从S1与a接通至导体棒速度为零时，由动量定理
其中
解得
因此过程中导体棒做变减速运动，则运动时间
选项C错误，D正确。
故选BD。
5．（2024·云南昭通·统考模拟预测）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨间距，其下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线连接金属棒的中点且沿方向。金属棒由静止释放后，在重物的作用下，沿方向的位移与时间之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知在内通过金属棒的电荷量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法中正确的是（ ）
A．通过金属棒的电荷量与金属棒的位移的关系为
B．内金属棒运动的位移大小为
C．磁感应强度的大小为
D．内整个回路产生的热量为
【答案】AD
【详解】A．通过金属棒的电荷量
平均感应电流
回路中平均感应电动势
联立，解得
故A正确；
B．内通过金属棒的电荷量
内通过金属板的电荷量
由图乙读出时刻金属棒的位移大小，又
联立，解得
故B错误；
C．由图乙知金属棒在内做匀速直线运动，速度大小为，后金属棒受力平衡，有
，
根据闭合电路欧姆定律
解得
故C错误；
D．在内，对整个系统，根据能量守恒定律得
代入数据解得
故D正确。
故选AD。
6．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）如图所示，两根间距为L的平行光滑的金属导轨MN和PQ水平放置，导轨电阻不计，水平导轨右端接有电阻R，水平导轨所在区域有宽度为d的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B和，Ⅰ区域磁场方向竖直向上，Ⅱ区域磁场方向竖直向下。一根质量为m的金属棒ab与导轨垂直放置，接入电路的电阻为R，C、D两点为磁场区域Ⅱ两侧导轨的中点，时刻，给金属棒ab一水平向右的初速度，ab棒穿出磁场区域Ⅰ时的速度为进入磁场Ⅰ时速度的一半。已知金属棒ab始终与金属导轨垂直，下列判断正确的是（ ）
A．时刻，金属棒ab的初速度
B．金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为
C．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中通过金属棒的电荷量为
D．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中电阻R上产生的焦耳热为
【答案】ABD
【详解】A．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅰ的过程中，根据动量定理有
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅰ的过程中，通过金属棒的电荷量为
解得时刻，金属棒ab的初速度
故A正确；
B．金属棒ab从进入区域Ⅱ到达磁场区域Ⅱ的中点的过程中，根据动量定理有
金属棒ab从进入区域Ⅱ到达磁场区域Ⅱ的中点的过程中，通过金属棒的电荷量为
金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为
B正确；
C．ab从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅱ的过程中，通过金属棒的电荷量为
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中，通过金属棒的电荷量为
故C错误；
D．ab从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅱ的过程中，根据动量定理有
解得
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中，根据动能定理有
电阻R上产生的焦耳热为
故D正确。
故选ABD。
7．（2024·湖南邵阳·统考一模）如图所示，竖直放置的固定光滑“”形导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆（ ）
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度大小大于g
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间无磁场区的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度
【答案】ABD
【详解】A．由题意可知，金属杆进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，在磁场Ⅰ和Ⅱ之间做加速度为g的加速运动，所以金属杆在磁场Ⅰ中应该做减速运动，则感应电动势减小，安培力减小，做加速度减小的减速直线运动，而在磁场Ⅰ中和在磁场Ⅰ和Ⅱ之间速度变化量大小相同，位移相同，运动图像如图
由图像的斜率表示加速度可知导体棒刚进入磁场Ⅰ的加速度大于重力加速度，且故穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间，故AB正确；
C．由与导轨光滑，根据能量守恒定律可知，在运动过程中，金属杆的减小的重力势能全部转化为焦耳热和杆的动能，同时进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，所以从进入磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ的过程中，所产生的焦耳热为
Q=2mgd
由于两磁场间不产生焦耳热，故通过磁场Ⅰ产生的热量为Q，通过磁场Ⅱ与通过磁场Ⅰ产生的焦耳热相同，故穿过两磁场产生的总热量为4mgd，故C错误；
D．金属棒刚进入磁场Ⅰ时有
，，
解得
导体棒刚出磁场Ⅰ过程由动能定理可得
因导体棒在磁场中加速度减小，因此可知
，
解得
故D正确。
故选ABD。
8．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）如图甲所示，粗细均匀的无限长平行导轨固定在倾角的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁场边界EF上方位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的图像如图乙所示，其中OM、NP段为曲线，其他段为直线。已知磁感应强度，导轨间距，金属棒与导轨间的动摩擦因数，导体棒的质量均为，导体棒电阻均为，导轨电阻不计，g取。则下列说法正确的是（ ）
A．0~2s内通过导体棒ab的电荷量为
B．ab棒刚进入磁场时ab两端的电压为16V
C．0~2s内导体棒cd产生的焦耳热为
D．ab、cd棒之间的最小距离为
【答案】AD
【详解】A．导体棒cd在磁场中匀速运动时，有
解得
0~2s内根据动量定理，有
解得，通过cd棒的电荷量为
由于ab、cd棒串联，所以0~2s内通过导体棒ab的电荷量也为，A正确；
B．棒ab进入磁场前匀加速，有
解得
进入磁场的时间为
解得
进入磁场时的速度为
此时，ab两端的电压为
B错误；
C．0~2s内对cd导体棒有
联立，解得
根据动能定理有
根据功能关系，有
解得
C错误；
D．当ab、cd棒速度相等时有最小距离，之后两棒均做匀加速直线运动，设棒ab进入磁场后经两棒共速，速度为，最近距离为，根据动量定理有
cd棒
ab棒
解得
又根据
联立，解得
D正确。
故选AD。
9．（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图所示，间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，垂直于导轨的虚线的左、右两侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为、。质量、阻值的金属棒静止在虚线左侧足够远的位置，质量、阻值的金属棒静止在虚线的右侧。0时刻，金属棒以初速度、金属棒以初速度沿导轨运动，时刻，金属棒达到最大速度。已知、两棒的长度均为，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在、棒的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．通过金属棒的最大电流为
B．金属棒的最大速度
C．时间内通过金属棒的电荷量为
D．时间内金属棒上产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】A．金属棒、刚释放时，通过回路的电流最大，由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得
解得
故A正确；
B．金属棒达到最大速度时，回路中的感应电动势为0，即
由
可知金属棒受到的安培力为金属棒受到的安培力的2倍，则运动过程中金属棒的动量变化量的大小为金属棒动量变化量的大小的2倍，即
解得
，
故B错误；
C．对金属棒，由动量定理得
解得
故C错误；
D．由能量守恒定律得
又
解得
故D正确。
故选AD。
10．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）如图所示，水平面上固定有形状为“”的光滑金属导轨MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向分别竖直向上和竖直向下，磁感应强度大小分别为B0和2B0，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒b获得水平向右的初速度，直到导体棒b达到稳定状态的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒b克服安培力做功等于其产生的焦耳热
B．导体棒a上产生的焦耳热为
C．导体棒a、b最终以相同的速度做匀速直线运动
D．通过a棒的电荷量为
【答案】BD
【详解】导体棒的材料相同、横截面积相同，长度分别为，导体棒b的质量为m，则导体棒a的质量为2m，由电阻定律可知，导体棒的电阻之比为
设回路中电流为，导体棒a受的安培力为
导体棒b受的安培力为
可知，运动过程中，两导体棒的安培力大小相等
C．根据题意，设导体棒a、b稳定时的速度大小分别为、，稳定时有
分别对导体棒a、b应用动量定理有
，
解得
由于导体棒b开始向右运动，由左手定则可知，导体棒a受向左的安培力，则导体棒a向左运动，则导体棒a、b最终速度大小相等，方向相反，故C错误；
A．由功能关系可知，导体棒b克服安培力做功等于导体棒a、b上产生的焦耳热和导体棒a的动能之和，故A错误；
B．由能量守恒定律可知，导体棒a、b上产生的焦耳热为
则导体棒a上产生的焦耳热为
故B正确；
D．根据题意，由动量定理，对导体棒a有
解得
故D正确。
故选BD。
11．（2024上·全国·高三统考阶段练习）如图所示，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导体棒接入电路的有效长度为l，导轨电阻和电容器极板的电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒MN所受安培力的最大值为
B．导体棒MN最终向右匀速运动，且速度为
C．导体棒MN速度最大时，电阻R两端的电压为0
D．开始时电容器中储存的电能全部转化为焦耳热和导体棒的动能
【答案】BC
【详解】A．通过导体棒MN的电流最大时，导体棒MN所受安培力的最大，通过导体棒MN的电流最大值为
导体棒MN所受安培力的最大值为
故A错误；
B．当电容器两极板间的电压大于导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势时，导体棒MN受到向右的安培力，导体棒MN做加速运动，随着导体棒MN的增大，导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势增大，导体棒MN受到向右的安培力逐渐减小直至为零，导体棒MN最终向右匀速运动，根据动量定理有
该过程通过导体棒MN的电量为
稳定后电容器的带电量为
联立解得速度为
故B正确；
C．导体棒MN速度最大时，电容器两极板间的电压等于导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势，电阻R两端的电压为0，故C正确；
D．开始时电容器中储存的部分电能转化为焦耳热和导体棒的动能，故D错误。
故选BC。
12．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻。整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向竖直且相反的匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根导体棒MN、PQ静止于导轨上，两导体棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为（设导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动，时刻，PQ刚好要滑动。该过程中，两棒始终与导轨垂直且接触良好，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．时刻，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右
B．时刻，金属棒MN速度大小为
C．从到时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为
D．从到时间内，金属棒MN产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】A．由于金属棒MN向左运动，根据右手定则可知，金属棒PQ的电流方向为P到Q，根据左手定则可知，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右，故A正确；
B．时刻，PQ刚好要滑动，设PQ上的电流为I，则有
金属棒MN产生的感应电动势为
由于金属棒PQ与电阻R并联，所以金属棒MN上的电流为2I，则根据闭合电路欧姆定律有
联立可得，时刻，金属棒MN速度大小为
故B错误；
C．通过金属棒PQ的电荷量为q，则通过金属棒MN的电荷量为2q，则有
可得，从到时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为
故C错误；
D．从到时间内，根据功能关系有
由于金属棒MN在干路上，而金属棒PQ与电阻R并联，则金属棒MN产生的焦耳热为
故D正确。
故选AD。
13．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】AB．闭合电键瞬间金属杆的速度大小为，则其产生的电动势大小为
此时回路中电流大小为
金属杆CD受到的安培力大小为
安培力方向沿斜面向上。此时金属杆加速度大小为，方向沿导轨向上，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A错误，B正确；
CD．设从闭合电键到金属杆运动至加速度为零的过程，经过的时间为t，则回路中的平均电动势大小为
回路中的平均电流大小为
此过程中，通过电阻R的电荷量为q，则有
解得
加速度为零，则有
解得
金属杆与外电阻具有相同的阻值，此过程中金属杆上和电阻R上产生的焦耳热相等，根据能量守恒，有
解得
故C正确，D错误。
故选BC。
14．（2024·广东肇庆·统考二模）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于足够长的水平光滑平行金属导轨上，导轨间距为L、电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒的质量均为m、长度均为L、电阻均为R。将b固定在导轨上，某时刻给a施加一个水平向右的恒力F。下列说法正确的是（ ）
A．a棒所受的安培力先增大后减小
B．a棒的最大速度为
C．若解除b的固定，则稳定后两棒的速度相等
D．若解除b的固定，则稳定后两棒的加速度相等
【答案】BD
【详解】A．对a受力分析，结合牛顿第二定律有
解得
所以a做加速度减小的加速运动，a棒所受的安培力一直增大，故A错误；
B．当a棒的加速度a=0时，棒的速度最大，此时
可得
故B正确；
CD．若解除b，对a受力分析，结合牛顿第二定律有
对b受力分析结合牛顿第二定律有
开始时安培力较小，所以两个棒都加速，由
可知电动势增大，安培力增大，所以a的加速度减小，b的加速度增大，最终稳定时两个棒的加速度相同，两个棒的速度差恒定，安培力不再变化，C错误，D正确。
故选BD。
15．（2024上·山东德州·高三统考期末）如图所示，导体棒a、b放置在足够长的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部分的间距分别为l，，导体棒a、b的质量为m和，接入电路的电阻分别为R和，其余部分电阻均忽略不计。导体棒a、b均处于方向竖直向上的匀强磁场中，感应强度大小为B，a，b两导体棒均以的初速度同时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，导体棒a始终在窄轨上运动，导体棒b始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。下列说法正确的是（ ）
A．开始导体棒a中的电流为Q→P
B．导体棒中的最大电流为
C．稳定时导体棒a的速度为
D．从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为
【答案】BCD
【详解】AB．两导体棒刚开始均以初速度做切割磁感线运动时产生的感应电动势有最大值，分析可知，两导体棒切割磁感线产生的感应电动势反向，因此总的感应电动势
此时回路中感应电流有最大值，根据闭合电路的欧姆定律可得
而根据楞次定律（两导体棒构成回路的面积因两导体棒的运动而变大）或右手定则可知，回路中感应电流的方向为顺时针（从上往下看），因此开始时导体棒a中的电流为P→Q，故A错误，B正确；
C．稳定时两导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设此时a棒的速度大小为，b棒的速度大小为，则有
可得
根据左手定则可知，稳定时安培力对导体棒a做正功，对导体棒b做负功，a的速度增加，b的速度减小，设达到稳定所用的时间为，则对a由动量定理有
对b由动量定理有
联立解得
，
故C正确；
D．对整个系统由能量守恒有
解得从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为
故D正确。
故选BCD。
三、解答题
16．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为m1 = 0.1kg和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？
【答案】（1）v1 = 3.2m/s，v2 = 0.8m/s；（2）0.41
【详解】（1）线烧断前
F = (m1＋m2)gsin30°
细线烧断后
F安1 = F安2
方向相反，由系统动量守恒得
m1v1 = m2v2
两棒同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。对棒2有
m2gsn30° = BIl
I =
解得
v1 = 3.2m/s
v2 = 0.8m/s
（2）由系统动量守恒得
m1v1 = m2v2
则
m1x1 = m2x2
即
x2 = 0.2m
设所求时间为t，对棒2由动量定理得
m2gsin30°·t－B·t = m2v2－0
解得
t = 0.41s
17．（2024·山西晋城·统考一模）如图所示，MN、PQ和JK、ST为倾角皆为θ的足够长的金属导轨，都处在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，JK与ST平行，相距3L，MN与PQ平行，相距2L。质量分别为3m、2m的金属杆a和b垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，a杆和b杆在构成回路中的总电阻为R，导轨足够长且导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。
（1）若a杆固定，由静止释放b杆，求b杆的最大速度；
（2）若同时释放a、b杆，求a杆匀速下滑时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）固定a杆，b杆切割磁感线加速下滑，产生的电动势为
回路中的电流为
b杆受到的安培力大小为
对b杆由平衡条件有
解得b杆的最大速度为
（2）a杆受到的安培力大小
b杆受到的安培力大小
a杆下滑时的加速度大小
b杆下滑时的加速度大小
可得
a，b两杆同时释放，在同一时刻加速度大小相等，它们运动的时间相同，则在同一时刻，两杆的速度大小相等，即
回路中的感应电动势
a杆匀速运动的速度是其最终速度﹐由平衡条件得
解得a杆的最终速度大小
18．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图所示，两条电阻不计的平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，间距为。甲、乙两根金属棒垂直导轨放置，与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中。锁定乙棒，对甲施加水平向右的恒力，作用时间后甲获得速度，立即撤去拉力，同时解锁乙棒。甲、乙的质量分别为和，接入电路中的电阻均为，金属轨道足够长且甲、乙两棒始终未发生碰撞。求：
（1）撤去外力瞬间，金属棒甲、乙加速度的大小；
（2）作用的时间内，通过乙棒的电荷量；
（3）撤去拉力后，直到甲、乙之间的距离不再变化，这一过程中，甲棒中产生的热量以及甲、乙运动的位移差。
【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）撤去外力瞬间，甲棒的速度为回路电流为
甲、乙受到的安培力大小相同，方向相反
可得
（2）在时间内，甲、乙两棒的电流相同，流过甲乙的电荷量也相同
甲棒
解得
（3）撤去外力后，甲做加速度减小的减速运动，乙棒做加速度减小的加速运动，最后两棒速度相等，末速度为，甲乙组成系统动量守恒，以右为正
解得
甲、乙两棒电阻均为
在甲、乙两棒达到共速之前，设两棒的速度分别是和
乙棒
两棒的位移差
解得
19．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；
（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；
（3）外力的功率。
【答案】（1）；（2），方向由C到D；（3）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，有
导体棒在时间内扫过的面积为
解得
（2）根据右手定则可知棒中的电流为由B到A，流过电阻R的感应电流的方向为由C到D，大小为
（3）由于导体棒分布均匀，所以导体棒对内外两个导轨的压力均为
滑动摩擦力均为
在时间内，导体棒在内、外轨道上扫过的弧长分别为
克服摩擦力做的总功为
在时间内，电阻R上产生的焦耳热为
根据能量转化和能量守恒关系，可知，在时间内，外力所做的功为
外力的功率为
20．（2024上·天津·高三天津市宝坻区第一中学校联考期末）如图甲所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨相距，在点和点间接有一个阻值为的电阻，在两导轨间的矩形区域内有垂直导轨平面向里、长度为的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、电阻为的导体棒垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距为。现使棒由静止开始释放，棒在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计，重力加速度大小）。
（1）求棒离开磁场的下边界时的速度的大小；
（2）求金属杆在磁场中运动所用的时间；
（3）定性的作出棒开始下落后的图像。
【答案】（1）10m/s；（2）1s；（3）
【详解】（1）根据题意，设棒离开磁场的边界前做匀速运动的速度为，感应电动势为
电路中的电流
对棒，由平衡条件得
解得
（2）金属棒进入磁场区域前有
设金属棒穿越磁场所用的时间为，由动量定理得
安培力的冲量为
则金属棒穿过磁场的时间为
（3）金属棒进入磁场区域前做自由落体运动，在磁场区域中金属棒先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动，出磁场区域后，金属棒做加速度为的匀加速直线运动。棒开始下落后的图像如图所示。
21．（2024·云南大理·统考二模）如图所示，与为水平放置的无限长平行金属导轨，与为倾角为的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒置于倾斜导轨上，质量为、电阻为的导体棒置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为。初始时刻，棒在倾斜导轨上恰好不下滑。（取）
（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数；
（2）在轻质挂钧上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P的质量不超过多大时，始终处于静止状态。（导体棒运动过程中，一直与平行，且没有与滑轮相碰）；
（3）若P的质量为时，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P下降时已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中上产生的焦耳热为多少（结果保留两位小数）？
【答案】（1）0.75；（2）1.5kg；（3）1.78J
【详解】（1）对棒受力分析，受竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持力和沿斜面向上的摩擦力作用，在沿斜面方向上由平衡条件得
代入数据解得
（2）当P的质量最大时，P和的运动达到稳定时，P和一起做匀速直线运动，处于静止状态，但摩擦力达到最大且沿斜面向下。设此时电路中的电流为，对棒由平衡条件得，沿斜面方向
垂直于斜面方向
或水平方向
竖直方向
对棒，设绳中的张力为，由平衡条件得
对P，由平衡条件得
联立以上各式得
故当P的质量不超过时，始终处于静止状态；
（3）匀速后：对棒和P
）
又
而
解得
P下降的过程，电路产生的总焦耳热为，对系统，根据功能关系有
解得
根据焦耳定律可推知这个过程中上产生的焦耳热为
22．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）根据题意，M刚进磁场，感应电动势为
由右手定则可知
则M两端的电势差
（2）根据题意可知，两导体棒在磁场中运动过程中，M、N系统动量守恒，则有
解得
由能量守恒定理可得，此过程整个电路产生的热量为
则N上产生的热量为
（3）根据题意可知，N在磁场内运动过程中加速度最小时，所受安培力最小，此时感应电流最小，N出磁场瞬间，感应电动势最小，则有
又有
，
联立解得
（4）根据题意，对N由动量定理有
又有
联立得
又有
解得
又有
可得
代入得
23．（2024·河南·统考一模）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；
（2）棒中电流随时间变化的关系式；
（3）棒达到的最大速度及所用时间。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）撤去小立柱时，导体棒刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q棒受力分析
（2）只有P棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
所以
（3）对Q棒受力分析
当Q棒速度达到最大时
解得此时
，
三角形磁场总长有
而P棒在4s内运动的位移为2m，小于L1。
Q棒的加速度与时间的关系为
画出Q棒的a-t图，则Q棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则棒达到的最大速度为
所用时间=4s。
24．（2024上·陕西安康·高三统考期末）如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一绝缘水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根长度也为L的导体棒ab和cd，两根导体棒的质量分别为m、，电阻分别为R、，构成矩形回路，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，cd棒静止，ab棒有大小为、方向指向cd棒的初速度，若两导体棒在运动过程中始终不接触。求：
（1）ab棒所受的最大安培力；
（2）从开始至cd棒稳定运动时，cd棒产生的焦耳热；
（3）当ab棒的速度变为初速度大小的时，cd棒的加速度大小a。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）ab棒速度为时，受到的安培力最大，则有
ab棒所受的最大安培力
（2）cd棒稳定时，两棒共速，则有
可得
根据能量守恒有
可得
cd棒产生的焦耳热
（3）当ab棒的速度变为初速度大小的时，有
可得
此时有
cd棒的加速度大小
25．（2024·安徽·统考一模）如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求：
（1）时，金属棒的速度大小；
（2）时，外力F的大小；
（3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设棒NQ的质量为M，当t=0时
解得
，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
（2）当，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
由以上可知棒ab的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab分析
解得
（3）在的时间内金属棒的位移为
对金属棒运用动能定理分析
这段时间ab克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中产生的焦耳热为9J。
所以
26．（2024上·山东淄博·高三统考期末）新一代航母拦阻系统采用了电磁阻拦技术，其工作原理如图所示，两根电阻不计的平行金属轨道固定在水平面内，间距为，两轨道之间存在垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，两轨道左端点间接有阻值为的电阻，一个长度也为、阻值为的导体棒垂直于放在轨道上。质量为的飞机水平着舰钩住导体棒上的绝缘绳（导体棒和绝缘绳的质量均忽略不计），同时关闭动力系统，飞机与导体棒、绝缘绳瞬间达到共同速度，在第一次试降测试中，两轨道之间未施加磁场，它们受到恒定阻力，飞机从着舰到停止滑行的距离为，在第二次试降测试中，两轨道之间施加磁场，导体棒与轨道始终接触良好且垂直于轨道，飞机从着舰经时间停在甲板上，除受到安培力外，还受到与第一次试降相同的恒定阻力作用。取重力加速度为。求飞机在第二次测试中，
（1）导体棒所受安培力的最大值；
（2）从着舰到停止滑行的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）当速度最大时，导体棒所受安培力最大，有
解得
（2）第一次测试：
可得
第二次测试过程由动量定理可得
（或）
解得
27．（2023上·天津和平·高三统考期末）如图甲所示，质量为m，足够长的“”形光滑金属框放在光滑绝缘水平面上，金属框两平行边间距为d，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，金属棒ab垂直放在金属框两平行边上，用绝缘细线将棒ab固定，开始时细线水平伸直且无张力，给金属框施加一个水平向右的牵引力，使金属框由静止开始运动。不计金属框的电阻，金属棒ab始终与金属框两平行边垂直且接触良好，金属棒接入电路的电阻为R，求：
（1）若金属框做加速度为a的匀加速直线运动，以开始运动为计时起点，时刻绝缘细线上的拉力T和牵引力F的大小；
（2）若从金属框开始运动保持牵引力的功率为P不变，经过时间金属框达到最大速度，求此过程中回路产生的焦耳热。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）根据题意，时刻金属框的速度大小为
则金属框切割磁感线产生的感应电动势大小为
则金属棒与金属框所构成回路中的感应电流
可得金属棒所受安培力的大小为
联立以上各式解得
而根据平衡条件有
另由牛顿第二定律可得此时牵引力
解得
（2）当金属框达到最大速度时有
，，
解得
在导体框速度达到最大的过程中，根据能量守恒有
解得
题型一(v0≠0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定
倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
示意图
力学观点
杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq \f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2L2)
开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgRsin α,B2L2)
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgR,B2L2)
图像观点
能量观点
动能全部转化为内能：Q＝eq \f(1,2)mv02
F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：
WF＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：
WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
题型一(v0＝0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定
轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L
示意图
力学观点
S闭合，杆cd受安培力F＝eq \f(BLE,r)，a＝eq \f(BLE,mr)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝eq \f(E,BL)
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝eq \f(F,m＋B2L2C)，所以杆做匀加速运动
开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝eq \f(mgsin α,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝eq \f(mg,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动
图像观点
能量观点
电源输出的电能转化为动能：W电＝eq \f(1,2)mvm2
F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
题型一(光滑的平行导轨)
题型二(光滑不等距导轨)
题型三(光滑的平行导轨)
题型四(不光滑平行导轨)
示意图
导体棒长度L1＝L2
导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动
导体棒长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff
导体棒长度L1＝L2
图像观点
力学观点
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2
开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff2Ff，则棒2先做变加速运动后做匀加速运动，棒1先静止后做变加速运动，最后和棒2做加速度相同的匀加速运动
动量观点
两棒组成的系统动量守恒
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
两棒组成的系统动量不守对单棒可以用动量定理恒
能量观点
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2
拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(摩擦热和焦耳热)：W＝Q1＋Q2＋Ek1＋Ek2
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题15 电磁感应中的棒轨模型
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16057" 模型一 单杆＋导轨模型 PAGEREF _Tc16057 \h 1
\l "_Tc30544" 类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题 PAGEREF _Tc30544 \h 1
\l "_Tc15670" 类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型 PAGEREF _Tc15670 \h 2
\l "_Tc19571" 模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题 PAGEREF _Tc19571 \h 3
模型一 单杆＋导轨模型
单杆＋导轨模型是由单杆、导轨、电阻或电容器、磁场一般为匀强磁场组成，从导轨的放置方式上来分，可有水平导轨、竖直导轨、倾斜导轨三种类型，求解过程中要做好三个分析：电路分析、动力学分析、能量分析，在计算感应电荷量时，还要用到动量定理知识，试题难度一般较大。
类型1 单杆＋电阻＋导轨模型中的四类问题
类型2 单杆＋电容器(或电源)＋导轨模型中的四种题型
模型二 双杆＋导轨模型中的四类问题
双杆＋导轨模型是由双杆和导轨、匀强磁场组成，其中导轨有光滑和不光滑两种情况，两杆各自运动范围内导轨的宽度有相等和不相等两种情况，两杆可能有初速度，也可能受外力作用，总之，试题情景多样，过程复杂，难度较大。
【模型演练1】（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）如图甲所示，光滑的金属导轨和平行，间距，与水平面之间的夹角，匀强磁场磁感应强度，方向垂直于导轨平面向上，间接有阻值的电阻，质量，电阻的金属棒ab垂直导轨放置，现用和导轨平行的恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，使其由静止开始运动，当金属棒上滑的位移时达到稳定状态，对应过程的图像如图乙所示。取，导轨足够长（，）。求：
（1）末金属棒两端的电势差；
（2）恒力F的大小；
（3）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态，此过程中R产生的焦耳热；
（4）从金属棒开始运动到刚达到稳定状态过程，通过金属棒ab横截面的电荷量q和所用的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），
【详解】（1）由右手定则可判断感应电流由a流向b，b相当于电源的正极，故b端电势高；由图乙可知末金属杆的瞬时速度为，电动势为
末金属杆两端的电势差
解得
（2）当金属棒匀速运动时，由平衡条件得
其中
由乙图可知
联立解得
（3）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，根据动能定理可得
又克服安培力所做的功等于整个电路产生的焦耳热，代入数据解得
又
，
可得
（4）从金属棒开始运动到恰好达到稳定状态，有
代入数据解得
在匀强磁场中导体棒做加速度减小的加速运动，根据动量定理可得
又由图可知
代入数据解得
【模型演练2】．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒cd垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。
（1）如图1所示，若轨道左端M、P间接一阻值为R的电阻，导体棒在拉力F的作用下以速度v沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
（2）如图2所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为r的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。
（3）如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻电容器两极板间的电势差为U1.求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。
（4）若图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）
【详解】导体棒切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律有
导体棒做匀速运动
F＝F安
又F安＝BIL，其中
在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功
W＝FvΔt＝F安vΔt＝Δt
电路获得的电能
ΔE＝EIΔt＝Δt
可见，在任意一段时间Δt内，拉力F所做的功与电路获得的电能相等。
（2）导体棒达到最大速度vm时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLvm
电源与电阻所在回路的电流
I＝
电源的输出功率
P＝UI＝
（3）感应电动势与电容器两极板间的电势差相等，
BLv＝U
由电容器的U-t图可知
U＝t
导体棒的速度随时间变化的关系为
v＝t
可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度
a＝
由C＝和I＝，得
I＝＝
由牛顿第二定律有
F－BIL＝ma
可得
F＝
（4）导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为E＝BLv
电容器所带电荷量为
Q＝CE＝CBLv
再经过很短一段时间Δt，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为
ΔU＝ΔE＝BLΔv，ΔQ＝CΔU＝CBLΔv
流过导体棒的电流
I＝＝CBLa
导体棒受到的安培力
f1＝BIL＝CB2L2a
导体棒所受到的摩擦力
f2＝μmg
由牛顿第二定律得
F－f1－f2＝ma
联立以上各式解得
a＝
显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为
v＝t
【模型演练3】．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图所示，两条足够长的平行导电导轨MN、PQ水平放置，导轨间距L=1.0m，在轨道区域内有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。导体棒a、b质量均为m=1kg，电阻均为R=0.5Ω，与导轨间的动摩擦因数均为=0.3，运动过程中导体棒与导轨始终垂直且接触良好。重力加速度g=10m/s2，导轨电阻可忽略，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
（1）若开始时导体棒a初速度为零，导体棒b获得=2m/s的水平向右的初速度，求此时导体棒a和b的加速度大小；
（2）若同时分别给两导体棒不同的冲量，使导体棒a获得平行于导轨向左的初速度=2m/s的同时，导体棒b获得向右的平行于导轨的初速度=4m/s，求流经导体棒a的最大电流；
（3）在（2）的条件下，从导体棒a速度为零到两棒相距最远的过程中，已知导体棒b产生的焦耳热为0.25J，求此过程中导体棒b的位移。
【答案】（1）0；5m/s2；（2）6A；（3）0.5m
【详解】（1）导体棒b运动产生的感应电动势
回路电流
导体棒受安培力
解得
F0=2N
因
则a加速度为零，b的加速度
方向向左；
（2）两棒反向运动，开始时的速度最大，产生的感应电动势最大
最大电流
解得
Im=6A
（3）两棒开始向相反方向运动时，两棒系统受合外力为零，则动量守恒，当a棒速度为零时
解得b棒速度
v3=2m/s
由（1）的计算可知，此时a棒受安培力小于摩擦力，可知以后a棒静止，b棒向右做减速运动，当速度减为零时两棒最远，因导体棒b产生的焦耳热为0.25J，则此过程中，系统产生的总焦耳热为
Q=0.5J
此时由能量关系
解得
x=0.5m
一、单选题
1．（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）如图所示，用金属制成的平行导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为，有竖直向上的匀强磁场，宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场；窄轨和宽轨部分磁场的磁感应强度大小分别为和，质量均为金属棒垂直于导轨静止放置。现将金属棒自弧形导轨上距水平导轨高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，棒始终在窄轨磁场中运动，棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为，不计一切摩擦。下列说法不正确的是（ ）
A．棒刚进入磁场时，棒的加速度方向水平向左
B．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒和棒组成的系统动量守恒
C．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，通过棒的电量为
D．从棒进入磁场到两棒达到稳定过程，棒上产生的焦耳热为
【答案】B
【详解】A．根据右手定则，棒进入磁场时，棒的电流方向向外，则棒的电流方向向内，根据左手定则可得，棒的安培力方向向左，所以棒加速度方向水平向左，故A正确；
B．根据左手定则，棒受到的安培力方向都向左，故棒组成的系统合外力不为零，动量不守恒，故B错误；
C．对棒，根据动能定理
解得
当棒达到稳定时
即
对棒，由动量定理
对棒，由动量定理
通过棒的电荷量为
以上各式联立，解得
故C正确；
D．根据能量守恒
解得
则b棒上产生的焦耳热为
故D正确。
本题选不正确的，故选B。
2．（2024上·山西朔州·高三统考期末）光滑导轨固定于水平面上，导轨宽度为，导轨处于垂直水平面竖直向下的匀强磁场中，俯视图如图1所示，质量为的金属棒置于导轨上，金属棒在外力作用下由静止开始运动，已知外力随金属棒速度变化规律如图2所示，导轨左端连接阻值为的电阻，其余电阻不计，则关于金属棒运动过程下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．内通过电阻R的电量为
C．磁感应强度大小为
D．内外力的冲量大小为
【答案】D
【详解】AC．根据牛顿第二定律
其中
整理得
根据图像可知
，
解得
，
导体棒加速度不变，做匀变速直线运动，故AC错误；
B．内通过的位移为
则电阻R的电量为
故B错误；
D．5s末导体棒的速度
根据动量定理
，
其中
解得外力的冲量大小为
35N·s
故D正确。
故选D。
3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道 MN、PQ固定在水平面内，相距为L。一质量为m的导体棒 ab垂直于 MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。轨道左端MP间接一电动势为E、内阻为r的电源，并联电阻的阻值为 R。不计轨道和导体棒的电阻，闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动， 则下列判断正确的是（ ）
A．速率
B．从秒电源消耗的电能
C．t秒后通过电阻R的电流为零
D．t秒末导体棒 ab两端的电压为E
【答案】A
【详解】ACD．闭合开关S 后导体棒从静止开始，经t秒以v匀速率运动，可知此时导体棒不受安培力作用，导体棒中的电流为0，导体棒ab产生的电动势与电阻两端电压相等，则有
此时通过电阻R的电流为
则有
联立可得
t秒末导体棒 ab两端的电压为
故A正确，CD错误；
B．从秒，根据能量守恒可知，电源消耗的电能转化为导体棒的动能，电阻和内阻的焦耳热，且通过电阻并不是一直为，所以
故B错误。
故选A。
二、多选题
4．（2024上·山东青岛·高三山东省平度第一中学校考期末）如图，空间中存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场中水平放置两根足够长的光滑金属导轨，导轨间距为d。一质量为m，电阻不计的导体棒MN垂直横跨在导轨上，与导轨接触良好。导轨一端分别与电源、电容器和定值电阻通过开关连接，电源的电动势为E，内阻不计，电容器电容为C，定值电阻为R。首先将开关S2与d接通，待电路稳定后再将开关S1与b点相接、开关S2与c点相接，当导体棒匀速时，将开关S2与c点断开、开关S1与a接通，导体棒运动一段距离后速度为零。下列说法正确的是（ ）
A．导体棒匀速时速度
B．当S1与a刚接通瞬间导体棒的加速度
C．从S1与a接通至导体棒速度为零用时
D．若导体棒匀速运动时速度为v，S1与a接通后导体棒位移
【答案】BD
【详解】A．将开关S1与b点相接、开关S2与c点相接，导体棒与电容器连成闭合回路，电容器放电，导体棒受安培力作用做加速运动，开始时电容器两板间电压为E，则随时间增加，电容器两板间电压减小，当导体棒中产生的感应电动势等于电容器两板间电压时，导体棒匀速运动，则
U=Bdv
对导体棒由动量定理
其中
解得
选项A错误；
B．当S1与a刚接通瞬间对导体棒
解得导体棒的加速度
选项B正确；
CD．从S1与a接通至导体棒速度为零时，由动量定理
其中
解得
因此过程中导体棒做变减速运动，则运动时间
选项C错误，D正确。
故选BD。
5．（2024·云南昭通·统考模拟预测）如图甲所示，一电阻不计且足够长的固定光滑平行金属导轨间距，其下端接有阻值的电阻，导轨平面与水平面间的夹角，整个装置处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。一质量、阻值的金属棒垂直导轨放置并用绝缘细线通过光滑的定滑轮与质量的重物相连，左端细线连接金属棒的中点且沿方向。金属棒由静止释放后，在重物的作用下，沿方向的位移与时间之间的关系如图乙所示，其中为直线。已知在内通过金属棒的电荷量是0.9~1.2s内通过金属棒的电荷量的2倍，重力加速度取，金属棒与导轨始终接触良好，下列说法中正确的是（ ）
A．通过金属棒的电荷量与金属棒的位移的关系为
B．内金属棒运动的位移大小为
C．磁感应强度的大小为
D．内整个回路产生的热量为
【答案】AD
【详解】A．通过金属棒的电荷量
平均感应电流
回路中平均感应电动势
联立，解得
故A正确；
B．内通过金属棒的电荷量
内通过金属板的电荷量
由图乙读出时刻金属棒的位移大小，又
联立，解得
故B错误；
C．由图乙知金属棒在内做匀速直线运动，速度大小为，后金属棒受力平衡，有
，
根据闭合电路欧姆定律
解得
故C错误；
D．在内，对整个系统，根据能量守恒定律得
代入数据解得
故D正确。
故选AD。
6．（2024上·山东日照·高三日照一中校联考期末）如图所示，两根间距为L的平行光滑的金属导轨MN和PQ水平放置，导轨电阻不计，水平导轨右端接有电阻R，水平导轨所在区域有宽度为d的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小分别为B和，Ⅰ区域磁场方向竖直向上，Ⅱ区域磁场方向竖直向下。一根质量为m的金属棒ab与导轨垂直放置，接入电路的电阻为R，C、D两点为磁场区域Ⅱ两侧导轨的中点，时刻，给金属棒ab一水平向右的初速度，ab棒穿出磁场区域Ⅰ时的速度为进入磁场Ⅰ时速度的一半。已知金属棒ab始终与金属导轨垂直，下列判断正确的是（ ）
A．时刻，金属棒ab的初速度
B．金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为
C．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中通过金属棒的电荷量为
D．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中电阻R上产生的焦耳热为
【答案】ABD
【详解】A．ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅰ的过程中，根据动量定理有
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅰ的过程中，通过金属棒的电荷量为
解得时刻，金属棒ab的初速度
故A正确；
B．金属棒ab从进入区域Ⅱ到达磁场区域Ⅱ的中点的过程中，根据动量定理有
金属棒ab从进入区域Ⅱ到达磁场区域Ⅱ的中点的过程中，通过金属棒的电荷量为
金属棒ab到达磁场区域Ⅱ的中点CD时速度为
B正确；
C．ab从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅱ的过程中，通过金属棒的电荷量为
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中，通过金属棒的电荷量为
故C错误；
D．ab从进入区域Ⅱ到离开区域Ⅱ的过程中，根据动量定理有
解得
ab从进入区域Ⅰ到离开区域Ⅱ的过程中，根据动能定理有
电阻R上产生的焦耳热为
故D正确。
故选ABD。
7．（2024·湖南邵阳·统考一模）如图所示，竖直放置的固定光滑“”形导轨宽为L，矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B。质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等。金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g。金属杆（ ）
A．刚进入磁场Ⅰ时加速度大小大于g
B．穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间无磁场区的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度
【答案】ABD
【详解】A．由题意可知，金属杆进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，在磁场Ⅰ和Ⅱ之间做加速度为g的加速运动，所以金属杆在磁场Ⅰ中应该做减速运动，则感应电动势减小，安培力减小，做加速度减小的减速直线运动，而在磁场Ⅰ中和在磁场Ⅰ和Ⅱ之间速度变化量大小相同，位移相同，运动图像如图
由图像的斜率表示加速度可知导体棒刚进入磁场Ⅰ的加速度大于重力加速度，且故穿过磁场Ⅰ的时间大于在两磁场之间的运动时间，故AB正确；
C．由与导轨光滑，根据能量守恒定律可知，在运动过程中，金属杆的减小的重力势能全部转化为焦耳热和杆的动能，同时进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，所以从进入磁场Ⅰ到进入磁场Ⅱ的过程中，所产生的焦耳热为
Q=2mgd
由于两磁场间不产生焦耳热，故通过磁场Ⅰ产生的热量为Q，通过磁场Ⅱ与通过磁场Ⅰ产生的焦耳热相同，故穿过两磁场产生的总热量为4mgd，故C错误；
D．金属棒刚进入磁场Ⅰ时有
，，
解得
导体棒刚出磁场Ⅰ过程由动能定理可得
因导体棒在磁场中加速度减小，因此可知
，
解得
故D正确。
故选ABD。
8．（2024上·山东潍坊·高三统考期末）如图甲所示，粗细均匀的无限长平行导轨固定在倾角的斜面上，在边界EF下方区域存在垂直导轨平面向下的匀强磁场B，有两根相同金属棒ab、cd分别从磁场边界EF上方位置和边界EF位置同时由静止释放，cd棒运动的图像如图乙所示，其中OM、NP段为曲线，其他段为直线。已知磁感应强度，导轨间距，金属棒与导轨间的动摩擦因数，导体棒的质量均为，导体棒电阻均为，导轨电阻不计，g取。则下列说法正确的是（ ）
A．0~2s内通过导体棒ab的电荷量为
B．ab棒刚进入磁场时ab两端的电压为16V
C．0~2s内导体棒cd产生的焦耳热为
D．ab、cd棒之间的最小距离为
【答案】AD
【详解】A．导体棒cd在磁场中匀速运动时，有
解得
0~2s内根据动量定理，有
解得，通过cd棒的电荷量为
由于ab、cd棒串联，所以0~2s内通过导体棒ab的电荷量也为，A正确；
B．棒ab进入磁场前匀加速，有
解得
进入磁场的时间为
解得
进入磁场时的速度为
此时，ab两端的电压为
B错误；
C．0~2s内对cd导体棒有
联立，解得
根据动能定理有
根据功能关系，有
解得
C错误；
D．当ab、cd棒速度相等时有最小距离，之后两棒均做匀加速直线运动，设棒ab进入磁场后经两棒共速，速度为，最近距离为，根据动量定理有
cd棒
ab棒
解得
又根据
联立，解得
D正确。
故选AD。
9．（2023上·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）如图所示，间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，垂直于导轨的虚线的左、右两侧存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小分别为、。质量、阻值的金属棒静止在虚线左侧足够远的位置，质量、阻值的金属棒静止在虚线的右侧。0时刻，金属棒以初速度、金属棒以初速度沿导轨运动，时刻，金属棒达到最大速度。已知、两棒的长度均为，且始终与导轨垂直并接触良好，导轨电阻不计。则在、棒的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．通过金属棒的最大电流为
B．金属棒的最大速度
C．时间内通过金属棒的电荷量为
D．时间内金属棒上产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】A．金属棒、刚释放时，通过回路的电流最大，由法拉第电磁感应定律得
由闭合电路欧姆定律得
解得
故A正确；
B．金属棒达到最大速度时，回路中的感应电动势为0，即
由
可知金属棒受到的安培力为金属棒受到的安培力的2倍，则运动过程中金属棒的动量变化量的大小为金属棒动量变化量的大小的2倍，即
解得
，
故B错误；
C．对金属棒，由动量定理得
解得
故C错误；
D．由能量守恒定律得
又
解得
故D正确。
故选AD。
10．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）如图所示，水平面上固定有形状为“”的光滑金属导轨MON、PO'Q，OO'左右导轨的宽度分别为2L、L，两侧匀强磁场的方向分别竖直向上和竖直向下，磁感应强度大小分别为B0和2B0，导体棒a、b垂直于导轨放在OO'两侧，长度分别为2L、L。已知导体棒的材料相同、横截面积相同，导体棒b的质量为m，两导体棒与导轨接触良好，不计导轨电阻。使导体棒b获得水平向右的初速度，直到导体棒b达到稳定状态的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．导体棒b克服安培力做功等于其产生的焦耳热
B．导体棒a上产生的焦耳热为
C．导体棒a、b最终以相同的速度做匀速直线运动
D．通过a棒的电荷量为
【答案】BD
【详解】导体棒的材料相同、横截面积相同，长度分别为，导体棒b的质量为m，则导体棒a的质量为2m，由电阻定律可知，导体棒的电阻之比为
设回路中电流为，导体棒a受的安培力为
导体棒b受的安培力为
可知，运动过程中，两导体棒的安培力大小相等
C．根据题意，设导体棒a、b稳定时的速度大小分别为、，稳定时有
分别对导体棒a、b应用动量定理有
，
解得
由于导体棒b开始向右运动，由左手定则可知，导体棒a受向左的安培力，则导体棒a向左运动，则导体棒a、b最终速度大小相等，方向相反，故C错误；
A．由功能关系可知，导体棒b克服安培力做功等于导体棒a、b上产生的焦耳热和导体棒a的动能之和，故A错误；
B．由能量守恒定律可知，导体棒a、b上产生的焦耳热为
则导体棒a上产生的焦耳热为
故B正确；
D．根据题意，由动量定理，对导体棒a有
解得
故D正确。
故选BD。
11．（2024上·全国·高三统考阶段练习）如图所示，两根相互平行的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，在导轨的左端接入电容为C的电容器和阻值为R的电阻。质量为m、阻值也为R的导体棒MN静止于导轨上，与导轨垂直，且接触良好，导体棒接入电路的有效长度为l，导轨电阻和电容器极板的电阻忽略不计，整个系统处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B。开始时，电容器所带的电荷量为Q，合上开关S后，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒MN所受安培力的最大值为
B．导体棒MN最终向右匀速运动，且速度为
C．导体棒MN速度最大时，电阻R两端的电压为0
D．开始时电容器中储存的电能全部转化为焦耳热和导体棒的动能
【答案】BC
【详解】A．通过导体棒MN的电流最大时，导体棒MN所受安培力的最大，通过导体棒MN的电流最大值为
导体棒MN所受安培力的最大值为
故A错误；
B．当电容器两极板间的电压大于导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势时，导体棒MN受到向右的安培力，导体棒MN做加速运动，随着导体棒MN的增大，导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势增大，导体棒MN受到向右的安培力逐渐减小直至为零，导体棒MN最终向右匀速运动，根据动量定理有
该过程通过导体棒MN的电量为
稳定后电容器的带电量为
联立解得速度为
故B正确；
C．导体棒MN速度最大时，电容器两极板间的电压等于导体棒MN切割磁感线产生的感应电动势，电阻R两端的电压为0，故C正确；
D．开始时电容器中储存的部分电能转化为焦耳热和导体棒的动能，故D错误。
故选BC。
12．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图所示，两条足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨间距为L，电阻不计，导轨最右端接有阻值为R的定值电阻。整个装置处于两种磁感应强度大小均为B、方向竖直且相反的匀强磁场中，虚线为两磁场的分界线。质量均为m的两根导体棒MN、PQ静止于导轨上，两导体棒接入电路的电阻均为R，与导轨间的动摩擦因数均为（设导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。时刻，用水平向左的恒力F拉MN棒，使其由静止开始运动，时刻，PQ刚好要滑动。该过程中，两棒始终与导轨垂直且接触良好，通过金属棒PQ的电荷量为q，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．时刻，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右
B．时刻，金属棒MN速度大小为
C．从到时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为
D．从到时间内，金属棒MN产生的焦耳热为
【答案】AD
【详解】A．由于金属棒MN向左运动，根据右手定则可知，金属棒PQ的电流方向为P到Q，根据左手定则可知，金属棒PQ受到的安培力方向水平向右，故A正确；
B．时刻，PQ刚好要滑动，设PQ上的电流为I，则有
金属棒MN产生的感应电动势为
由于金属棒PQ与电阻R并联，所以金属棒MN上的电流为2I，则根据闭合电路欧姆定律有
联立可得，时刻，金属棒MN速度大小为
故B错误；
C．通过金属棒PQ的电荷量为q，则通过金属棒MN的电荷量为2q，则有
可得，从到时间内，金属棒MN在导轨上运动的距离为
故C错误；
D．从到时间内，根据功能关系有
由于金属棒MN在干路上，而金属棒PQ与电阻R并联，则金属棒MN产生的焦耳热为
故D正确。
故选AD。
13．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）如图所示，足够长且电阻不计的平行光滑金属导轨MN、OP倾斜固定，与水平面夹角为，导轨间距为L，O、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆CD垂直于导轨放置，与金属导轨形成闭合电路，其接入电路部分的电阻也为R，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。开始时电键S断开，由静止释放金属杆，当金属杆运动一段时间后闭合电键S，闭合瞬间金属杆的速度大小为，加速度大小为、方向沿导轨向上。自闭合电键到金属杆加速度刚为零的过程，通过电阻R的电荷量为q，电阻R上产生的焦耳热为Q。金属杆运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g。则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】AB．闭合电键瞬间金属杆的速度大小为，则其产生的电动势大小为
此时回路中电流大小为
金属杆CD受到的安培力大小为
安培力方向沿斜面向上。此时金属杆加速度大小为，方向沿导轨向上，对金属杆受力分析，根据牛顿第二定律有
解得
故A错误，B正确；
CD．设从闭合电键到金属杆运动至加速度为零的过程，经过的时间为t，则回路中的平均电动势大小为
回路中的平均电流大小为
此过程中，通过电阻R的电荷量为q，则有
解得
加速度为零，则有
解得
金属杆与外电阻具有相同的阻值，此过程中金属杆上和电阻R上产生的焦耳热相等，根据能量守恒，有
解得
故C正确，D错误。
故选BC。
14．（2024·广东肇庆·统考二模）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。有两根完全相同的金属棒a和b垂直静置于足够长的水平光滑平行金属导轨上，导轨间距为L、电阻不计，金属棒与导轨接触良好，两根金属棒的质量均为m、长度均为L、电阻均为R。将b固定在导轨上，某时刻给a施加一个水平向右的恒力F。下列说法正确的是（ ）
A．a棒所受的安培力先增大后减小
B．a棒的最大速度为
C．若解除b的固定，则稳定后两棒的速度相等
D．若解除b的固定，则稳定后两棒的加速度相等
【答案】BD
【详解】A．对a受力分析，结合牛顿第二定律有
解得
所以a做加速度减小的加速运动，a棒所受的安培力一直增大，故A错误；
B．当a棒的加速度a=0时，棒的速度最大，此时
可得
故B正确；
CD．若解除b，对a受力分析，结合牛顿第二定律有
对b受力分析结合牛顿第二定律有
开始时安培力较小，所以两个棒都加速，由
可知电动势增大，安培力增大，所以a的加速度减小，b的加速度增大，最终稳定时两个棒的加速度相同，两个棒的速度差恒定，安培力不再变化，C错误，D正确。
故选BD。
15．（2024上·山东德州·高三统考期末）如图所示，导体棒a、b放置在足够长的光滑平行金属导轨上，导轨左右两部分的间距分别为l，，导体棒a、b的质量为m和，接入电路的电阻分别为R和，其余部分电阻均忽略不计。导体棒a、b均处于方向竖直向上的匀强磁场中，感应强度大小为B，a，b两导体棒均以的初速度同时水平向右运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，导体棒a始终在窄轨上运动，导体棒b始终在宽轨上运动，直到两导体棒达到稳定状态。下列说法正确的是（ ）
A．开始导体棒a中的电流为Q→P
B．导体棒中的最大电流为
C．稳定时导体棒a的速度为
D．从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为
【答案】BCD
【详解】AB．两导体棒刚开始均以初速度做切割磁感线运动时产生的感应电动势有最大值，分析可知，两导体棒切割磁感线产生的感应电动势反向，因此总的感应电动势
此时回路中感应电流有最大值，根据闭合电路的欧姆定律可得
而根据楞次定律（两导体棒构成回路的面积因两导体棒的运动而变大）或右手定则可知，回路中感应电流的方向为顺时针（从上往下看），因此开始时导体棒a中的电流为P→Q，故A错误，B正确；
C．稳定时两导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，设此时a棒的速度大小为，b棒的速度大小为，则有
可得
根据左手定则可知，稳定时安培力对导体棒a做正功，对导体棒b做负功，a的速度增加，b的速度减小，设达到稳定所用的时间为，则对a由动量定理有
对b由动量定理有
联立解得
，
故C正确；
D．对整个系统由能量守恒有
解得从开始至稳定状态，电路中产生的焦耳热为
故D正确。
故选BCD。
三、解答题
16．（2024·吉林·校联考模拟预测）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距l = 1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角。杆1、杆2是两根用细线连接的金属杆，质量分别为m1 = 0.1kg和m2 = 0.4kg，两杆垂直导轨放置，且两端始终与导轨接触良好，两杆的总电阻R = 2Ω，两杆在沿导轨向上的外力F作用下保持静止。整个装置处在磁感应强度B = 1T的匀强磁场中，磁场方向与导轨所在平面垂直，在t = 0时刻将细线烧断，保持F不变，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）细线烧断后，两杆最大速度v1、v2的大小；
（2）两杆刚达到最大速度时，杆1上滑了0.8m，则从t = 0时刻起到此刻用了多长时间？
【答案】（1）v1 = 3.2m/s，v2 = 0.8m/s；（2）0.41
【详解】（1）线烧断前
F = (m1＋m2)gsin30°
细线烧断后
F安1 = F安2
方向相反，由系统动量守恒得
m1v1 = m2v2
两棒同时达到最大速度，之后做匀速直线运动。对棒2有
m2gsn30° = BIl
I =
解得
v1 = 3.2m/s
v2 = 0.8m/s
（2）由系统动量守恒得
m1v1 = m2v2
则
m1x1 = m2x2
即
x2 = 0.2m
设所求时间为t，对棒2由动量定理得
m2gsin30°·t－B·t = m2v2－0
解得
t = 0.41s
17．（2024·山西晋城·统考一模）如图所示，MN、PQ和JK、ST为倾角皆为θ的足够长的金属导轨，都处在垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，JK与ST平行，相距3L，MN与PQ平行，相距2L。质量分别为3m、2m的金属杆a和b垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持光滑接触，a杆和b杆在构成回路中的总电阻为R，导轨足够长且导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。
（1）若a杆固定，由静止释放b杆，求b杆的最大速度；
（2）若同时释放a、b杆，求a杆匀速下滑时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）固定a杆，b杆切割磁感线加速下滑，产生的电动势为
回路中的电流为
b杆受到的安培力大小为
对b杆由平衡条件有
解得b杆的最大速度为
（2）a杆受到的安培力大小
b杆受到的安培力大小
a杆下滑时的加速度大小
b杆下滑时的加速度大小
可得
a，b两杆同时释放，在同一时刻加速度大小相等，它们运动的时间相同，则在同一时刻，两杆的速度大小相等，即
回路中的感应电动势
a杆匀速运动的速度是其最终速度﹐由平衡条件得
解得a杆的最终速度大小
18．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图所示，两条电阻不计的平行光滑金属导轨固定在同一水平面内，间距为。甲、乙两根金属棒垂直导轨放置，与导轨接触良好，整个装置处于竖直向上磁感应强度为的匀强磁场中。锁定乙棒，对甲施加水平向右的恒力，作用时间后甲获得速度，立即撤去拉力，同时解锁乙棒。甲、乙的质量分别为和，接入电路中的电阻均为，金属轨道足够长且甲、乙两棒始终未发生碰撞。求：
（1）撤去外力瞬间，金属棒甲、乙加速度的大小；
（2）作用的时间内，通过乙棒的电荷量；
（3）撤去拉力后，直到甲、乙之间的距离不再变化，这一过程中，甲棒中产生的热量以及甲、乙运动的位移差。
【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）撤去外力瞬间，甲棒的速度为回路电流为
甲、乙受到的安培力大小相同，方向相反
可得
（2）在时间内，甲、乙两棒的电流相同，流过甲乙的电荷量也相同
甲棒
解得
（3）撤去外力后，甲做加速度减小的减速运动，乙棒做加速度减小的加速运动，最后两棒速度相等，末速度为，甲乙组成系统动量守恒，以右为正
解得
甲、乙两棒电阻均为
在甲、乙两棒达到共速之前，设两棒的速度分别是和
乙棒
两棒的位移差
解得
19．（2023上·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考阶段练习）半径分别为r和2r的同心圆形导轨固定在同一水平面上，一长为r，质量为m且质量分布均匀的直导体棒AB置于圆导轨上面，BA的延长线通过圆导轨的中心O，装置的俯视图如图所示；整个装置位于一匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向竖直向下；在内圆导轨的C点和外圆导轨的D点之间接有一阻值为R的电阻（图中未画出）。直导体棒在水平外力作用下以角速度ω绕O逆时针匀速转动，在转动过程中始终与导轨保持良好接触。设导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒电阻和导轨的电阻均可忽略，重力加速度大小为g。
（1）通过法拉第电磁感应定律推导导体棒中的感应电动势大小；
（2）通过电阻R的感应电流的方向和大小；
（3）外力的功率。
【答案】（1）；（2），方向由C到D；（3）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，有
导体棒在时间内扫过的面积为
解得
（2）根据右手定则可知棒中的电流为由B到A，流过电阻R的感应电流的方向为由C到D，大小为
（3）由于导体棒分布均匀，所以导体棒对内外两个导轨的压力均为
滑动摩擦力均为
在时间内，导体棒在内、外轨道上扫过的弧长分别为
克服摩擦力做的总功为
在时间内，电阻R上产生的焦耳热为
根据能量转化和能量守恒关系，可知，在时间内，外力所做的功为
外力的功率为
20．（2024上·天津·高三天津市宝坻区第一中学校联考期末）如图甲所示，竖直放置的足够长的光滑平行金属导轨相距，在点和点间接有一个阻值为的电阻，在两导轨间的矩形区域内有垂直导轨平面向里、长度为的匀强磁场，磁感应强度为。一质量为、电阻为的导体棒垂直地搁在导轨上，与磁场的上边界相距为。现使棒由静止开始释放，棒在离开磁场前已经做匀速直线运动（棒与导轨始终保持良好接触且下落过程中始终保持水平，导轨的电阻不计，重力加速度大小）。
（1）求棒离开磁场的下边界时的速度的大小；
（2）求金属杆在磁场中运动所用的时间；
（3）定性的作出棒开始下落后的图像。
【答案】（1）10m/s；（2）1s；（3）
【详解】（1）根据题意，设棒离开磁场的边界前做匀速运动的速度为，感应电动势为
电路中的电流
对棒，由平衡条件得
解得
（2）金属棒进入磁场区域前有
设金属棒穿越磁场所用的时间为，由动量定理得
安培力的冲量为
则金属棒穿过磁场的时间为
（3）金属棒进入磁场区域前做自由落体运动，在磁场区域中金属棒先做加速度减小的加速运动后做匀速直线运动，出磁场区域后，金属棒做加速度为的匀加速直线运动。棒开始下落后的图像如图所示。
21．（2024·云南大理·统考二模）如图所示，与为水平放置的无限长平行金属导轨，与为倾角为的平行金属导轨，两组导轨的间距均为，导轨电阻忽略不计。质量为、电阻为的导体棒置于倾斜导轨上，质量为、电阻为的导体棒置于水平导轨上，轻质细绳跨过光滑滑轮一端与的中点相连、另一端悬挂一轻质挂钩。导体棒与导轨间的动摩擦因数相同，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为。初始时刻，棒在倾斜导轨上恰好不下滑。（取）
（1）求导体棒与导轨间的动摩擦因数；
（2）在轻质挂钧上挂上物体P，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P的质量不超过多大时，始终处于静止状态。（导体棒运动过程中，一直与平行，且没有与滑轮相碰）；
（3）若P的质量为时，细绳处于拉伸状态，将物体P与导体棒同时由静止释放，当P下降时已经处于匀速直线运动状态，求这个过程中上产生的焦耳热为多少（结果保留两位小数）？
【答案】（1）0.75；（2）1.5kg；（3）1.78J
【详解】（1）对棒受力分析，受竖直向下的重力，垂直于斜面向上的支持力和沿斜面向上的摩擦力作用，在沿斜面方向上由平衡条件得
代入数据解得
（2）当P的质量最大时，P和的运动达到稳定时，P和一起做匀速直线运动，处于静止状态，但摩擦力达到最大且沿斜面向下。设此时电路中的电流为，对棒由平衡条件得，沿斜面方向
垂直于斜面方向
或水平方向
竖直方向
对棒，设绳中的张力为，由平衡条件得
对P，由平衡条件得
联立以上各式得
故当P的质量不超过时，始终处于静止状态；
（3）匀速后：对棒和P
）
又
而
解得
P下降的过程，电路产生的总焦耳热为，对系统，根据功能关系有
解得
根据焦耳定律可推知这个过程中上产生的焦耳热为
22．（2024上·湖北·高三校联考期末）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为L。abcd区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度向右运动。磁场内的细金属杆N处于静止状态，且到cd的距离为。两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为，两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。金属杆M质量为2m，金属杆N质量为m，两杆在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时M两端的电势差；
（2）N在磁场内运动过程中N上产生的热量；
（3）N在磁场内运动过程中的最小加速度的大小；
（4）N在磁场内运动的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）根据题意，M刚进磁场，感应电动势为
由右手定则可知
则M两端的电势差
（2）根据题意可知，两导体棒在磁场中运动过程中，M、N系统动量守恒，则有
解得
由能量守恒定理可得，此过程整个电路产生的热量为
则N上产生的热量为
（3）根据题意可知，N在磁场内运动过程中加速度最小时，所受安培力最小，此时感应电流最小，N出磁场瞬间，感应电动势最小，则有
又有
，
联立解得
（4）根据题意，对N由动量定理有
又有
联立得
又有
解得
又有
可得
代入得
23．（2024·河南·统考一模）如图（a）所示，一个电阻不计的平行金属导轨，间距，左半部分倾斜且粗糙，倾角，处于沿斜面向下的匀强磁场中；右半部分水平且光滑，导轨之间存在一个三角形匀强磁场区域，磁场方向竖直向下，其边界与两导轨夹角均为。右半部分俯视图如图（b）。导体棒借助小立柱静置于倾斜导轨上，其与导轨的动摩擦因数。导体棒以的速度向右进入三角形磁场区域时，撤去小立柱，棒开始下滑，同时对棒施加一外力使其始终保持匀速运动。运动过程中，两棒始终垂直于导轨且接触良好。已知两磁场的磁感应强度大小均为，两棒的质量均为，棒电阻，棒电阻不计。重力加速度大小取，以棒开始下滑为计时起点。求
（1）撤去小立柱时，棒的加速度大小；
（2）棒中电流随时间变化的关系式；
（3）棒达到的最大速度及所用时间。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）撤去小立柱时，导体棒刚刚进入三角形磁场区域，没有感应电动势，则对Q棒受力分析
（2）只有P棒在切割磁感线，所以感应电动势为
磁场穿过闭合电路的面积与时间的关系为
所以
（3）对Q棒受力分析
当Q棒速度达到最大时
解得此时
，
三角形磁场总长有
而P棒在4s内运动的位移为2m，小于L1。
Q棒的加速度与时间的关系为
画出Q棒的a-t图，则Q棒速度的变化量等于图线下方与坐标轴围成的面积，则棒达到的最大速度为
所用时间=4s。
24．（2024上·陕西安康·高三统考期末）如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一绝缘水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根长度也为L的导体棒ab和cd，两根导体棒的质量分别为m、，电阻分别为R、，构成矩形回路，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，cd棒静止，ab棒有大小为、方向指向cd棒的初速度，若两导体棒在运动过程中始终不接触。求：
（1）ab棒所受的最大安培力；
（2）从开始至cd棒稳定运动时，cd棒产生的焦耳热；
（3）当ab棒的速度变为初速度大小的时，cd棒的加速度大小a。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）ab棒速度为时，受到的安培力最大，则有
ab棒所受的最大安培力
（2）cd棒稳定时，两棒共速，则有
可得
根据能量守恒有
可得
cd棒产生的焦耳热
（3）当ab棒的速度变为初速度大小的时，有
可得
此时有
cd棒的加速度大小
25．（2024·安徽·统考一模）如图甲所示，两根平行光滑足够长金属导轨固定在倾角的斜面上，其间距。导轨间存在垂直于斜面向上的匀强磁场，磁感应强度。两根金属棒和与导轨始终保持垂直且接触良好，棒通过一绝缘细线与固定在斜面上的拉力传感器连接（连接前，传感器已校零），细线平行于导轨。已知棒的质量为棒和棒接入电路的电阻均为，导轨电阻不计。将棒从静止开始释放，同时对其施加平行于导轨的外力F，此时拉力传感器开始测量细线拉力，作出力随时间t的变化图像如图乙所示（力大小没有超出拉力传感器量程），重力加速度g取。求：
（1）时，金属棒的速度大小；
（2）时，外力F的大小；
（3）已知金属棒在的时间内产生的热量为，求这段时间外力F所做的功。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设棒NQ的质量为M，当t=0时
解得
，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
（2）当，棒NQ受到沿斜面向上的拉力，对棒NQ分析
根据，解得
感应电动势为
根据，解得
由以上可知棒ab的速度可表示为
由于FT随时间均匀增大，所以ab在做匀加速直线运动，其加速度为
对棒ab分析
解得
（3）在的时间内金属棒的位移为
对金属棒运用动能定理分析
这段时间ab克服安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，因为电路里有两根电阻相等的棒，所以电路中产生的焦耳热为9J。
所以
26．（2024上·山东淄博·高三统考期末）新一代航母拦阻系统采用了电磁阻拦技术，其工作原理如图所示，两根电阻不计的平行金属轨道固定在水平面内，间距为，两轨道之间存在垂直轨道向下的匀强磁场，磁感应强度大小为，两轨道左端点间接有阻值为的电阻，一个长度也为、阻值为的导体棒垂直于放在轨道上。质量为的飞机水平着舰钩住导体棒上的绝缘绳（导体棒和绝缘绳的质量均忽略不计），同时关闭动力系统，飞机与导体棒、绝缘绳瞬间达到共同速度，在第一次试降测试中，两轨道之间未施加磁场，它们受到恒定阻力，飞机从着舰到停止滑行的距离为，在第二次试降测试中，两轨道之间施加磁场，导体棒与轨道始终接触良好且垂直于轨道，飞机从着舰经时间停在甲板上，除受到安培力外，还受到与第一次试降相同的恒定阻力作用。取重力加速度为。求飞机在第二次测试中，
（1）导体棒所受安培力的最大值；
（2）从着舰到停止滑行的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）当速度最大时，导体棒所受安培力最大，有
解得
（2）第一次测试：
可得
第二次测试过程由动量定理可得
（或）
解得
27．（2023上·天津和平·高三统考期末）如图甲所示，质量为m，足够长的“”形光滑金属框放在光滑绝缘水平面上，金属框两平行边间距为d，处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，金属棒ab垂直放在金属框两平行边上，用绝缘细线将棒ab固定，开始时细线水平伸直且无张力，给金属框施加一个水平向右的牵引力，使金属框由静止开始运动。不计金属框的电阻，金属棒ab始终与金属框两平行边垂直且接触良好，金属棒接入电路的电阻为R，求：
（1）若金属框做加速度为a的匀加速直线运动，以开始运动为计时起点，时刻绝缘细线上的拉力T和牵引力F的大小；
（2）若从金属框开始运动保持牵引力的功率为P不变，经过时间金属框达到最大速度，求此过程中回路产生的焦耳热。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）根据题意，时刻金属框的速度大小为
则金属框切割磁感线产生的感应电动势大小为
则金属棒与金属框所构成回路中的感应电流
可得金属棒所受安培力的大小为
联立以上各式解得
而根据平衡条件有
另由牛顿第二定律可得此时牵引力
解得
（2）当金属框达到最大速度时有
，，
解得
在导体框速度达到最大的过程中，根据能量守恒有
解得
题型一(v0≠0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
质量为m，电阻不计的单杆cd以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定
倾斜轨道光滑，倾角为α，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
竖直轨道光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
示意图
力学观点
杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq \f(BLv,R)，安培力F＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)。杆做减速运动：v↓⇒F↓⇒a↓，当v＝0时，a＝0，杆保持静止
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由F－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2L2)
开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mgsin α－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgRsin α,B2L2)
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒感应电动势E＝BLv↑⇒I↑⇒安培力F安＝BIL↑，由mg－F安＝ma知a↓，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(mgR,B2L2)
图像观点
能量观点
动能全部转化为内能：Q＝eq \f(1,2)mv02
F做的功一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：
WF＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：
WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
重力做的功(或减少的重力势能)一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能：WG＝Q＋eq \f(1,2)mvm2
题型一(v0＝0)
题型二(v0＝0)
题型三(v0＝0)
题型四(v0＝0)
说明
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
轨道水平光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定
轨道倾斜光滑，杆cd质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L
轨道竖直光滑，杆cd质量为m，电阻为R，两平行导轨间距为L
示意图
力学观点
S闭合，杆cd受安培力F＝eq \f(BLE,r)，a＝eq \f(BLE,mr)，杆cd速度v↑⇒感应电动势E感＝BLv↑⇒I↓⇒安培力F＝BIL↓⇒加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vmax＝eq \f(E,BL)
开始时a＝eq \f(F,m)，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝eq \f(F,m＋B2L2C)，所以杆做匀加速运动
开始时a＝gsin α，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mgsin α－F安＝ma，a＝eq \f(mgsin α,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动
开始时a＝g，杆cd速度v↑⇒E＝BLv↑，经过Δt速度为v＋Δv，E′＝BL(v＋Δv)，Δq＝C(E′－E)＝CBLΔv，I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLa，F安＝CB2L2a，mg－F安＝ma，a＝eq \f(mg,m＋CB2L2)，所以杆做匀加速运动
图像观点
能量观点
电源输出的电能转化为动能：W电＝eq \f(1,2)mvm2
F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
重力做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WG＝eq \f(1,2)mv2＋EC
题型一(光滑的平行导轨)
题型二(光滑不等距导轨)
题型三(光滑的平行导轨)
题型四(不光滑平行导轨)
示意图
导体棒长度L1＝L2
导体棒长度L1＝2L2，两棒只在各自的轨道上运动
导体棒长度L1＝L2
摩擦力Ff1＝Ff2＝Ff
导体棒长度L1＝L2
图像观点
力学观点
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒以相等的速度匀速运动
棒1做加速度减小的减速运动，棒2做加速度减小的加速运动，稳定时，两棒的加速度均为零，速度之比为1∶2
开始时，两棒做变加速运动；稳定时，两棒以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff
动量观点
两棒组成的系统动量守恒
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
两棒组成的系统动量不守恒
对单棒可以用动量定理
两棒组成的系统动量不守对单棒可以用动量定理恒
能量观点
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
系统动能的减少量等于产生的焦耳热
拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(焦耳热)：W＝Q＋Ek1＋Ek2
拉力做的功一部分转化为双棒的动能，一部分转化为内能(摩擦热和焦耳热)：W＝Q1＋Q2＋Ek1＋Ek2
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