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所属成套资源：【热点模型】备战2024年高考物理二轮复习热点模型精讲
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专题12 磁偏转模型中的关键几何条件---【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型
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这是一份专题12 磁偏转模型中的关键几何条件---【热点模型】2024年高考物理二轮复习热点模型，文件包含专题12磁偏转模型中的关键几何条件原卷版docx、专题12磁偏转模型中的关键几何条件解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共78页， 欢迎下载使用。
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二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1669" 一．磁偏转的基本规律 PAGEREF _Tc1669 \h 1
\l "_Tc26316" 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 PAGEREF _Tc26316 \h 1
\l "_Tc11390" 类型(一) 直线边界的磁场 PAGEREF _Tc11390 \h 1
\l "_Tc3651" 类型(二) 平行直线边界的磁场 PAGEREF _Tc3651 \h 2
\l "_Tc23827" 类型(三) 三角形边界的磁场 PAGEREF _Tc23827 \h 2
\l "_Tc11834" 类型(四) 矩形边界的磁场 PAGEREF _Tc11834 \h 2
\l "_Tc29745" 类型(五) 圆形边界的磁场 PAGEREF _Tc29745 \h 3
\l "_Tc24441" 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 PAGEREF _Tc24441 \h 3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝eq \f(mv2,r)。
(2)半径公式：r＝eq \f(mv,qB)。
(3)周期公式：T＝eq \f(2πm,qB)。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)。
(2)图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)。
(3)图c中粒子在磁场中运动的时间。
(4)图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【模型演练1】（2024·四川内江·四川省资中县球溪高级中学校考模拟预测）如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cs53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【模型演练2】．（2023上·四川资阳·高三统考期末）如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A．B．C．D．
【模型演练3】．（2023上·高三课时练习）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
【模型演练4】（2024上·河南信阳·高三统考期末）如图所示，相距为、足够长的直线边界、之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场左边界上点处有一个粒子源，直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为、电荷量为的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上点离开磁场。不计粒子的重力，到的距离为。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
一、单选题
1．（2024上·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）如图所示，OACD是一长为的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从О点以速度垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．矩形磁场的宽度最小值为
C．粒子从О到A所需的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度为
2．（2024上·湖北襄阳·高三校联考期末）如图，在半径为的半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，半径与半径的夹角为。现有一对质量和电荷量均相等的正、负粒子，从点沿方向射入磁场中，一个从A点离开磁场，另一个从点离开磁场。粒子的重力及粒子间的相互作用力均不计，则下列说法中正确的是（ ）
A．从A点射出磁场的是带正电的粒子
B．正、负粒子在磁场中运动的速度大小之比为
C．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
3．（2024上·山西朔州·高三统考期末）如图所示，与轴的夹角为的直线将平面的第一象限分成两个区域Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，Ⅱ区域为真空。在时刻，一质量为、电荷量为的粒子，以速度从点沿轴正方向垂直磁场进入Ⅰ区域；在时刻，撤去磁场，最终粒子恰好沿两个区域的分界线运动且通过点.不计粒子的重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的半径为
B．在时刻，撤去磁场
C．带电粒子在第一象限运动的时间为
D．带电粒子通过点时的速度大小为
4．（2024上·海南海口·高三海南中学校考期末）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足
5．（2024上·湖南邵阳·高三统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在航天器内建立半径分别为R和的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为，质子的电荷量为e、质量为m。下列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为60°
7．（2024·河南·统考一模）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的速度之比为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·四川攀枝花·高三统考期末）如图所示，水平直线边界的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，长为、与平行的挡板到的距离为，边界上的点处有一电子源，可在纸面内向上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为、电荷量为，速度大小均为，N、S的连线与垂直，不计电子之间的作用力，则挡板的上表面没有被电子击中部分的长度为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·河北保定·高三河北省保定市清苑区清苑中学校考期末）如图所示，边长为的正方形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为、带电量为的带负电的粒子从点以速度沿方向射入磁场，之后从边的中点射出磁场，不计粒子的重力，磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
11．（2023上·辽宁大连·高二统考期末）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内（边界上有磁场），磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。宇宙射线中含有一种带电粒子，其质量为m、电荷量为q，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从A点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
B．从A点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
C．从A点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
D．从A点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
12．（2024上·云南曲靖·高二统考期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，粒子源M位于磁场边界上，可平行于纸面沿各个方向向磁场区域内射入速率均为v的同种带正电的粒子，在磁场中运动时间最长的粒子速度方向偏转了。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。则匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·云南·统考二模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点处的P点沿着与连线成的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末）边长为a的正三角形区域存在匀强磁场，磁场方向垂直三角形平面，磁感应强度大小为B，在三角形中心有一个粒子源，在三角形平面内时刻向各个方向均匀一次性发射速率大小相等的同种粒子，粒子的电量为，质量为m，与边AB平行向左射出的粒子，经过t时间刚好垂直于AB边射出磁场边界，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动周期为2t
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．t时刻仍在磁场中运动的粒子数与发射出粒子的总数之比为
D．时间内在磁场中有粒子达到区域的面积为
15．（2024·陕西西安·校考一模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°=0.6，cs37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
16．（2024上·山西大同·高三统考期末）圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O为其圆心，、和为其三条直径，其中和的夹角，两个比荷大小相等，带有异种电荷的粒子和先后在a点沿的连线方向以不同的初速度射入磁场，分别从c点和d点离开磁场，两粒子在磁场中的运动半径分别为和，运动时间分别为和，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，在的中点处有一粒子源，沿与平行的方向发射速率不同，质量为，电荷量为的带负电粒子，已知这些粒子都能从边离开区域，，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．速度的最大值为B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为D．在磁场中运动的最长时间为
18．（2024上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d处有一粒子源S。能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
D．打到板上的粒子数为
19．（2024上·山西阳泉·高三统考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为B，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，圆的半径为R。如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿PO方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
B．粒子能从小孔射出的最短时间为
C．调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心
D．从小孔射出的粒子的速度大小可能超过
20．（2024·安徽·统考一模）如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到的距离为，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子带负电B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为D．粒子在磁场中运动的路程为
21．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，边长为L的等边三角形区域外存在垂直于所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q两点分别为边的三等分点。时刻，带负电的粒子在平面内以初速度从a点垂直于边射出，从P点第一次进入三角形区域。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的比荷为B．粒子可以运动到Q点
C．粒子第一次到达c点的时间为D．粒子第一次回到a点的时间为
22．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在的区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。一束速率等于的相同带电粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内。其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
三、解答题
23．（2024上·河南信阳·高二统考期末）如图所示，在第一象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点垂直磁场射入，射入时速度方向与轴的夹角为，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知磁场磁感应强度大小为，点的坐标为，不计重力。求：
（1）射出点的坐标；
（2）粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为
由几何关系可得
解得
则射出点的坐标为
（2）粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中运动的时间为
解得
24．（2024上·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，有一个磁感应强度、方向垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，在磁场中的O点有一个粒子源，能向纸面内各个方向连续不断地均匀发射速率、比荷的带正电粒子，是竖直放置且厚度不计的挡板，足够长，挡板的P端与O点的连线跟挡板垂直，带电粒子受到的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计，
（1）为了使带电子不打在挡板上，粒子源到挡板的距离d应满足什么条件？
（2）若粒子源到挡板的距离，且已知沿某一方向射出的粒子恰好紧挨P点通过，再过一段时间后最终又打在挡板上，求这个粒子从O点射出时的速度与连线的夹角；
（3）若粒子源到挡板的距离，求粒子打到挡板左、右表面上的长度的比值。
25．（2024上·湖南常德·高三统考期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为-q的粒子，以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，从b点处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为，并进入场强为E、方向沿x轴正方向的匀强电场中，之后通过了b点正下方的c点（图中未画出），不计粒子重力。求：
（1）b点与O点的距离；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；
（3）b点到c点的距离。
26．（2024·全国·模拟预测）在如图所示的圆形区域内存在着垂直于纸面的匀强磁场。带电粒子a、b分别从M、N两点同时沿着半径方向射入磁场，结果同时到达磁场边界上的P点。已知O点为圆心，MON为直径，，a粒子的电荷量是b粒子电荷量的2倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
（1）a、b两粒子的质量之比；
（2）a、b两粒子的加速度之比。
27．（2024上·山东滨州·高二统考期末）如图所示，在坐标系内存在垂直纸面向里边长为的OABC正方形匀强磁场，磁感应强度为B。一束质量为，电荷量为q带负电的粒子以不同的初速率从M点沿与y轴成30°的方向射入磁场，已知，粒子的重力不计。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）粒子从轴上间穿出磁场的速率范围。
28．（2024上·山东烟台·高三统考期末）如图所示，S为一离子源，MN为荧光屏。由S到MN做垂线，垂足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都为q，速率v均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。
（1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围；
（2）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差；
（3）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度；
（4）当离子的速率，P为荧光屏MN的中点，要便MN右侧能全部被离子打中，求MN的长度应满足怎样的条件？
29．（2024上·湖北武汉·高三校联考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的垂直纸面向内、磁感应强度为B0的匀强磁场。筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心半径为R的圆，如图甲所示。一带电量为+q，质量为m的粒子从P点沿PO以某一初速度射入圆筒，然后与筒壁发生多次弹性碰撞。碰撞过程中粒子电荷量不变，不计粒子重力。
（1）若粒子与筒壁经过2次碰撞从小孔P射出，求此时粒子的初速度v1；
（2）若保持第（1）问中速度不变，要使该粒子与筒壁经过3次碰撞从小孔P射出，则此时磁感应强度B1应调整为何值？粒子在磁场中的运动时间t1是多大？
（3）如图乙所示，粒子从P点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向与PO的夹角为，若磁感应强度B0保持不变，要使该粒子绕圆心O仅转动1周且与筒壁经过7次碰撞后从小孔P射出，且每次碰撞沿筒壁切线方向分速度不变、垂直筒壁方向分速度大小不变方向相反。求粒子速度的大小（最后结果用三角函数表示）。
一、以核心和主干知识为重点。构建知识结构体系，确定每一个专题的内容，在教学中突出知识的内在联系与综合。
二、注重情景与过程的理解与分析。善于构建物理模型，明确题目考查的目的，恰当运用所学知识解决问题：情景是考查物理知识的载体。
三、加强能力的提升与解题技巧的归纳总结。学生能力的提升要通过对知识的不同角度、不同层面的训练来实现。
四、精选训练题目，使训练具有实效性、针对性。
五、把握高考热点、重点和难点。
充分研究近5年全国和各省市考题的结构特点，把握命题的趋势和方向，确定本轮复习的热点与重点，使本轮复习更具有针对性、方向性。对重点题型要强化训练，举一反三、触类旁通，注重解题技巧的提炼，充分提高学生的应试能力。
专题12 磁偏转模型中的关键几何条件
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc1669" 一．磁偏转的基本规律 PAGEREF _Tc1669 \h 1
\l "_Tc26316" 二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形 PAGEREF _Tc26316 \h 1
\l "_Tc11390" 类型(一) 直线边界的磁场 PAGEREF _Tc11390 \h 1
\l "_Tc3651" 类型(二) 平行直线边界的磁场 PAGEREF _Tc3651 \h 2
\l "_Tc23827" 类型(三) 三角形边界的磁场 PAGEREF _Tc23827 \h 2
\l "_Tc11834" 类型(四) 矩形边界的磁场 PAGEREF _Tc11834 \h 2
\l "_Tc29745" 类型(五) 圆形边界的磁场 PAGEREF _Tc29745 \h 3
\l "_Tc24441" 类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景 PAGEREF _Tc24441 \h 3
一．磁偏转的基本规律
1．带电粒子垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力提供向心力：
(1)向心力公式：qvB＝eq \f(mv2,r)。
(2)半径公式：r＝eq \f(mv,qB)。
(3)周期公式：T＝eq \f(2πm,qB)。
2．对带电粒子在匀强磁场中运动的两点提醒：
(1)带电粒子在匀强磁场中运动时，若速率变化，引起轨道半径变化，但运动周期并不发生变化。
(2)微观粒子在发生碰撞或衰变时常满足系统动量守恒，但因m、q、v等的改变，往往造成轨道半径和运动周期的改变。
二．带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动的常见几何图形
类型(一) 直线边界的磁场
1．粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
类型(二) 平行直线边界的磁场
1．粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
2．粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d所示。
3．各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)。
(2)图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)。
(3)图c中粒子在磁场中运动的时间。
(4)图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)。
类型(三) 三角形边界的磁场
带电粒子在三角形边界的磁场中运动时常常涉及临界问题。如图所示，正△ABC区域内有匀强磁场，某正粒子垂直于AB方向从D点进入磁场时，粒子有如下两种可能的临界轨迹：
(1)粒子能从AB边射出的临界轨迹如图甲所示。
(2)粒子能从AC边射出的临界轨迹如图乙所示。
类型(四) 矩形边界的磁场
带电粒子在矩形边界的磁场中运动时，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题，如图所示。
类型(五) 圆形边界的磁场
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心)，如图甲所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ，如图乙所示。
类型六 带电粒子在匀强磁场中运动的多解图景
1 带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若带负电，其轨迹为b。
2 磁场方向不确定形成多解
有些题目只知磁感应强度的大小，而不知其方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如图所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3 临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，从而形成多解，如图所示。
4 运动的周期性形成多解
带电粒子在组合场或交变场中运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图所示。
【模型演练1】（2024·四川内江·四川省资中县球溪高级中学校考模拟预测）如图所示，在0≤x≤7d的区域内存在垂直xOy平面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从坐标原点O与x轴正方向成θ= 53°垂直磁场射入，从磁场右边界上点P（7d，d）离开。已知粒子的质量为m，带电量为q，重力不计，取sin53°= 0.8，cs53°=0.6.下列说法正确的是（ ）
A．该带电粒子带正电
B．粒子的发射速度大小为
C．粒子从P点射出时的速度方向与x 轴正方向的夹角为37°
D．若只改变粒子的入射方向，则粒子在磁场中运动的最长时间为
【模型演练2】．（2023上·四川资阳·高三统考期末）如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A．B．C．D．
【模型演练3】．（2023上·高三课时练习）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子的速度v＜
B．使粒子的速度v＞
C．使粒子的速度v＞
D．使粒子的速度v满足＜v＜
【模型演练4】（2024上·河南信阳·高三统考期末）如图所示，相距为、足够长的直线边界、之间有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为。磁场左边界上点处有一个粒子源，直线垂直于边界。某一时刻粒子源向磁场内沿纸面发射出大量质量为、电荷量为的粒子（此后不再发射粒子），所有粒子的速率相同，方向与左边界的夹角分布在范围内。已知沿方向发射的粒子甲刚好从磁场边界上点离开磁场。不计粒子的重力，到的距离为。求：
（1）匀强磁场的方向及粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（2）粒子甲出磁场时还在磁场中的粒子到点的最近和最远距离（可用根式表示）
（3）从粒子甲出磁场到全部粒子离开磁场所用的时间。
一、单选题
1．（2024上·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）如图所示，OACD是一长为的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电量为q的粒子从О点以速度垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则（ ）
A．粒子一定带正电
B．矩形磁场的宽度最小值为
C．粒子从О到A所需的时间为
D．匀强磁场的磁感应强度为
2．（2024上·湖北襄阳·高三校联考期末）如图，在半径为的半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，半径与半径的夹角为。现有一对质量和电荷量均相等的正、负粒子，从点沿方向射入磁场中，一个从A点离开磁场，另一个从点离开磁场。粒子的重力及粒子间的相互作用力均不计，则下列说法中正确的是（ ）
A．从A点射出磁场的是带正电的粒子
B．正、负粒子在磁场中运动的速度大小之比为
C．正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
D．正、负粒子在磁场中运动的周期之比为
3．（2024上·山西朔州·高三统考期末）如图所示，与轴的夹角为的直线将平面的第一象限分成两个区域Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，Ⅱ区域为真空。在时刻，一质量为、电荷量为的粒子，以速度从点沿轴正方向垂直磁场进入Ⅰ区域；在时刻，撤去磁场，最终粒子恰好沿两个区域的分界线运动且通过点.不计粒子的重力及空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．带电粒子在磁场中运动的半径为
B．在时刻，撤去磁场
C．带电粒子在第一象限运动的时间为
D．带电粒子通过点时的速度大小为
4．（2024上·海南海口·高三海南中学校考期末）如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电量为q的正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在，半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B．磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于。已知初速度沿y轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（ ）
A．粒子速度大小为
B．所有粒子均能垂直射在光屏上
C．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D．能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角满足
5．（2024上·湖南邵阳·高三统考期末）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，为半圆，ac，bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆半径的。一束质量为m、电荷量为的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）如图（a）是一种防止宇宙射线危害字航员的装置，在航天器内建立半径分别为R和的同心圆柱，圆柱之间加上沿轴向方向的磁场，其横截面如图（b）所示。宇宙射线中含有大量的质子，质子沿各个方向运动的速率均为，质子的电荷量为e、质量为m。下列说法中正确的是（ ）
A．若沿任何方向入射的质子都无法进入防护区，则磁感应强度大小至少为
B．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则磁感应强度大小为
C．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子从进入磁场到离开磁场的总时间为
D．若正对防护区圆心入射的质子恰好无法进入防护区，则该情况下质子在磁场中的轨迹对应的圆心角为60°
7．（2024·河南·统考一模）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的速度之比为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024上·四川攀枝花·高三统考期末）如图所示，水平直线边界的上方空间内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为的匀强磁场，长为、与平行的挡板到的距离为，边界上的点处有一电子源，可在纸面内向上方各方向均匀的发射电子。已知电子质量为、电荷量为，速度大小均为，N、S的连线与垂直，不计电子之间的作用力，则挡板的上表面没有被电子击中部分的长度为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024上·河北保定·高三河北省保定市清苑区清苑中学校考期末）如图所示，边长为的正方形区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为、带电量为的带负电的粒子从点以速度沿方向射入磁场，之后从边的中点射出磁场，不计粒子的重力，磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023上·河北邢台·高二校联考期中）如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为的带电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子可能从B点射出
B．若粒子垂直于BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
11．（2023上·辽宁大连·高二统考期末）地磁场能抵御宇宙射线的侵入，赤道剖面外地磁场可简化为包围地球一定厚度的匀强磁场，方向垂直该部面，如图所示，O为地球球心、R为地球半径，假设地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内（边界上有磁场），磷的应强度大小均为B，方向垂直纸面向外。宇宙射线中含有一种带电粒子，其质量为m、电荷量为q，忽略引力和带电粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．从A点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
B．从A点沿垂直地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
C．从A点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
D．从A点沿平行地面方向射入的该种粒子，速率为的粒子可达到地面
12．（2024上·云南曲靖·高二统考期末）如图所示，半径为R的圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，粒子源M位于磁场边界上，可平行于纸面沿各个方向向磁场区域内射入速率均为v的同种带正电的粒子，在磁场中运动时间最长的粒子速度方向偏转了。已知粒子的质量为m、电荷量为q，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。则匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·云南·统考二模）如图所示，纸面内有一圆心为O，半径为R的圆形磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里。由距离O点处的P点沿着与连线成的方向发射速率大小不等的电子。已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力且不考虑电子间的相互作用。为使电子不离开圆形磁场区域，则电子的最大速率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2023上·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期末）边长为a的正三角形区域存在匀强磁场，磁场方向垂直三角形平面，磁感应强度大小为B，在三角形中心有一个粒子源，在三角形平面内时刻向各个方向均匀一次性发射速率大小相等的同种粒子，粒子的电量为，质量为m，与边AB平行向左射出的粒子，经过t时间刚好垂直于AB边射出磁场边界，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中的运动周期为2t
B．粒子在磁场中运动的最短时间为
C．t时刻仍在磁场中运动的粒子数与发射出粒子的总数之比为
D．时间内在磁场中有粒子达到区域的面积为
15．（2024·陕西西安·校考一模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°=0.6，cs37°=0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子速度的最大值为
B．粒子速度的最大值为
C．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
D．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
16．（2024上·山西大同·高三统考期末）圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，O为其圆心，、和为其三条直径，其中和的夹角，两个比荷大小相等，带有异种电荷的粒子和先后在a点沿的连线方向以不同的初速度射入磁场，分别从c点和d点离开磁场，两粒子在磁场中的运动半径分别为和，运动时间分别为和，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024上·安徽芜湖·高二统考期末）如图所示，等腰直角三角形区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为，在的中点处有一粒子源，沿与平行的方向发射速率不同，质量为，电荷量为的带负电粒子，已知这些粒子都能从边离开区域，，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（ ）
A．速度的最大值为B．速度的最大值为
C．在磁场中运动的最长时间为D．在磁场中运动的最长时间为
18．（2024上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）如图所示，在荧光板MN的上方分布了水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板距离为d处有一粒子源S。能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总个数为N，则（ ）
A．从粒子源出发到板的最短时间为
B．同一时刻发射的粒子打到荧光板上的最大时间差为
C．粒子能打到板上的区域长度为2d
D．打到板上的粒子数为
19．（2024上·山西阳泉·高三统考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，磁感应强度为B，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，圆的半径为R。如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿PO方向射入，与筒壁发生碰撞后反弹。假设粒子每次碰撞前、后动能不变，碰撞时间极短，电荷量不变，重力不计。下列说法正确的是（ ）
A．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
B．粒子能从小孔射出的最短时间为
C．调节射入小孔时粒子速度大小，粒子运动轨迹可能通过圆心
D．从小孔射出的粒子的速度大小可能超过
20．（2024·安徽·统考一模）如图所示，圆形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为q的带电粒子由A点沿平行于直径的方向射入磁场，经过圆心O，最后离开磁场。已知圆形区域半径为R，A点到的距离为，不计粒子重力。则（ ）
A．粒子带负电B．粒子运动速率为
C．粒子在磁场中运动的时间为D．粒子在磁场中运动的路程为
21．（2024·云南昆明·统考一模）如图所示，边长为L的等边三角形区域外存在垂直于所在平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，P、Q两点分别为边的三等分点。时刻，带负电的粒子在平面内以初速度从a点垂直于边射出，从P点第一次进入三角形区域。不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子的比荷为B．粒子可以运动到Q点
C．粒子第一次到达c点的时间为D．粒子第一次回到a点的时间为
22．（2023上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图所示，在的区域内存在与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。一束速率等于的相同带电粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率的分布在范围内。其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的点（图中末标出）离开磁场，其偏向角为。不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．带电粒子的比荷为
C．带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D．能从右边界射出的粒子占总粒子数的
三、解答题
23．（2024上·河南信阳·高二统考期末）如图所示，在第一象限内存在着垂直纸面向里的匀强磁场。一个质量为、电荷量为的带电粒子从轴上的点垂直磁场射入，射入时速度方向与轴的夹角为，并恰好垂直于轴射出第一象限。已知磁场磁感应强度大小为，点的坐标为，不计重力。求：
（1）射出点的坐标；
（2）粒子在磁场中运动的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据题意，带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设圆周运动半径为
由几何关系可得
解得
则射出点的坐标为
（2）粒子在磁场中运动的周期为
粒子在磁场中运动的时间为
解得
24．（2024上·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，有一个磁感应强度、方向垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场，在磁场中的O点有一个粒子源，能向纸面内各个方向连续不断地均匀发射速率、比荷的带正电粒子，是竖直放置且厚度不计的挡板，足够长，挡板的P端与O点的连线跟挡板垂直，带电粒子受到的重力以及粒子间的相互作用力忽略不计，
（1）为了使带电子不打在挡板上，粒子源到挡板的距离d应满足什么条件？
（2）若粒子源到挡板的距离，且已知沿某一方向射出的粒子恰好紧挨P点通过，再过一段时间后最终又打在挡板上，求这个粒子从O点射出时的速度与连线的夹角；
（3）若粒子源到挡板的距离，求粒子打到挡板左、右表面上的长度的比值。
25．（2024上·湖南常德·高三统考期末）如图所示，一质量为m、带电荷量为-q的粒子，以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，粒子飞出磁场区域后，从b点处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为，并进入场强为E、方向沿x轴正方向的匀强电场中，之后通过了b点正下方的c点（图中未画出），不计粒子重力。求：
（1）b点与O点的距离；
（2）圆形匀强磁场区域的最小半径；
（3）b点到c点的距离。
26．（2024·全国·模拟预测）在如图所示的圆形区域内存在着垂直于纸面的匀强磁场。带电粒子a、b分别从M、N两点同时沿着半径方向射入磁场，结果同时到达磁场边界上的P点。已知O点为圆心，MON为直径，，a粒子的电荷量是b粒子电荷量的2倍，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。求：
（1）a、b两粒子的质量之比；
（2）a、b两粒子的加速度之比。
27．（2024上·山东滨州·高二统考期末）如图所示，在坐标系内存在垂直纸面向里边长为的OABC正方形匀强磁场，磁感应强度为B。一束质量为，电荷量为q带负电的粒子以不同的初速率从M点沿与y轴成30°的方向射入磁场，已知，粒子的重力不计。求：
（1）带电粒子在磁场中运动的最长时间；
（2）粒子从轴上间穿出磁场的速率范围。
28．（2024上·山东烟台·高三统考期末）如图所示，S为一离子源，MN为荧光屏。由S到MN做垂线，垂足为P，SP=L，整个装置处在范围足够大的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。某时刻离子源S一次性沿平行纸面的各个方向均匀地射出大量的正离子，各离子的质量都为m，电荷量都为q，速率v均相同，不计离子的重力及离子间的相互作用力。
（1）若所有离子都打不到荧光屏上，求射出离子速率的取值范围；
（2）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求同一时刻发射出的离子达到荧光屏上的最大时间差；
（3）若荧光屏足够大，当离子的速率时，求荧光屏上被离子打中的区域长度；
（4）当离子的速率，P为荧光屏MN的中点，要便MN右侧能全部被离子打中，求MN的长度应满足怎样的条件？
29．（2024上·湖北武汉·高三校联考期末）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的垂直纸面向内、磁感应强度为B0的匀强磁场。筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心半径为R的圆，如图甲所示。一带电量为+q，质量为m的粒子从P点沿PO以某一初速度射入圆筒，然后与筒壁发生多次弹性碰撞。碰撞过程中粒子电荷量不变，不计粒子重力。
（1）若粒子与筒壁经过2次碰撞从小孔P射出，求此时粒子的初速度v1；
（2）若保持第（1）问中速度不变，要使该粒子与筒壁经过3次碰撞从小孔P射出，则此时磁感应强度B1应调整为何值？粒子在磁场中的运动时间t1是多大？
（3）如图乙所示，粒子从P点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向与PO的夹角为，若磁感应强度B0保持不变，要使该粒子绕圆心O仅转动1周且与筒壁经过7次碰撞后从小孔P射出，且每次碰撞沿筒壁切线方向分速度不变、垂直筒壁方向分速度大小不变方向相反。求粒子速度的大小（最后结果用三角函数表示）。
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