专题19 三角形内接矩形相似模型-中考数学几何模型(重点专练)
展开【模型】如图,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,EF在BC边上,D、G分别在AB、AC边上,则△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM,.
【例1】如图,在中,AD是BC边上的高,在的内部,作一个正方形PQRS,若,,则正方形PQRS的边长为( )
A.B.C.1D.
【例2】如图,已知三角形铁皮的边,边上的高,要剪出一个正方形铁片,使、在上,、分别在、上,则正方形的边长________.
【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8.点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动.过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D,以PD为边在PD右侧做正方形PDEF.设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒(0<t<4).
(1)当点D在边AC上时,正方形PDEF的边长为 (用含t的代数式表示).
(2)当点E落在边BC上时,求t的值.
(3)当点D在边AC上时,求S与t之间的函数关系式.
(4)作射线PE交边BC于点G,连结DF.当DF=4EG时,直接写出t的值.
一、单选题
1.如图,矩形内接于,且边落在上,若,那么的长为( )
A.B.C.D.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为( )
A.12B.7C.6D.5
3.如图,将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片.根据图中标示的长度,则矩形纸片的面积为( )
A.12B.18C.24D.30
4.如图,在△ABC中,AB边上取一点P,画正方形PQMN,使Q,M在边BC上,N在边AC上,连接BN,在BN上截取NE=NM,连接EQ,EM,当时,则∠QEM度数为( )
A.60°B.70°C.75°D.90°
5.如图,在中,,,,若内接正方形的边长是x,则h、c、x的数量关系为( )
A.B.C.D.
6.我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下:“方种芝麻斜种黍,勾股之田十亩无零数.九十股差方为界,勾差十步分明许.借问贤家如何取,多少黍田多少芝麻亩.算的二田无误处,智能才华算中举.”大意是:正方形田种芝麻,斜形(三角形)种黍,有一块直角三角形是10亩整.股差步,勾差步.请问黍田、芝麻各多少亩?(1亩平方步)答:( )
A.艺麻田3.75亩,黍田6.25亩B.芝麻田3.25亩,黍田6.75亩
C.芝麻田3.70亩,黍田6.30亩D.芝麻田3.30亩,黍田6.70亩
二、填空题
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.在其内并排放入(不重叠)n个相同的小正方形纸片,使这些纸片的一边都在AB上,首尾两个正方形各有一个顶点D,E分别在AC,BC上,则小正方形的边长为 _____(用含n的代数式表示).
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,在三角形内挖掉正方形CDEF,则正方形CDEF的边长为________.
9.如图的△ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC于M、N两点.若∠B=90°,AB=4,BC=3,EF=1,则BN的长度为_____.
10.如图,矩形内接于,且边落在上.若,,,,那么的长为__.
11.如图,在中,点F、G在上,点E、H分别在、上,四边形是矩形,是的高.,那么的长为____________.
12.在中,,点在线段上,过点作于点,于点,使得四边形为正方形,此时,,则阴影部分面积为_________.
三、解答题
13.如图,己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm,分别采用(1)、(2)两种剪法,剪出一块正方形铁片,为使所得的正方形面积最大,问哪一种剪法好?为什么?
14.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,∠DEB=∠FCE,EF∥AB.
(1)求证:△BDE∽△EFC;
(2)设,△EFC的面积是20,求△ABC的面积.
15.如图,在中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,,.
(1)求证:.
(2)若,,求线段BE的长.
16.一块三角形的余料,底边BC长1.8米,高AD=1米,如图.要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形,使长方形的长在BC上,另两个顶点在AB、AC上,求长方形的长EH和宽EF的长.
17.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例:已知x可取任何实数,试求二次三项式的最值.
解:
∵无论x取何实数,总有.
∴,即无论x取何实数,有最小值,是.
(1)问题:已知,试求y的最值.
(2)【知识迁移】在中,是边上的高,矩形的顶点P、N分别在边上,顶点Q、M在边上,
探究一:,求出矩形的最大面积的值;(提示:由矩形我们很容易证明,可以设,经过推导,用含有x的代数式表示出该矩形的面积,从而求得答案.)
(3)探究二:,则矩形面积S的最大值___________.(用含a,h的代数式表示)
18.如图,为一块铁板余料,,,,要把它加工成正方形小铁板,有如图所示的两种加工方案,请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.
19.在△ABC中,BC=2,BC边上的高AD=1,P是BC上任一点,PEAB交AC于E,PFAC交AB于F.
(1)设BP=x,将S△PEF用x表示;
(2)当P在BC边上什么位置时,S值最大.
20.课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=12m,高线AD=8m.要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上.问加工成的正方形零件的边长为多少米?小颖解得此题的答案为4.8m.
(1)你知道小颖是怎么做的吗?请你写出解答过程?
(2)善于反思,她又提出了如下的问题,如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
(3)如图3,小颖想如果这块余料形状改为Rt△ABC的斜板,已知∠A=90°,AB=8m,AC=6m,要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件,使MQ在BC上,P、N两点分别在AB,AC上,且PN=8m,则平行四边形PQMN的面积为 m2.
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