专题02 角平分线模型-中考数学几何模型（重点专练）

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模型分析
【理论基础】角平分线的概念：如图，已知OC是的角平分线
【模型变式1】双中点求和型
如图已知OC是内任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线
【证明】
射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线
【模型总结】某个角内的一条射线，把这个角分成两个角，这两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
【模型变式2】双中点求差型
如图已知OB是外任意一条射线，射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线
【证明】
射线OE是的角平分线，射线OF是的角平分线
【模型总结】某个角外的一条射线，以该射线为邻边的两个角的平分线形成的角等于原来角的一半。
典例分析
【例1】如图，已知和互余，、分别平分和，，则_______________°．
【答案】
【分析】根据余角的定义以及角平分线的定义解答即可．
【解析】解：∵、分别平分和，，
∴，，
∴，
∴①，
又∵和互余，
∴②，
①＋②，得：，
解得：．
故答案为：．
【例2】如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD
【答案】C
【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．
【解析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，
∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．
故选C．
【例3】如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
(2)如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，
①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；
②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系
【答案】(1)45°
(2)∠MON=α
(3)① ∠MON=α；②α=β或=β
【分析】（1）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
（3）①求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC-∠NOC求出即可；
②分OM、ON在OB的异侧和同侧两种情况求解．
【解析】(1)∵∠AOB是直角，∴∠AOB=90 °，∠BOC=60° ，
∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=90° +60°=150° ．
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=75°，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°
(2)∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠COA=α+60°，
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=(α+60°)，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=30°，
∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+60°)-30°=α．
(3)①∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠COA=∠AOB+ ∠BOC=α+β．
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM=∠COA=(α+β)，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON=∠BOC=β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=(α+β)- β=α．
②当OM、ON在OB的异侧时，如图3-1，
∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，
∴∠BOM=(α+β)- β=(α-β)，
∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON =β，
∴β=3×(α-β)，
∴α=β；
当OM、ON在OB的同侧时，如图3-2，
∵∠COM=(α+β)，∠BOC＝β，
∴∠BOM= β-(α+β) =(β-α)，
∵∠CON＝3∠BOM时，∠CON =β，
∴β=3×(β-α)，
∴α=β．
综上可知，α=β或=β．
模型演练
一、单选题
1．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H．GM平分∠BGH，且∠GHM=48°，那么∠GMD的度数为（ ）
A．96°B．104°C．114°D．124°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BGH，再根据角平分线的定义可得∠BGM=∠BGH，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠BGH=180°-∠GHM=180°-48°=132°，
∵GM平分∠BGH，
∴∠BGM=∠BGH =×132°=66°，
∵AB∥CD，
∴∠GMD=180°-∠BGM =180°-66°=114°．
故选：C．
2．如图，∠AOC与∠BOC互为余角，OD平分∠BOC，∠EOC＝2∠AOE．若∠COD＝18°，则∠AOE的大小是（ ）
A．12°B．15°C．18°D．24°
【答案】C
【分析】利用角平分线求出∠BOC＝36°，利用∠AOC与∠BOC互为余角，求出∠AOC＝90-36°=54°，再根据∠EOC＝2∠AOE，即可求出∠AOE=18°．
【解析】解：∵∠COD＝18°，OD平分∠BOC，
∴∠BOC＝36°，
∵∠AOC与∠BOC互为余角，
∴∠AOC＝90°-36°=54°
∵∠EOC＝2∠AOE，
∴3∠AOE=54°，
∴∠AOE=18°．
故选：C
3．如图，直线AB，CD，EO相交于点O，已知OA平分∠EOC，若∠EOC:∠EOD＝2:3，则∠BOD的度数为（ ）
A．40°B．37°C．36°D．35°
【答案】C
【分析】根据与得到，根据 平分得到 ，最后根据对顶角相等即可求出．
【解析】解：，，
，
，
平分，
，
．
故选：C．
4．如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2＝80°，则∠3的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数．
【解析】解：，，
，
，
又平分，
．
故选：D．
5．（2022·山东东营·二模）如图，，点O在上，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，∠D＝110°，求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，利用OE平分∠BOD，得到∠DOE＝55°，由∠FOE＝90°求出∠DOF＝90°﹣55°＝35°，即可求出∠AOF的度数．
【解析】解：∵，
∴∠AOD+∠D＝180°，∠DOB=∠D，
∵∠D＝110°，
∴∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝55°，
∵OF⊥OE，
∴∠FOE＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，
∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝70°﹣35°＝35°，故D正确．
故选：D．
二、填空题
6．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，OF平分．若，则的度数为______°．
【答案】33
【分析】先根据对顶角相等求出，再由角平分线定义得，由邻补角得，再根据角平分线定义得，从而可得结论．
【解析】解：∵是对顶角，
∴
∵OE平分，
∴
∴，
∵OF平分．
∴
又，
∴，
故答案为：33
7．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．若∠BOF=30°，则∠DOE=_______°．
【答案】40
【分析】利用角平分线定义列式计算即可求出所求．
【解析】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
设∠BOE=∠DOE=x，则有∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=（180°-x）=90°-x，
由题意得：∠EOF-∠BOE=∠BOF=30°，即90°-x-x=30°，
解得：x=40°，
则∠DOE=40°．
故答案为：40．
8．如图，直线、交于点，，是的平分线，是的平分线，，则_____________．
【答案】
【分析】根据邻补角求得，，根据，求得，进而求得，根据对顶角求得，根据角平分线的定义求得，，根据即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
又，
故答案为：．
9．如图，已知射线在内部，平分，平分，平分，现给出以下4个结论：①；②；③；④其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）______．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；
②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；
③无法证明；
④根据，得出，，即可得出结论．
【解析】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，
，
，
，
即，
∴，故①正确；
②∵
，
∴，故②正确；
③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，
∴，
∵，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
10．如图，∠COD在∠AOB的内部，且，若将∠COD绕点O顺时针旋转，使∠COD在∠AOB的外部，在运动过程中，OE平分∠BOC，则∠DOE与∠AOC之间满足的数量关系是 _____．
【答案】或
【分析】分情况讨论：当旋转的角度不超过时，当旋转的角度超过，不超过时，画出旋转后的图，利用角之间的关系计算即可．
【解析】解：当旋转的角度不超过时，如图：
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
当旋转的角度超过，不超过时，如图，
∴，
，
∵， OE平分∠BOC，
∴，，
∴．
三、解答题
11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．
【答案】120°，30°
【分析】先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数．
【解析】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°
∴∠BOE=∠AOB =45°
又∵∠EOF=60°
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°
又∵OF平分∠BOC
∴∠BOC=2∠BOF=30°
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
12．如图，为直线上的一点，，平分，．
(1)求的度数；
(2)是的平分线吗？为什么？
【答案】(1)
(2)是的平分线，理由见解析
【分析】（1）由角平分线的性质可知∠1的度数，再利用互补即可算出∠BOD的度数；
（2）想要判断OE是否为∠BOC的平分线，只需分别计算出∠3和∠4的度数，看它们是否相等．
【解析】（1）解：，平分，，，；
（2）解：是的平分线． 理由如下：，，，，，，，是的平分线．
13．已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引两条射线OC，OD，且OC平分．
（Ⅰ）请在图①中的内部画一条射线OE，使得OE平分，并求此时的度数；
（Ⅱ）如图②，若在内部画的射线OE，恰好使得，且，求此时的度数．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的度数为．
【分析】由角平分线的定义得出，，．
（2）设，则，，根据平角的定义列等式求出结果即可．
【解析】（Ⅰ）如图，
∵OC平分，OE平分，
∴，，
∴．
（Ⅱ）如下图，设，
根据题意得．
∵，
∴．
∵OC平分，
∴，
∵，
∴．
解得：．∴．
∴的度数为．
14．已知：如图所示（1），和共顶点，重合，为的平分线，为的平分线，， .

（1）如图所示（2），若，，则_______.
（2）如图所示（3），若绕点逆时针旋转，且，求.
（3）如图所示（4），若，绕点逆时针旋转，平分，以下两个结论：①为定值；②为定值；请选择正确的结论，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）①.
【分析】（1）利用角平分线的性质即可得出∠MON＝∠AOD＋∠BOC，进而求出即可；
（2）∠BOD＝γ，而，，进而得出即可；
（3）利用已知表示出∠COE和∠AOD，进而得出答案．
【解析】解：（1）（1）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，α＝90゜，β＝30゜，
∴∠MON＝α＋β＝60°；
故答案为60°；
（2），，；
（3）①,
设，则，，
∴.