通关秘籍03 解三角形（两大易错点+九大题型）-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

秘籍03 解三角形
目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：正弦定理的边角互化
易错点二：判断三角形个数
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】最值与范围：角与对边
【题型二】最值与范围：角与邻边
【题型三】范围与最值：有角无边型
【题型四】 三大线：角平分线应用
【题型五】 三大线：中线应用
【题型六】 三大线：高的应用
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
【题型八】 图形：“补角”三角形
【题型九】 图形：四边形与多边形
作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。
易错点一：正弦定理的边角互化
正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．
易错提醒：
1. 在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。
2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
例（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
变式1：（2024·四川凉山·二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ．
易错点二：判断三角形个数
1.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
例 （2022·江苏南通·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1：（2022高三·全国·专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型一】最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．

【例1】（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（ ）
A．B．C．2D．3
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，，求的面积．

【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为的面积．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
【变式2】（2024·云南贵州·二模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求角的值；
(2)若的面积为，求.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．
(1)求角；
(2)设是的高，求的最大值．
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
【例1】（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积．
【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求；
(2)若，求的面积.
【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角C的大小；
(2)若，，求的面积．
【变式3】（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．
(1)求角的大小；
(2)如图，为外一点，，，求的最大值．
【题型三】 范围与最值：有角无边型
【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围．
【例2】（2024·吉林延边·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若点D在AC上，且，求．
【变式1】（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．
【变式2】（2023·陕西·模拟预测）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求.
【变式3】（2012·广西南宁·一模）已知在中，角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)设向量，求当取最大值时，的值．
【题型四】 三大线：角平分线应用
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
【例1】（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;
(2)若，求BP的长.
【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足.
(1)求的大小；
(2)的角平分线交边于点，当时，求.
【例3】（2024·四川·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的角平分线交于，求的长.
【变式1】（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角C；
(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．
【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．
(1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度．
【变式3】（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【题型五】 三大线：中线应用
中线的处理方法
1.向量法：
双余弦定理法（补角法）：
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的两三角形面积相等
【例1】（2023·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，
(1)求；
(2)求边上中线长的取值范围．
【例2】（2023·河北沧州·三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.

(1)求的余弦值；
(2)求的值.
【例3】（2023·吉林长春·一模）在中，为边上中线，，，．
(1)求的面积；
(2)若，求．
【变式1】（2023·新疆阿勒泰·三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是 ．
【变式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在中，角的对边分别为，
(1)求；
(2)设边的中线，且，求的面积．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【题型六】 三大线：高的应用
高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
【例1】（2024·四川·模拟预测）在中，，，且，则边上的高 .
【例2】（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．
(1)求角A；
(2)若，，求AD．
【例3】（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长.
【变式1】（2021·湖南株洲·三模）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．
【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边上的高.
【变式3】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为，，，且．
(1)求角A；
(2)若，D为线段BC延长线上一点，且，，求的BC边上的高．
【题型七】 图形：内切圆与外接圆
外接圆：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
内切圆：等面积构造法求半径
【例1】（2024·吉林·二模）已知 的三个内角的对边分别为的外接圆半径为 ，且 .
(1)求;
(2)求的内切圆半径 的取值范围
【例2】（2023·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【例3】（2023·江苏镇江·三模）在凸四边形中，.
(1)若.求的长；
(2)若四边形有外接圆，求的最大值.
【变式1】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 ．
【变式2】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
(1)求和；
(2)若，求四边形的面积．
【变式3】（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为平分，且．
(1)求；
(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．
【题型八】 图形：“补角”三角形
【例1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；
(2)若，证明：.
【例2】（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.
(1)求；
(2)若，求.
【变式1】（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知
(1)求b；
(2)D为边上一点， ，求的长度和 的大小.
【变式2】（2023·全国·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．
(1)求C；
(2)点D在边AB上，且，，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【题型九】 图形：四边形与多边形
【例1】（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；
(2)证明：．
【例2】（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，有：.
(1)求的大小；
(2)若，求平行四边形的面积.
【变式1】（2022·全国·模拟预测）如图，四边形为梯形，，，，．
(1)求的值；
(2)求的长．
【变式2】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆的半径为2，直线与圆相切于点，圆上的点从点处逆时针转动到最高点处，记.
(1)当时，求的面积；
(2)试确定的值，使得的面积等于的面积的2倍.
【变式3】（2024·四川凉山·二模）如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题、解答题☆☆☆☆☆
考向预测
正余弦定理求边，求角。
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解