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2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章 函数概念与基本初等函数 第9讲 函数模型及其应用学案
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这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第二章 函数概念与基本初等函数 第9讲 函数模型及其应用学案，共17页。
[学生用书P35]
一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
2.三种函数模型性质比较
常用结论
1．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)，
当x<0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a).
2．解决函数应用问题应注意的3个易误点
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
二、习题改编
1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．
2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为eq \f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
解析：设隔墙的长度为x(0答案：3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使ax0(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．( )
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；
(2)建立函数模型出错；
(3)分段函数模型的分并把握不准．
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B.由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5x，0100.))
答案：y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5x，0100))
[学生用书P36]
应用所给函数模型解决实际问题(师生共研)
(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
【解析】 (1)设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.
(2)因为m＝6.5，所以[m]＝6，
则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
【答案】 (1)D (2)4.24
eq \a\vs4\al()
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C，0＜x≤A，,C＋B（x－A），x＞A.))已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)（x－5），x＞5，))所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)(20－5)＝11.5.
2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝eq \f(1,2)a，故e－8b＝eq \f(1,2).
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq \f(1,8)a，e－bt＝eq \f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
构建函数模型解决实际问题(多维探究)
角度一 构造一次函数、二次函数模型
(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.
(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．
【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．
所以当x＝95时，y最大．
【答案】 (1)19 (2)95
角度二 构建指数函数、对数函数模型
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)，又eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.
【答案】 C
角度三 构建函数y＝ax＋eq \f(b,x)(a＞0，b＞0)模型
某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
【解】 设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
从而有y＝eq \f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq \f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq \f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
角度四 构建分段函数模型
某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解】 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，
有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
所以y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x－115（3≤x≤6，x∈Z），,－3x2＋68x－115（6＜x≤20，x∈Z）.))
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
eq \a\vs4\al()
构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，
则2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(n)≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，
所以nlg eq \f(2,3)≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案：8
2．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是______．
解析：由题意，总利润
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2－100x－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400.))
当0≤x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
答案：300
[学生用书P38]
函数建模在实际问题中的应用
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))所以y＝eq \f(\r(2),4)·(eq \r(2))x＝2eq \s\up6(\f(x－3,2)).
当x＝9时，y＝2eq \s\up6(\f(9－3,2))＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝lga（3＋b），,2＝lga（5＋b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))所以y＝lg2(x－1)．
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令lg2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润eq \f(6,65)＜10%，所以该企业要考虑转型．
eq \a\vs4\al()
解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．
eq \(――→,\s\up7(读题),\s\d5(（文字语言）)) eq \(――→,\s\up7(建模),\s\d5(（数学语言）)) eq \(――→,\s\up7(求解),\s\d5(（数学应用）)) eq \f(反馈,（检验作答）)
某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；
②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，
可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＜0，得1＜x＜3.
所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．
[学生用书P340(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
解析：选C.因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600÷100)＝10(升)．故选C.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与eq \f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：选B.由题知eq \f(P,Q)＝eq \f(24 423－1,24 253－1)≈2170.令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与eq \f(P,Q)最接近的数为1051.故选B.
4．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
A．5 h B．6 h
C．7 h D．8 h
解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时．故选B.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，
因此有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.7＝a×32＋b×3＋c，,0.8＝a×42＋b×4＋c，,0.5＝a×52＋b×5＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))故p＝－0.2t2＋1.5t－2，其对称轴方程为t＝eq \f(－1.5,2×（－0.2）)＝eq \f(15,4)＝3.75.
所以当t＝3.75时，p取得最大值．
6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1,alg464＋b＝4))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2lg4x－2，当y＝8时，即2lg4x－2＝8.
解得x＝1 024(万元)．
答案：1 024
7．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是______．
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，
需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4，8]．
答案：[4，8]
8．(2020·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
9．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，
由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－6,10－12)))＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))＝0.
所以eq \f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，
则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，
声强级Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)
＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)·eq \f(M1,R3).设α＝eq \f(r,R)，由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，则r的近似值为( )
A.eq \r(\f(M2,M1))R B．eq \r(\f(M2,2M1))R
C.eq \r(3,\f(3M2,M1))R D．eq \r(3,\f(M2,3M1))R
解析：选D.由eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)，得eq \f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))\s\up12(2))＋eq \f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))\s\up12(2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))M1.因为α＝eq \f(r,R)，所以eq \f(M1,（1＋α）2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq \f(M2,M1).由eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，得3α3≈eq \f(M2,M1)，即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))eq \s\up12(3)≈eq \f(M2,M1)，所以r ≈ eq \r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D.
2.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b(a，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
解析：选C.由题意知，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段；当t≥5时，函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(5－a,10))＋b，,60＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(15－a,10))＋b，))解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－5,10))＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.
3．新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额．
某企业员工今年10月份的月工资为15 000元，则应缴纳的个人所得税为______元．
解析：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为
(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．
答案：790
4．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋eq \f(3x,x＋2)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为______万元．
解析：由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为eq \f(30y＋4,y)×150%＋eq \f(x,y)×50%，故年销售收入为z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(30y＋4,y)×150%＋\f(x,y)×50%))·y＝45y＋6＋eq \f(1,2)x.所以年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq \f(x,2)＝17＋eq \f(45x,x＋2)－eq \f(x,2)(万元)．所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋eq \f(45,1＋2)－eq \f(1,2)＝31.5(万元)．
答案：31.5
5．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400－6x，040.))
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当040时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360.
所以W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，040.))
(2)①当0所以Wmax＝W(32)＝6 104；
②当x>40时，W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360，
由于eq \f(40 000,x)＋16x≥2eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝1 600，
当且仅当eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以此时W的最大值为5 760.
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值为6 104万美元．
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq \r(2a)，Q＝eq \f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，
则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4eq \r(2×50)＋eq \f(1,4)×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4eq \r(2x)＋eq \f(1,4)(200－x)＋120＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250，依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥20，,200－x≥20))⇒20≤x≤180，
故f(x)＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250(20≤x≤180)．
令t＝eq \r(x)，则t∈[2eq \r(5)，6eq \r(5)]，y＝－eq \f(1,4)t2＋4eq \r(2)t＋250＝－eq \f(1,4)(t－8eq \r(2))2＋282，当t＝8eq \r(2)，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600
驾驶行为类型
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20，<80
醉酒后驾车
≥80
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3 000元的部分
3%
2
超过3 000元至12 000元的部分
10%
3
超过12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
…
[学生用书P35]
一、知识梳理
1．几种常见的函数模型
2.三种函数模型性质比较
常用结论
1．“对勾”函数
形如f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
(1)该函数在(－∞，－eq \r(a))和(eq \r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq \r(a)，0)和(0，eq \r(a) ]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝eq \r(a)时取最小值2eq \r(a)，
当x<0时，x＝－eq \r(a)时取最大值－2eq \r(a).
2．解决函数应用问题应注意的3个易误点
(1)解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”)，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错．
(2)解应用题建模后一定要注意定义域．
(3)解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
二、习题改编
1．(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
解析：选D.根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意．
2．(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为eq \f(1,6)×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．
3．(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______．
解析：设隔墙的长度为x(0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)幂函数增长比直线增长更快．( )
(2)不存在x0，使ax0
(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ｋ))(1)对三种函数增长速度的理解不深致错；
(2)建立函数模型出错；
(3)分段函数模型的分并把握不准．
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( )
A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：选B.由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件．
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：18
3．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5x，0
答案：y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.5x，0
[学生用书P36]
应用所给函数模型解决实际问题(师生共研)
(1)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
(2)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
【解析】 (1)设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.
(2)因为m＝6.5，所以[m]＝6，
则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
【答案】 (1)D (2)4.24
eq \a\vs4\al()
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C，0＜x≤A，,C＋B（x－A），x＞A.))已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表：
若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为( )
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
解析：选A.根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)（x－5），x＞5，))所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)(20－5)＝11.5.
2．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝eq \f(1,2)a，故e－8b＝eq \f(1,2).
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝eq \f(1,8)a，e－bt＝eq \f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
答案：16
构建函数模型解决实际问题(多维探究)
角度一 构造一次函数、二次函数模型
(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.
(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个．为了赚得最大利润，每个售价应定为______元．
【解析】 (1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
(2)设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．
所以当x＝95时，y最大．
【答案】 (1)19 (2)95
角度二 构建指数函数、对数函数模型
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【解析】 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)，又eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2020年投入的研发资金开始超过200万元，故选C.
【答案】 C
角度三 构建函数y＝ax＋eq \f(b,x)(a＞0，b＞0)模型
某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
【解】 设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
从而有y＝eq \f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq \f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq \f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
角度四 构建分段函数模型
某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【解】 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，
有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
所以y＝f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(50x－115（3≤x≤6，x∈Z），,－3x2＋68x－115（6＜x≤20，x∈Z）.))
(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185；
对于y＝－3x2＋68x－115
＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，
当x＝11时，ymax＝270.
因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
eq \a\vs4\al()
构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤______次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解析：设至少过滤n次才能达到市场需求，
则2%eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))eq \s\up12(n)≤0.1%，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)≤eq \f(1,20)，
所以nlg eq \f(2,3)≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案：8
2．大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80 000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是______．
解析：由题意，总利润
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x－\f(1,2)x2－100x－20 000，0≤x≤400，,60 000－100x，x>400.))
当0≤x≤400时，y＝－eq \f(1,2)(x－300)2＋25 000，
所以当x＝300时，ymax＝25 000；
当x>400时，y＝60 000－100x<20 000，
综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．
答案：300
[学生用书P38]
函数建模在实际问题中的应用
某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解】 (1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝3k＋b，,2＝5k＋b，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以y＝eq \f(1,2)x－eq \f(1,2).
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝ab3，,2＝ab5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(\r(2),4)，,b＝\r(2)，))所以y＝eq \f(\r(2),4)·(eq \r(2))x＝2eq \s\up6(\f(x－3,2)).
当x＝9时，y＝2eq \s\up6(\f(9－3,2))＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝lga（3＋b），,2＝lga（5＋b），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－1，))所以y＝lg2(x－1)．
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令lg2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润eq \f(6,65)＜10%，所以该企业要考虑转型．
eq \a\vs4\al()
解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．
eq \(――→,\s\up7(读题),\s\d5(（文字语言）)) eq \(――→,\s\up7(建模),\s\d5(（数学语言）)) eq \(――→,\s\up7(求解),\s\d5(（数学应用）)) eq \f(反馈,（检验作答）)
某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；
②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．
解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，
由f(0)＝4，f(2)＝6，
可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，
所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，
所以f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＜0，得1＜x＜3.
所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．
[学生用书P340(单独成册)]
[基础题组练]
1．(2020·湖北荆、襄、宜联考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．
(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升
C．10升 D．12升
解析：选C.因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为eq \f(60,600÷100)＝10(升)．故选C.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与eq \f(P,Q)最接近的数为(参考数据：lg 2≈0.3)( )
A．1045 B．1051
C．1056 D．1059
解析：选B.由题知eq \f(P,Q)＝eq \f(24 423－1,24 253－1)≈2170.令2170＝k，则lg 2170＝lg k，所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与eq \f(P,Q)最接近的数为1051.故选B.
4．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(40sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x))＋13，0≤x<2，,90e－0.5x＋14，x≥2，))则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)( )
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
A．5 h B．6 h
C．7 h D．8 h
解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时．故选B.
5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析：选B.由题中图象可知点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)在函数图象上，
因此有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.7＝a×32＋b×3＋c，,0.8＝a×42＋b×4＋c，,0.5＝a×52＋b×5＋c，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))故p＝－0.2t2＋1.5t－2，其对称轴方程为t＝eq \f(－1.5,2×（－0.2）)＝eq \f(15,4)＝3.75.
所以当t＝3.75时，p取得最大值．
6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alg4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alg48＋b＝1,alg464＋b＝4))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋b＝1，,3a＋b＝4.))解得a＝2，b＝－2.
所以y＝2lg4x－2，当y＝8时，即2lg4x－2＝8.
解得x＝1 024(万元)．
答案：1 024
7．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是______．
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，
需eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，
即R∈[4，8]．
答案：[4，8]
8．(2020·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
9．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))给出，其中I为声强(单位：W/m2)．
(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级；
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到最低声强为多少？
(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
解：(1)当声强为10－6W/m2时，
由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10－6,10－12)))＝10lg 106＝60(分贝)．
(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))
得10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(I,10－12)))＝0.
所以eq \f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，
则常人能听到的最低声强为10－12W/m2.
(3)当声强为5×10－7W/m2时，
声强级Y＝10lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)
＝50＋10lg 5，
因为50＋10lg 5>50，
所以这两位同学会影响其他同学休息．
10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)·eq \f(M1,R3).设α＝eq \f(r,R)，由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，则r的近似值为( )
A.eq \r(\f(M2,M1))R B．eq \r(\f(M2,2M1))R
C.eq \r(3,\f(3M2,M1))R D．eq \r(3,\f(M2,3M1))R
解析：选D.由eq \f(M1,（R＋r）2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3)，得eq \f(M1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))\s\up12(2))＋eq \f(M2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))\s\up12(2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(r,R)))M1.因为α＝eq \f(r,R)，所以eq \f(M1,（1＋α）2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，得eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq \f(M2,M1).由eq \f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，得3α3≈eq \f(M2,M1)，即3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,R)))eq \s\up12(3)≈eq \f(M2,M1)，所以r ≈ eq \r(3,\f(M2,3M1))·R，故选D.
2.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b(a，b为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
解析：选C.由题意知，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段；当t≥5时，函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－a,10))＋b.将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(5－a,10))＋b，,60＝80\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up6(\f(15－a,10))＋b，))解得a＝5，b＝20，故函数的解析式为y＝80eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up6(\f(t－5,10))＋20，t≥5.令y＝40，解得t＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.
3．新修的个人所得税法在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5 000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪收入减去5 000 元后的余额．
某企业员工今年10月份的月工资为15 000元，则应缴纳的个人所得税为______元．
解析：由企业员工今年10月份的月工资为15 000元知，其个人所得税属于2级，则应缴纳的个人所得税为
(15 000－5 000－3 000)×10%＋3 000×3%＝700＋90＝790(元)．
答案：790
4．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋eq \f(3x,x＋2)(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为______万元．
解析：由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为eq \f(30y＋4,y)×150%＋eq \f(x,y)×50%，故年销售收入为z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(30y＋4,y)×150%＋\f(x,y)×50%))·y＝45y＋6＋eq \f(1,2)x.所以年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq \f(x,2)＝17＋eq \f(45x,x＋2)－eq \f(x,2)(万元)．所以当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋eq \f(45,1＋2)－eq \f(1,2)＝31.5(万元)．
答案：31.5
5．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400－6x，0
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解：(1)当0
所以W＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－6x2＋384x－40，0
(2)①当0
②当x>40时，W＝－eq \f(40 000,x)－16x＋7 360，
由于eq \f(40 000,x)＋16x≥2eq \r(\f(40 000,x)×16x)＝1 600，
当且仅当eq \f(40 000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以此时W的最大值为5 760.
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值为6 104万美元．
6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4eq \r(2a)，Q＝eq \f(1,4)a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，
则乙大棚投入150万元，
所以f(50)＝80＋4eq \r(2×50)＋eq \f(1,4)×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4eq \r(2x)＋eq \f(1,4)(200－x)＋120＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250，依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥20，,200－x≥20))⇒20≤x≤180，
故f(x)＝－eq \f(1,4)x＋4eq \r(2x)＋250(20≤x≤180)．
令t＝eq \r(x)，则t∈[2eq \r(5)，6eq \r(5)]，y＝－eq \f(1,4)t2＋4eq \r(2)t＋250＝－eq \f(1,4)(t－8eq \r(2))2＋282，当t＝8eq \r(2)，即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
随x值增大，图象与x轴接近平行
随n值变化而不同
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
月份
用气量
煤气费
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
年份
2008
2009
2010
2011
…
投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…
加油时间
加油量(升)
加油时累计里程(千米)
2018年10月1日
12
35 000
2018年10月15日
60
35 600
驾驶行为类型
阈值(mg/100 mL)
饮酒后驾车
≥20，<80
醉酒后驾车
≥80
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过3 000元的部分
3%
2
超过3 000元至12 000元的部分
10%
3
超过12 000元至25 000元的部分
20%
…
…
…
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