2023-2024学年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试卷

这是一份2023-2024学年山东省泰安市泰山实验中学中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的倒数是( )
A. 3B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是( )
A. B. C. D.
5.在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书活动．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是2B. 众数是17C. 平均数是2D. 方差是2
6.《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是( )
A. B. C. D.
7.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.关于x的方程的解为非正数，且关于x的不等式组无解，那么满足条件的所有整数a的和是( )
A. B. C. D.
9.如图，MN是的直径，，，B点是弧AN的中点，P是直径MN上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C. 1
D. 2
10.三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程的解，则这个三角形周长为( )
A. 8B. 8和10C. 10D. 8 或10
11.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转，点B的对应点的坐标是.( )
A. B. C. D.
12.如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27809平方公里.将27809用科学记数法表示应为______.
14.如图，在扇形AOB中，，点C为OA的中点，交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点若，则阴影部分的面积为______.
15.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则的值为______.
16.如图，数轴上点A表示的数为a，化简__________.
17.如图，在中，，，BC边上的中线，则的面积是______.
18.已知有理数，我们把为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，那么…的值是______
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
先化简代数式，并从，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
20.本小题10分
中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整；
此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
21.本小题10分
如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
求双曲线的函数关系式；
直接写出当时，不等式的解集；
若点P在x轴上，连接AP把的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
22.本小题10分
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？每天的总成本=每件的成本每天的销售量
23.本小题12分
如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作交AF于点G，连接
求证：四边形EFDG是菱形；
探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
若，，求BE的长．
24.本小题14分
如图，抛物线经过，，三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，于
求抛物线的函数表达式；
如图1，求线段DE长度的最大值；
如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题14分
如图，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，，垂足为点E，，垂足为点
证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为______：
探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转角，如图所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图所示，延长CG交AD于点若，，则______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
的倒数是
故选：
根据倒数的定义乘积为1的两个数互为倒数解决此题．
本题主要考查倒数，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：
根据合并同类项法则，单项式的乘法运算法则，单项式的除法运算法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了整式的除法，单项式的乘法，合并同类项法则，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：从上面可看到从上往下2行小正方形的个数为：2，1，并且下面一行的正方形靠左，
故选：
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.
根据两直线平行，内错角相等推出，根据，推出，进而可得出答案.
【解答】
解：如图，
根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
故选
5.【答案】A
【解析】解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：
这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
这组数据的众数是
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
这组数据的中位数为
故选：
先根据表格提示的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，3出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，从而求出中位数是2，根据方差公式即可得出答案．
本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数、方差以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
6.【答案】B
【解析】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，
依题意，得：
故选：
设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误；
B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项正确；
C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项错误；
D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误．
故选
本题考查二次函数以及一次函数的图象．
可先根据一次函数的图象判断a的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非正数求出a的范围，再根据不等式组无解求出a的范围，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【解答】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
由分式方程的解为非正数，得到，且，
解得：且，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
满足题意a的范围为，且，即整数a的值为，，，，0，
则满足条件的所有整数a的和是，
故选
9.【答案】B
【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，根据题意得弧AN的度数是，
则弧BN的度数是，
根据垂径定理得弧CN的度数是，
则，
又，
则
故选：
首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．
此题主要考查了轴对称最短路径问题，找到A的对称点，确定点P的位置，利用垂径定理是关键步骤．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可．
【解答】
解：，
解得：或2，
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为，
故选
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查坐标与图形变化-旋转，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，作轴于由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而得出OH即可得出答案．
【解答】
解：如图，作轴于
由题意得：，≌，
，，
，
，，
，
，
故选
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
由中知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值，据此求解可得．
【解答】
解：，
，
，
，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交于点，当点P位于位置时，OP取得最小值，
过点M作轴于点Q，
则、，
，
又，
，
，
故选
13.【答案】
【解析】解：
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法-表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：
连接OE、AE，根据点C为OA的中点，，可得为等边三角形，则，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去即可求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接OE、AE，
点C为OA的中点，，
，
且在扇形AOB中，，
，为等边三角形，
，，
，，，
，
，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．
【解答】
解：由折叠知，，，，
，
在中，，
设，则，
，，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
故答案为
16.【答案】2
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握
根据进行二次根式化简，再去绝对值合并同类项即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：
17.【答案】15
【解析】解：延长AD到点E，使，连接CE，
是BC边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
，
，
即为直角三角形，
的面积，
故答案为：
延长AD到点E，使，连接CE，可证明≌，所以，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即：为直角三角形，进而可求出的面积．
本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．
18.【答案】
【解析】解：，
，，，
这个数列以，，，依次循环，且，
…1，
…，
故答案为
求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
19.【答案】解：原式
，
由题意得，，0，1，
当时，原式
【解析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
20.【答案】解：；
将条形统计图补充完整，如图所示：
画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，
选中的两名同学恰好是甲、丁
【解析】【分析】
本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；
画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】
解：；
故答案为72；
全年级总人数为人，
“良好”的人数为人，
将条形统计图补充完整，
如图所示：
见答案.
21.【答案】解：直线，都与双曲线交于点
把代入，
可得，
点坐标为，
再把代入双曲线中，
可得，
双曲线的函数关系式为；
点坐标为，
当时，由图象得不等式的解集为；
将，代入，则，
点B的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
将，代入，则，
即C点坐标为，
，
把的面积分成1：3两部分，
，或，
，或，
点坐标为或
【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，以及三角形的面积．
求得，把代入双曲线，可得双曲线的函数关系式；
依据，可得当时，不等式的解集为；
分两种情况进行讨论，AP把的面积分成1：3两部分，则，或，即可得到，或，进而得出点P的坐标．
22.【答案】解：
；
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；
当时，，
解得，
当时，每天的销售利润不低于4000元．
由每天的总成本不超过7000元，得，
解得
，
销售单价应该控制在82元至90元之间．
【解析】根据“利润售价-成本销售量”列出方程；
把中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
把代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式，通过解不等式来求x的取值范围．
本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
23.【答案】证明：，
由翻折的性质可知：，，，
四边形EFDG为菱形．
解：
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点
四边形EFDG为菱形，
，
，，
∽
，即
，，
解：如图2所示：过点G作，垂足为H，则，
，，，
，整理得：
解得：，舍去
，，
，，
∽
，即

【解析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明，即可得证；
连接DE，交AF于点由菱形的性质可知，，接下来，证明∽，由相似三角形的性质可证明，于是可得到EG、GF、AF的数量关系；
过点G作，垂足为利用的结论可求得，然后在中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明∽，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据求解即可．
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到是解答问题的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题的关键．
24.【答案】解：由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线BC的解析是为，，
解得
，
设，，过点D作轴交BC于M点，
如图1，
，
，
，，
∽，
，
，，
，
当时，DE取最大值，最大值是，
假设存在这样的点D，使得中有一个角与相等，
点F为AB的中点，
，，
过点B作，交CD的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，
如图2，
①若，
，
，
∽BCO，
，
，，
，
设直线CG的解析式为，
，
解得
直线CG的解析式为，
，
解得，或舍
②若，
同理可得，，，
，
同理可得，直线CG的解析是为，
，
解得或舍，
综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或
【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；
根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．
25.【答案】①四边形ABCD是正方形，
，，
、，
，
四边形CEGF是矩形，，
，
四边形CEGF是正方形；
② ；
连接CG，
由旋转性质知，
在和中，
、，
，
∽，
，
线段AG与BE之间的数量关系为；

【解析】解：①见答案；
②由①知四边形CEGF是正方形，
，，
，，
，
故答案为：；
见答案；
，点B、E、F三点共线，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
设，则，
则由得，
，
则，，
得，
解得：，即，
故答案为：
①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
连接CG，只需证∽即可得；
证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1