安徽省淮北市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)

这是一份安徽省淮北市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
2．若复数（为虚数单位），则( )
A．B．C．D．
3．已知，下列命题正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．函数的大致图像为( )
A．B．
C．D．
5．某次考试一共5道判断题，有三名考生参加考试，每人均答对4道题，答错一道题，三人回答具体情况记录如下:
则这5道题的正确答案依次为( )
A．FFFTTB．FTFTTC．TFFTFD．TFFTT
6．若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数a的值为( )
A．B．C．D．
7．已知A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且，直线AB，AC的斜率分别为4和，则双曲线E的离心率为( )
A．B．C．D．2
8．当实数t变化时，函数，最大值的最小值为( )
A．2B．4C．6D．8
二、多项选择题
9．已知数列，的前n项和分别为，，若，，则( )
A．B．
C．的前10项和为D．的前10项和为
10．已知正方体的棱长为2，M，N分别是棱AB，的中点，下列结论正确的是( )
A．B．
C．棱BC的中点在平面内D．四面体的体积为1
11．如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示n次后时针指向的数字，则( )
A．B．
C．D．
三、填空题
12．已知向量，，若与共线，则实数______.
13．在的方格中，每个方格被涂上红、橙、黄、绿四种颜色之一，若每个的方格中的四个小方格的颜色都不相同，则满足要求的不同涂色方法的种数为______.
四、双空题
14．在等腰梯形ABCD中，，，若，则梯形周长的最大值为______，梯形面积的最大值为______.
五、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)试判断的形状；
(2)若，求周长的最大值.
16．如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．
(1)求证：平面AEF；
(2)当，，时，求平面AEF与平面的夹角的余弦值．
17．塔山石榴，产自安徽省淮北市烈山区塔山，种植迄今已有千年历史.为了进一步发展高效农业，丰富石榴品种，壮大石榴产业，当地政府委托某种业科研公司培育了A，B两种新品石榴，将它们分别种植在两块土质和大小相同的试验田内，并从收获的果实中各随机抽取300个，按质量（单位:g）将它们分成4组:，，得到如下频率分布直方图:
(1)分别估计A，B品种石榴单个果实的质量；
(2)经筛选检测，除去坏果和瑕疪果，两种石榴的合格率如下表:
已知A品种混放在一个库房，B品种混放在另一个库房，现分别从两个库房中随机各抽取2个石榴，其中合格石榴的总个数记为X，求X的分布列及数学期望.
18．如图，已知椭圆，的左右焦点为，，短轴长为6，A为上一点，为的重心.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上不同三点B，C，D，满足，且，，成等差数列，线段BD中垂线交y轴于E点，求点E纵坐标的取值范围；
(3)直线与交于M，N点，交y轴于P点，若，求实数的取值范围.
19．已知函数，其中
(1)若，记，试判断在上的单调性；
(2)求证:当时，；
(3)若对，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由集合，，，
可得，所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：因为，
所以.
故选：.
3．答案：D
解析：当，时，，所以A错.
当，时，，所以B错.
当，时，，所以C错.
若，则，则成立，所以D正确.
故选：D
4．答案：C
解析：由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称，
由可知，函数为奇函数，排除B,D两项，
又，排除A项，故C项正确.
故选：C.
5．答案：D
解析：每个考生都均答对4道题，答错一道题，
第1题，若甲乙答错，则甲乙的后四题答案应相同，不成立，故丙答错了第1题；
丙答错了第1题，则丙的后四题全部正确，对比可知，甲答错了第4题，乙答错了第2题，
则这5道题的正确答案依次为TFFTT.
故选：D
6．答案：B
解析：依题意，，即，
整理得：，即，则有，
因x不恒为0，故必有，解得，.
故选：B.
7．答案：A
解析：由可得：O是BC的中点，即B，C关于原点对称，
不妨假设点，则，
由及直线AB，AC的斜率分别为4和可得：
，联立解得：，
所以把点代入双曲线方程E得：
，
再由代入得：，解得：，
，，
故选：A.
8．答案：D
解析：若，即时，，其对称轴为，，
此时，因，故的最小值为16；
若，由可得，
（Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减，在上递增，
在上递减，在上递增，又，，
①当时，，故，而在上单调递减，则此时，；
②当时，，故，而在上单调递增，则此时，.
（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
则此时，而在上单调递减，则.
综上，函数最大值的最小值为8.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：，所以是首项，公差的等差数列，
，故选项A正确.
令，则，
，
又，，
，故选项C错误.
又， ，
又，，，
是首项为，公比的等比数列，
，故选项B正确.
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，故选项D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
由空间向量共线的充要条件知若，则有，
显然上述方程无解，故A错误；
又，所以B正确；
延长，DC交于H点，连接MH交BC于G点，
由平行线分线段成比例可知G为靠近B点的线段BC的一个三等分点，故C错误；
设平面的一个法向量为，
易知，，，
则，令，，即，
则N到平面的距离为，
而，
所以，故D正确.
故选：BD
11．答案：ACD
解析：A选项，的可能取值为，
且，故，A正确；
B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，
故，B错误；
C选项，，即顺时针走了或逆时针走了，
设硬币正面朝上的次数为x，则反面朝上的次数为，
，解得，
故，C正确；
D选项，若硬币8次均正面朝上，此时，
故，
若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时，
故，
若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时，
故，
若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时，
故，
若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时，
，
若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时，
，
若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时，
，
若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时，
，
若硬币8次均反面朝上，此时，
，
故，D正确.
故选：ACD
12．答案：2
解析：由，，可得，，，
因与共线，则有，解得.
故答案为：2.
13．答案：
解析：设四种颜色分别为ABCD，对于第一个的方格，共有种不同的涂法，
假设第一个的方格，涂如图所示ABCD四种颜色，
①若第三列的一个方格涂A，第三列的第二方格涂，则第三列的第三方格涂A或B，
当第三列的第三方格涂A时，则第三行的第一、二方格，分别涂A,B；
当第三列的第三方格涂B时，则第三行的第一、二方格，分别涂B,A；
②若第三列的一个方格涂C，第三列的第二方格涂A，则第三列的第三方格涂C或B，
当第三列的第三方格涂C时，则第三行的第一、二方格，分别涂A,B；
当第三列的第三方格涂B时，则第三行的第一、二方格，分别涂B,A；
所以，共有3类涂法，则共有种不同的涂色方法.
故答案为：72.
14．答案：10；
解析：设，，则中，，，
过D作，E为垂足，则，，
等腰梯形ABCD周长为，
所以当时，梯形周长的最大值为10.
梯形面积
，
当且仅当，即时等号成立，
所以梯形面积的最大值为.
故答案为：10；.
15．答案：(1)是直角三角形
(2)
解析：（1）解：由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
（2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得，，
所以周长为，
因为，可得，
所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
同理：因为平面，平面，所以．
又，，所以平面
因为平面，所以
又因为，，所以平面AEF
（2）以A为原点，分别以AB、AD、所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
则，，，，，．
所以，且是平面AEF的一个法向量．
，
设平面的法向量为
则，即
所以，令，得．
则平面的一个法向量为．
所以．
，
所以．
所以平面AEF与平面的夹角的余弦值为．
17．答案：(1)94g，90g
(2)分布列见解析，期望为3.1
解析：（1）由频率分布直方图得样本中A品种石榴单个果实质量的估计值为:
样本中B品种石榴单个果实质量的估计值为:
（2）设A:从A品种石榴中任取1个为合格品；B:从B品种石榴中任取1个为合格品；则:
由题意得0,1,2,3,4,，
则，
所以X的分布列为
所以.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）不妨设，,
因为的重心，所以，
所以，
又短轴长为6，所以，代入解得，
所以椭圆方程为:；
（2）由上可知，设,,BD中点，
则，
又，消去并整理得，
同理，
又，
由题意得，
即，
因B，D在上，易得，化简得，
所以线段BD中垂线的斜率，
线段BD中垂线方程:，
令得，
又线段BD中点在椭圆内所以，
所以；
（3）设，,由得，,
联立消y整理得，
得，
所以，
当时，，
当时，，
解不等式得.
19．答案：(1)在单调递减，在单调递增
(2)证明见解析
(3)
解析：（1）由，可知，
则，
在时，
令，解之得，
令，解之得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）法一、
注意到是偶函数，故只需证明当时，，
①当时，显然，
②当时，，
令，则，
令，则在上是单调函数，
而,,
故，即，于是在单调递增，
又，可知,
于是在单调递增，
又，可知，证毕；
法二、
注意到是偶函数，故只需证明当时，，
①当时，显然，
②当时，，
而
当时，上式显然成立；
当时，上式等价于
令，
则，
即在单调递增，则，证毕；
（3）法一、
题设可化为:对恒成立，
令，则，条件进一步化为:
对任意，有恒成立，
注意到时，，
另一方面，当时，，
记，
显然函数为偶函数，故考虑时情形，
易得：，令，
令得，
于是在上单调递增，在上单调递减；
而，,,
故必然存在实数使得:
当时，，当时，，
于是在上单调递增，在上单调递减；
验证,,知:对任意,恒成立.
因此，即，
综上，实数a的取值范围为；
法二、
题设可化为：对恒成立，
令，则，条件进一步化为：对任意，
（*）恒成立
注意到与都是偶函数，故只需考虑情形即可.
①当时，结论显然.
②当时，（*）化为，
令，则，
令，则，
（1）当时，有，,于是，
（2）当时，有,,单调递减；,,单调递增.
而，,故，
进一步，,在上单调递减，
于是得到:即为a的取值范围.
题号
考生甲
考生乙
考试丙
A品种合格率
0.7
0.8
0.7
0.8
B品种合格率
0.7
0.8
0.8
0.9
X
0
1
2
3
4
P
0.0025
0.035
0.1825
0.42
0.36