新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷

这是一份新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年高一下学期期中质量监测数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知向量，，且两向量夹角为，则＝（ ）
A．18B．9C．D．
2．（3分）已知i为虚数单位，x，y为实数，若x﹣2i＝3+yi，则x﹣y＝（ ）
A．1B．﹣5C．5D．﹣1
3．（3分）在△ABC中，，c＝6，，则角C的可能取值为（ ）
A．B．C．D．或
4．（3分）已知向量，，若，则实数x＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
5．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．清朝时的一枚“嘉庆通宝”如图所示，它的形状为一个圆的中心挖去一个正方形，则其绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
7．（3分）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径．若球的表面积为16π，则圆柱的表面积为（ ）
A．24πB．20πC．16πD．12π
8．（3分）已知大小为60°的二面角α﹣l﹣β棱上有两点A、B，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，CD＝7，则AB的长为（ ）
A．22B．40C．2D．
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个2分，2个4分，满分15分），有选错的得0分。
（多选）9．（5分）、z互为共轭复数，（1+i）z＝2（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z在复平面内对应的点在第二象限
C．z的虚部为﹣i
D．
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
（多选）11．（5分）已知直线a，b，l和平面α，β，则下列命题不正确的是（ ）
A．若a∥b，a⊂α，则b∥α
B．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β
C．若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α
D．若a⊂α，b⊂α，a∥α，b∥β，则α∥β
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分
12．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点D到平面ACD1的距离为 ．
13．（4分）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 ．
14．（4分）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝﹣a+2i（其中a∈R，i为虚数单位）为“等部复数”，则|＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（7分）若复数z＝（m2+m﹣12）+（m2﹣3m）i，当实数m为何值时．
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数．
16．（9分）已知向量＝（7，1），＝（1，3）．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若（+2）⊥（λ﹣），求λ的值．
17．（9分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcsC+ccsB＝2acsA．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
18．（12分）如图所示，某人为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个观测点C与D，在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向．
（1）求点D到塔底B的距离BD；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔AB的高．
（注：结果保留根号）
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设AB＝PC＝2，AC＝1，求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）已知向量，，且两向量夹角为，则＝（ ）
A．18B．9C．D．
【分析】根据平面向量的数量积求解即可．
【解答】解：因为向量，，且两向量夹角为，
所以＝||||cs＜，＞＝6×3×cs＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．
2．（3分）已知i为虚数单位，x，y为实数，若x﹣2i＝3+yi，则x﹣y＝（ ）
A．1B．﹣5C．5D．﹣1
【分析】结合复数相等的条件，即可求解．
【解答】解：x，y为实数，x﹣2i＝3+yi，
则x＝3，y＝﹣2，
故x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数相等的条件，是基础题．
3．（3分）在△ABC中，，c＝6，，则角C的可能取值为（ ）
A．B．C．D．或
【分析】根据正弦定理列式，算出sinC＝＝，结合C为三角形的内角，算出角C的大小．
【解答】解：由正弦定理得，可得sinC＝＝＝，
因为C为三角形的内角，所以C＝或．
故选：D．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值、正弦定理的应用等知识，考查了计算能力，属于基础题．
4．（3分）已知向量，，若，则实数x＝（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量，，，
则，解得x＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
5．（3分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意得：，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求
【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题
6．（3分）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．清朝时的一枚“嘉庆通宝”如图所示，它的形状为一个圆的中心挖去一个正方形，则其绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球
B．一个球挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球挖去一个正方体
【分析】由旋转体的概念知该几何体是一个球挖去一个圆柱剩余的部分，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆旋转形成的球，正方形旋转形成的是圆柱，
则旋转后形成的几何体为一个球挖去一个圆柱．
故选：B．
【点评】本题考查旋转体的定义，注意球、圆柱等常见旋转体的结构特征，属于基础题．
7．（3分）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径．若球的表面积为16π，则圆柱的表面积为（ ）
A．24πB．20πC．16πD．12π
【分析】根据题意，设球的半径为R，由球的表面积公式求出R的值，进而可得圆柱的底面半径和高，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设球的半径为R，
由于球的表面积为16π，则有S＝4πR2＝16π，解可得R＝2，
则圆柱的底面半径为r＝R＝2，高h＝2R＝4，
其表面积S＝2πrh+2πr2＝24π．
故选：A．
【点评】本题考查圆柱、球的位置关系，涉及圆柱的侧面积计算，属于基础题．
8．（3分）已知大小为60°的二面角α﹣l﹣β棱上有两点A、B，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，CD＝7，则AB的长为（ ）
A．22B．40C．2D．
【分析】过A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE、DE，易得∠CAE＝60°，通过线面垂直的判定定理可得ED⊥平面AEC，继而得到ED⊥EC，即可求出答案．
【解答】解：过A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE、DE，则四边形ABDE是平行四边形，
因为BD⊥AB，所以平行四边形ABDE是矩形，
因为BD⊥l，即AE⊥l，而AC⊥l，
则∠CAE是二面角α﹣l﹣β的平面角，即∠CAE＝60°，
因为BD＝AE＝AC＝3，即△ACE为正三角形，所以CE＝3，
因为ED⊥AE，l⊥AC即ED⊥AC，AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面AEC，
所以ED⊥平面AEC，因为EC⊂平面AEC，所以ED⊥EC，
所以在 Rt△EDC中，，所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间距离的计算，空间想象能力的培养，二面角的相关计算等知识，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对得部分分（选对一个2分，2个4分，满分15分），有选错的得0分。
（多选）9．（5分）、z互为共轭复数，（1+i）z＝2（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z在复平面内对应的点在第二象限
C．z的虚部为﹣i
D．
【分析】利用复数的定义、运算法则、几何意义直接求解．
【解答】解：∵（1+i）z＝2，
∴＝＝1﹣i，
∴＝1+i，故A正确；
z在复平面内对应的点（1，﹣1）第四象限，故B错误；
z的虚部为﹣1，故C错误；
|z|＝＝，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数的定义、运算法则、几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．零向量的长度为零，方向是任意的
C．若与是平行向量，则
D．若或，则
【分析】根据题意，由向量相等的定义分析A、C，由零向量的定义分析B，由向量平行的定义分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若与都是单位向量，但其方向不一定相同，A错误；
对于B，零向量的长度为零，方向是任意的，B正确；
对于C，若与是平行向量，但其方向可能相反，C错误；
对于D，若或，即＝或＝﹣，则有∥，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量的定义，涉及向量平行的性质，属于基础题．
（多选）11．（5分）已知直线a，b，l和平面α，β，则下列命题不正确的是（ ）
A．若a∥b，a⊂α，则b∥α
B．若a⊂α，a⊥β，则α⊥β
C．若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l⊥α
D．若a⊂α，b⊂α，a∥α，b∥β，则α∥β
【分析】对A，b∥α或b⊂α；对于B，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于C，l与α相交或l⊂α；对于D，α与β相交或平行．
【解答】解：直线a，b，l和平面α，β，
对A，若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，故A错误；
对于B，若a⊂α，a⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；
对于C，若l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，则l与α相交或l⊂α，故C错误；
对于D，若a⊂α，b⊂α，a∥α，b∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分
12．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点D到平面ACD1的距离为 ．
【分析】先求得，进而求得AD1，AC，CD1，进而求得△ACD1的面积，最后利用等体积法求得答案．
【解答】解：依题意知DD1⊥平面ADC，
则，
∵AD1＝AC＝CD1＝，
∴，
设D到平面ACD1的距离为d，
则＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了点面的距离计算，考查三棱锥体积的计算，属于中档题．
13．（4分）若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量 ．
【分析】结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：，为单位向量，且，
则，即4﹣，解得，
在方向上的投影向量为：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14．（4分）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝﹣a+2i（其中a∈R，i为虚数单位）为“等部复数”，则|＝ ．
【分析】先求出a，再结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：复数z＝﹣a+2i（其中a∈R，i为虚数单位）为“等部复数”，
则﹣a＝2，解得a＝﹣2，
故|＝|2﹣2i+4i|＝|2+2i|＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（7分）若复数z＝（m2+m﹣12）+（m2﹣3m）i，当实数m为何值时．
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数．
【分析】（1）由z为实数可得m2﹣3m＝0，从而求出m的值即可；
（2）由z为纯虚数，得，从而求解出m的值即可．
【解答】解：（1）由z为实数，得m2﹣3m＝0，解得m＝0或m＝3，
因此：当z为实数时，m＝0或m＝3；
（2）由z为纯虚数，得，解得m＝﹣4．
因此，当z为纯虚数时m的值为﹣4．
【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．
16．（9分）已知向量＝（7，1），＝（1，3）．
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若（+2）⊥（λ﹣），求λ的值．
【分析】（1）由题意，利用两个向量的夹角公式，求出与夹角的余弦值．
（2）由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出λ的值．
【解答】解：（1）∵向量，，设求与夹角为θ，θ∈[0，π]，
则csθ＝＝＝，故与夹角的余弦值为．
（2）若，则（+2）•（λ﹣）＝λ+（2λ﹣1）﹣2＝50λ+（2λ﹣1）×10﹣2×10＝0，
求得λ＝．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
17．（9分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcsC+ccsB＝2acsA．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，化简可得csA＝，从而得解；
（2）结合三角形的面积公式与余弦定理，求解即可．
【解答】解：（1）由正弦定理及bcsC+ccsB＝2acsA得，sinBcsC+sinCcsB＝2sinAcsA，
所以sin（B+C）＝sinA＝2sinAcsA，
因为sinA≠0，
所以1＝2csA，即csA＝，
又A∈（0，π），
所以A＝．
（2）因为△ABC的面积为，
所以S＝bcsinA＝bc•＝，即bc＝4，
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccsA，
所以4＝b2+c2﹣2bc•＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，
所以b+c＝4，
解得b＝c＝2．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图所示，某人为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个观测点C与D，在C点测得塔底B在北偏东45°方向，然后向正东方向前进10米到达D，测得此时塔底B在北偏东15°方向．
（1）求点D到塔底B的距离BD；
（2）若在点C测得塔顶A的仰角为60°，求铁塔AB的高．
（注：结果保留根号）
【分析】（1）由题意可得CD，∠BCD，∠CDB的值，进而求出∠CBD的大小，由正弦定理可得BD的值；
（2）由（1）及正弦定理可得BC的值，在直角三角形中，由∠ACB的正切值可得AB的值．
【解答】解：（1）由题意可得CD＝10，∠BCD＝45°，∠CDB＝105°，可得∠CBD＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理可得：＝，即＝，
可得BD＝10；
（2）由（1）可得sin105°＝sin（60°+45°）＝sin60°cs45°+cs60°sin45°＝×+×＝，
＝，即＝，可得BC＝5（+），
因为BC⊥面ABC，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
所以AB＝BCtan∠ACB＝5（+）×＝15+5．
即铁塔AB的高为15+5．
【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
19．（12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）设AB＝PC＝2，AC＝1，求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
【分析】（1）由已知可得BC⊥AC，再由PC⊥平面ABC，得PC⊥BC，然后利用直线与平面垂直的判定可得BC⊥平面PAC，从而得到平面PBC⊥平面PAC；
（2）过C作CM⊥PA于M，连接BM，可得∠BMC为二面角B﹣AC﹣M的平面角，然后求解三角形得答案．
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PC⊥BC，
∵PC∩AC＝C，且PC，BC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
又BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC；
（2）解：∵BC⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC，
过C作CM⊥PA于M，连接BM，
∵BC∩CM＝C，且BC，CM⊂平面BCM，
∴PA⊥平面BCM，得PA⊥BM，
∴∠BMC为二面角B﹣AC﹣M的平面角，
在Rt△BMC中，∵CM＝，BC＝，
∴，
则cs．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．