上海市光明中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题

这是一份上海市光明中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题，共14页。试卷主要包含了05，; 2， C 14，的最大值此时等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若集合，，则________．
2．抛物线的准线方程为________．
3．与的等差中项是________．
4．在某项测量中，某测量结果服从正态分布，且，则________．
5．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则________．
6．在中，若，，的面积为，则________．
7．若向量在向量上的投影向量为，则等于________．
8．若直线与曲线相切，则实数的值为________．
9．已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率
为________．
10．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的楖率是________．
11．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围________．
12．若四面体各棱的长为1或2，且该四面体不是正四面体，其体积的所有可能的值为________．
二、选择题（本大题共4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
14．一个扇形的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，则它的圆心角是（ ）弧度．
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“对任意的正整数，总有”的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．如果同时满足以下三个条件：
①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”．有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则存在，且，使成立；
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立．
则下列说法正确的是（ ）
A．命题为假命题，命题为真命题
B．命题为真命题，命题为假命题
C．命题、命题都是真命题
D．命题、命题都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分．解题时要有必要的解题步骤）
17．（本题2小题，第1小题7分，第2小题7分，满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平西所成角的正弦值．
18．（本题2小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣．现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为．
（1）当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；
（2）当变化时，求的最大值及对应的值．
19．（本题2小题，第1小题6分，第2小题8分，满分14分）
由于“流感”对抵抗力差的人的感染率相对更高，特别是老年人群体，因此某社区在流感控制后，及时给老年人免费体检，通过体检发现“高血榶，高血脂，高血压”，即“三高”老人较多．为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表，还特地建设了一个老年人活动中心，老年人每天可以到该活动中心去活动，以增强体质，通过统计每周到活动中心去运动的老年人的活动时间，得到了以下频率分布直方图．
（1）从到活动中心参加活动的老人中任意选取5人．
①若将频率枧为概率，求至少有3人每周活动时间在（单位：h）的概率；
②若抽取的5人中每周活动时间在（单位：h）的人数为2人，从5人中选出3人进行健康情况调查，记3人中每周活动时间在（单位：h）的人数为，求的分布列和期望；
（2）将某人的每周活动时间量与所有老人的每周平均活动时间量比较，当超出所有老人的每周平均活动量不少于时，则称该老人为“活动爱好者”，从参加活动的老人中随机抽取10人，且抽到人为“活动爱好者”的可能性最大，试求的值．（每组数据以区间的中点值为代表）
20．（本题3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小挭8分，满分18分）
己知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
21．（本题3小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分，满分18分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若，证明：．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围________．
【答案】
【解析】由得
当且仅当时，等号成立，故不等式故恒成立，
得恒成立, 解得:,故答案为:.
12．若四面体各棱的长为1或2，且该四面体不是正四面体，其体积的所有可能的值为________．
【答案】
【解析】①如图,
②如图,
③如图,
二、选择题
13. C 14. A 15.C 16.A
15．已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“对任意的正整数，总有”的（ ）
A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】若, 且,则, 故
当或时,,, 则,
当时, “, 总有”,当时,, 即,
综上所述,恒成立, 故充分性成立,
, 总有,则, 且, 故必要性成立,
综上所述, “, 且” 是“,总有” 的充分必要条件.故选:.
16．如果同时满足以下三个条件：
①；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”．有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则存在，且，使成立；
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立．
则下列说法正确的是（ ）
A．命题为假命题，命题为真命题
B．命题为真命题，命题为假命题
C．命题、命题都是真命题
D．命题、命题都是假命题
【答案】A
【解析】令, 则,
所以
又对任意成立, 则, 即,
所以, 即对任意, 都有, 命题为假命题;
由命题为假, 即在上非递减, 有递增趋势的函数（不一定严格递增）,
令, 则, 而任意,成立;
所以, 又, 故
反证法: 若为 “理想函数”, 存在, 使成立,
对于, 而, 此时不存在使成立;
对于, 若存在使成立, 则,
而, 则, 即,
由, 依次类推, 必有,且趋向于无穷大,
此时, 而必然会出现大于 1 的情况, 与矛盾,
所以, 在上也不存在)使成立,
综上, 若为 “理想函数”, 则对任意, 都有成立, 命题为真命题.故选：A.
三．解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）的最大值此时
19.（1）① ② 分布列如下：

(2)
20．（本题3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小挭8分，满分18分）
己知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为3，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1) 抛物线的准线为,,由于A到抛物线的距离为3，
则点的横坐标为 2 , 则解得；
(2)当时, 点的横坐标为, 则,设, 则的中点为,
由题意可得, 解得,所以,则,
由点斜式可得, 直线的方程为， 即,
所以原点到直线的距离为
(3)如图,设, 则,
故直线的方程为,令, 可得
即则,
依题意,恒成立,又
则最小值为, 即, 即,
则, 解得,
又当时，, 当且仅当时等号成立,
而, 即当时, 也符合题意.故实数的取值范围为.
21．（本题3小题，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分，满分18分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，…，，若，证明：．
【答案】（1）是 （2） （3）见解析
【解析】(1)的定义域为,
求导得, 直线的斜率为 2 ,
令, 解得,不妨设切点,
则点处的切线方程为, 即,
点处的切线方程为, 即,
所以直线是曲线的“双重切线".
(2)函数, 求导得
显然函数在上单调递增, 函数在上单调递减,
设切点, 则存在, 使得,
则在点处的切线方程为,
在点处的切线方程为因此,
消去可得
求导得,
则函数在上单调递增, 又,函数的零点为 -1 ,
因此所以曲线的“双重切线” 的方程为
(3)设对应的切点为,,
对应的切点为,,
由, 得,,
由诱导公式及余弦函数的周期性知, 只需考虑, 其中,,
由及余弦函数在上递增知,
则
因此, 又
则, 同理,
令, 求导得
则在上单调递增, 显然
函数在上的值域为
即函数在上存在零点, 则有
由, 同理可得, 而,因此,
于是, 即有所以
即