宁县吴忠市吴忠中学2024届高三下学期第五次模拟文科数学试卷

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1. 设集合，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 1D. 1或2
【答案】C
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，符合题意.
综上可得.
故选：C
2.若复数z满足，则
A．B．C．D．
【答案】D
3. 已知函数的极值点为a，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
答案】B
解析：函数，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，因此是的极小值点，且是唯一极值点，
所以，.
故选：B
4.已知，，则（ ）
A.B.C.D.
答案：D
5. 已知数列是首项为1的等比数列，是数列的前n项和，且，则数列的前5项和为（ ）
A. 30或40B. 31或40C. 31D. 30
答案：C
6.函数的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
7.“”是“圆与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
8．设是两条不同的直线,是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为
①若,则为异面直线②若,则
③若,则④若,则
A.①②B.③④C.②④D.②③
答案;D
9.若椭圆X：（）与双曲线H：的离心率之和为，则（ ）
A．B．C．2D．1
答案：C
10．某公司研发新产品投入（单位：百万）与该产品的收益（单位：百万）
的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额与收益满足回归方程：
，则下列结论不正确的是
A．与有正相关关系 B．回归直线经过点
C． D．时，残差为0.2
答案：C
11. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果.
【详解】因为平面平面，，
所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：
则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球的表面积，
故选：A.
12．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
二、填空题
13. 已知向量，若，则（ ）
【解析】
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积与模的坐标表示求解即得.
【详解】由题意知，，
由，得，解得，
因此，解得，即，
所以.
14．若x，y满足约束条件则目标函数的最大值为______．
【答案】9
画出可行域（图略）知，当过点时，z取得最大值，且最大值为9．
15. 已知的三边长，则的面积为 .
【答案】/
【分析】先利用余弦定理求出一角，再利用三角形的面积公式即可得解.
【详解】由余弦定理有，
又，所以，
所以的面积.
故答案为：.
16. 对于函数,若在定义域内存在实数,使得,则称为“局部奇函数”.若是定义在区间上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是________________．
【答案】.
【分析】利用局部奇函数的定义,建立方程关系,然后判断方程是否有解即可.
【详解】根据局部奇函数的定义,时,可化为,
因为的定义域为,所以方程在上有解,
令,则,
设,则,
当时,,故在上为减函数,
当时,,故在上为增函数,
所以时.所以,即.
故答案为:.
解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）
必考题（共60分）
17．（本小题满分12分）
盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶．由于盒子上没有标注，购买者只有打开后才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”．某款盲盒内装有正版海贼王手办，且每个盲盒只装一个．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机抽取了400人进行问卷调查，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，男生占；而在未购买者当中，男生、女生各占50%．
（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关？
（2）从购买该款盲盒的人中按性别用分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人发放优惠券，求抽到的人中恰有一个男生的概率？
参考公式：，其中．
参考数据：
18．解：
（1）
根据列联表中的数据，可得，
因为，所以有99.5%的把握认为是否购买该款盲盒与性别有关．
（2）抽取6人中，女生有：（人），记为，，，，
男生有：（人），记为，．
从这6人中随机抽取3人，有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种基本事件，
其中抽到的3人中恰有1人位男生，有，，，，，，，，，，，，共12种基本事件，
所以抽到的3人中恰有1位男生的概率．
18．（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：为直角三角形．
18．（1）解：由，
可得，
所以，
所以，
则，即．
（2）证明：法一：由，可得．
又，所以，
即，解得（负值已舍去），即，所以为直角三角形．
法二：
法三：，所以．
由余弦定理可得．
因为，所以，即，
所以，解得（负值已舍去）．
因为，所以为直角三角形．
19. (本小题满分 12 分）
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,AE＝2BF,BF//AE,BF⊥AD,且平面ACE⊥平面ABCD.
(1)在DE上确定一点M,使得FM//平面ABCD；
(2)若BF＝BA＝1,且,求多面体ABCDEF的体积.
解析:(1)点M是ED的中点.
取AD中点G，过点G作GM//AE交DE于点M,则GM=AE
又由题，有 AE＝2BF,BF//AE,所以 BF//GM,BF=GM
即四边形BFGM为平行四边形所以 分
又,
所以 FM//平面ABCD……………………………………………………………6分
(2)令N为AB中点,由条件知△ABC是边长为1的正三角形,于是CN⊥AB,且.
由BD⊥面AEC得，BD⊥AE,BD⊥AE,BF⊥BD,又BF⊥AD，BF⊥平面ABCD,
平面ABFE⊥平面ABCD,所以CN⊥平面ABFE,即CN是四棱锥C－ABFE的高分
可得分
同理可知C点到平面ADE的距离也等于,于是分
于是多面体ABCDEF的体积.……………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
解析：20．（1）解：由题意知，1分
当时，，所以在上单调递减；3分
当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增5分
（2）证明：由（1）得，7分
要证，即证，即证8分
令，则，9分
令，解得
令，解得，
所以在上单调递减，
在上单调递增，10分
所以，
则恒成立，
所以当时，12分
21.（本小题满分12分） 已知椭圆的左右焦点分别为，过的动直线与交于两点，当轴时，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆方程；
（2）若的内切圆半径为，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆C方程
（2）直线l的方程为或.
【解析】
【分析】（1）根据直线PF2与直线QF2的斜率之积为建立等量关系即可;
（2）根据内切圆性质,直线与椭圆联立即可得所求直线方程.
小问1详解】
由题可知当轴时,联立,解得,
则,设,则
,解得,
所以椭圆C方程
【小问2详解】
因为的周长为4a,
故,
由题意可知,该直线l斜率存在且不为0,
设直线l为联立
则
设,,
所以解得m2=2，
则直线l方程为或,即或.
（二）选考题（共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和的极坐标方程；
(2)若直线l：（其中）与曲线，的交点分别为A，B（A，B异于原点），求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）消去参数得的普通方程，然后将分别代入的普通方程即可；
（2）设直线的极坐标方程为，联立的极坐标方程，结合极径的意义表示出，然后由正弦函数的性质可解.
【详解】（1）由消得，即，
将分别代入得：
的极坐标方程为，
的极坐标方程为
（2）设直线的极坐标方程为，
联立方程可得，
所以
，
又，则有，
即，
综上，的取值范围为.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知关于x的不等式有解.
（1）求实数t的取值范围；
（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且.求证:.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)令，求出的最大值，由不等式有解可知，从而得到关于t的不等式，即可解出t的取值范围；
(2)由柯西不等式得即可证明结论.
【小问1详解】
令，
所以当时，取得最大值为3，
关于x的不等式有解等价于，
即
当时，上述不等式转化为，解得，
当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述t的取值范围为，
5
6
8
9
12
16
20
25
28
36
女生
男生
总计
购买
未购买
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
女生
男生
总计
购买
80
40
120
未购买
140
140
280
总计
220
180
400