湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2023-2024学年高三下学期五月模拟考试数学试卷

这是一份湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2023-2024学年高三下学期五月模拟考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足为虚数单位，则( )
A. 3B. C. 4D. 5
2.已知集合，，则下列表述正确的是
A. B. RC. D.
3.已知向量，，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.被9除的余数为( )
A. 1B. 4C. 5D. 8
5.已知数列为等差数列，为等比数列，，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与C与交于A、B两点点在x轴上方，点，若，，则C的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知点P是直线上的动点，由点P向圆O：引切线，切点分别为M，N且，若满足以上条件的点P有且只有一个，则( )
A. B. C. 2D.
8.已知，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的有
A. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件
B. 89，90，91，92，93，94，95，96，97的下四分位数为95
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少个单位
D. 随机变量X服从二项分布，则，且的概率最大
10.如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为下列关于说法中正确的是( )
A. 过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B. 若P为棱不含端点上的动点，则存在点P使得
C. 若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为
D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个
11.已知，下列结论正确的是( )
A. 若，的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则可以等于
B. 若，在上恰有3个零点，则的取值范围是
C. 若，在上恰有3个零点，则的取值范围是
D. 若在上单调，且，则的最小正周期为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线为l，则l在x轴上的截距是__________.
13.斜率为1的直线与双曲线E：交于两点A，B，点C是E上的一点，满足，，的重心分别为P，Q，的外心为记直线OP，OQ，OR的斜率为，，若，则双曲线E的离心率为__________.
14.设a，b，c是绝对值不大于10的整数，函数满足，则a的所有可能取值组成的集合为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
记的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求A；
若点D是BC边上一点，且，，求的值．
16.本小题15分
如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点．
若直线与直线所成的角是，求证：平面；
记直线与平面ABC所成的角为，平面与平面的夹角为，则当时，求的值．
17.本小题15分
为了推动“体育助力乡村振兴”，丰富人民群众的文化生活，某地决定举办“村超”足球友谊赛．比赛邀请本地两支村足球队实力相当和外地两支村足球队实力相当参加．赛事规定：比赛分为两个阶段，第一阶段：四支球队分成两组，每组进行一场比赛；第二阶段：第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名．第一阶段分组方案：采取抽签法，每组本地一支球队、外地一支球队．已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立，单场比赛的胜率和上座率如下：
第二阶段两场比赛上座率之和记为X，求X的分布列和数学期望；
求本地足球队获得第一名的概率．
18.本小题17分
在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆的方程分别为和以坐标原点O为端点作射线OQ，与圆和圆分别交于R，T两点．过R作y轴的垂线，过T作x轴的垂线，两垂线交于点P，设P点的轨迹为
求点P的轨迹的方程；
若曲线与y轴交于两点A，点A位于点B上方已知点，直线MA，MB分别和曲线交于点C，D，直线CD交y轴于点E，求的取值范围．
19.本小题17分
在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．
给定两个正整数m，n，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：
，且满足：，，…，其中为函数的k阶导数．对于给定的正整数m，n，函数的阶帕德近似是唯一的．
函数的帕德近似记为例如，
证明：当时，；
当时，比较与的大小；
数列满足，，记…，求证：
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的运算和模，属于基础题.
先求出z，再由复数的模长公式即可求解.
【解答】
解：因为，
则，
所以
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算和包含关系，属于基础题.
化，，得，即可求出答案.
【解答】
解：，，
所以，故C正确;
A，B，D均不正确.
故选：
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了投影向量和平面向量的数量积，是基础题．
设，由已知可得，利用投影向量的定义可得结果.
【解答】
解：设，则，，
所以，所以，所以，
所以向量在向量上的投影向量为
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
把所给的式子化为 ，按照二项式定理展开，可得它除以9的余数．
【解答】
解：，
因为为9的整数倍，
所以被9除的余数为
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差、等比数列的性质，考查基本不等式，属于一般题.
利用等差、等比数列的性质和基本不等式逐个判断即可.
【解答】
解：由为等差数列，为等比数列，，可得，
由，可得，当且仅当时，取等号，故A正确，C错误.
当时，，当且仅当时，取等号;
当时，，当且仅当时，取等号，故B，D都错.
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，属于一般题.
设，，求出A点坐标，得 l的方程，联立抛物线方程，利用焦半径公式求出p，即可得抛物线方程.
【解答】
解：设，，则，，即
由，可得直线l的斜率，的方程为
由，得，，
，
则C的方程为
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
根据题意，可得四边形MPNO是正方形，则，从而由点到直线的距离公式可得，解可得m的值．
【解答】
解：连接OM，ON，则，又，，
所以四边形MPNO为正方形，
，于是点P在以点O为圆心，为半径的圆C上.
又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线相切，所以点O到直线
的距离，，解得
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，属于较难题.
设，利用导数求出单调性，可得，设，利用导数求出单调性，得，即可得
【解答】
解：，
设，则，
当时，，在上单调递增，
，即，，
又，
设，
则
令，
则，
在上单调递减.
当时，，
，在上单调递减，，
综上，
故选：
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查概率统计的相关知识，属于基础题.
根据互斥事件与对立事件判断根据百分位数的求法判断根据回归直线方程判断根据二项分布判断
【解答】
解：对于 A， A与B是互斥事件， A与B不一定互为对立事件，故充分性不成立；
A与B互为对立事件，则A与B是互斥事件，故必要性成立.
所以，“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，所以A正确.
对于B，共有9个数据，而，故下四分位数为从小到大排列的第3个数据，即为91，所以B错误.
对于C，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，则减小，即响应变量将平均减少个单位，故C正确.
对于D，，，
而，的概率最大，所以D正确.
故选：
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查正四面体的结构特征，考查空间中的截面问题，考查异面直线的距离最值问题，属于中等题.
利用空间中的截面问题可判断选项AD，利用余弦定理可判断选项B，利用异面直线的公垂线可判断选项
【解答】
解：对于A，设截面与棱BD的交点为
如图，
过棱AC的截面为，则M为棱BD的中点时，的面积取得最小值.
等腰中，，，可求得，故A正确.
对于B，因为，，，所以≌，
所以，
设，，则
在中，，
所以，故B错误.
对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为，
所以在等腰中，MN为底边上的中线，
则，同理可证，
故MN为线段AC，BD的公垂线，
所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，
可求得其值为，故C正确.
对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个.故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误.
故选：
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦函数的性质，属于难题.
由已知利用正弦函数的性质逐个判断即可.
【解答】
解：对于A，向左平移个单位长度后，得到的函数为，
，即，故A错误.
对于B，时，，故，即，故B正确.
对于C，由得，的所有零点为
不妨设，，是在上的三个零点，则，
，，，解得且
由得，由得，故，，
当时，且，当时，且，
综上可知，或，故C错误.
对于D，因为在区间上单调，，故
由，且在区间上单调，为的一个对称中心.
又，且，为的一条对称轴.
而，，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查导数的几何意义，属于基础题.
利用导数的几何意义求出切线方程，即可求在x轴上的截距.
【解答】
解：，
的方程为
令得，，
故l在x轴上的截距是
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查双曲线离心率的求解，考查利用点差法解决中点弦问题，属较难题.
设出A、B、C三点，代入双曲线方程，两两作差，可得 ，由题意可知，，进而得到a，b的关系，即可得到离心率.
【解答】
解：设，，，
则AB中点为，AC中点为，BC中点为，
因为P、Q分别为 ， 的重心，
故 ， ，
因为，的外心为R，故R为AB中点，
则
由A、B、C三点均在双曲线上，
①， ②， ③，
①-②可得 ，即 ，
同理由②-③可得 ，④
由①-③可得 ，⑤
因为斜率为1的直线与双曲线交于A、B两点，故，则 ，
因为，所以，
故④⑤两式相乘可得，即，
故 ，则 ，
则 ，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数零点问题，属于较难题.
首先证明是的零点，再设的三个根为，，，其中，，求出，，求出c的取值范围，进而即可求解.
【解答】
解：首先证明是的零点.
事实上，设，其中A、B是整数.
假设，即，
而A，B是整数且是无理数，
故，从而
因为，故
而，矛盾.
故，即，所以
设的三个根为，，，其中，，
则，，，得，，，
所以，
由，及，，得
所以
故答案为：
15.【答案】解：由及正弦定理得，即
又由余弦定理得，，，
又，
，
记，则
在中，①
在中，由正弦定理得②
由①②及得，
即，解得
由，，，解得
故
【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，属于一般题.
利用正、余弦定理求得，即可求
记，利用正弦定理求出，由同角基本关系即可求解.
16.【答案】解：连接，则四边形是直角梯形.
过C1作于N，则四边形是矩形，，
连接，，为OC的中点.又M为BC的中点，
平面ABC，，平面
又平面ABC，，
在中，，
为的中点，
又，OC，平面，，
平面又平面，
，，OB，平面，，
平面
以O为原点，直线OC，OB，分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系.
设，则
，，，
，
设平面的法向量，
则，
取得
，，
设平面的法向量，
则，
取得
，，解得
在中，，
由知，
【解析】本题重点考查线面垂直的判定和线面角，属于一般题.
通过求值，结合，利用线面垂直的判定定理即可求证;
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
17.【答案】解：的取值为，
当时，第一阶段比赛本地队均胜或均负，
所以
当时，第一阶段比赛本地队一胜一负，
所以
的分布列为
记本地两支球队为甲、乙，外地两支球队为丙、丁，
则第一阶段有两种分组方法：
①甲、丙一组，乙、丁一组;②甲、丁一组，乙、丙一组，
分别记为事件，，则
记事件“甲胜乙”为M，事件“甲胜丙”为 N，
事件“甲胜丁”为R，事件“乙胜丁”为 S，
记事件“甲获得第一名”为，则
同理
记事件“乙获得第一名”为，同理可得
本地足球队获得第一名的概率为
【解析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，以及全概率公式，属于中档题.
由已知求出X的取值并求出对应概率进行求解；
由已知利用全概率公式求解.
18.【答案】解：记以射线OQ为终边的角为，则，，
设，则，，
故点P的轨迹的方程为
由题意可知，直线CD的斜率存在.
设，，直线CD为
由，可知，
则，，
因为，，故，
即，
故，
将韦达定理代入有，
即
当时，上式恒成立，即直线CD过定点，
故，
设，则，
代入椭圆方程有，
即，
则，即
故
另解：由题意可知，直线CD的斜率存在.
设，，直线CD为
由得，，
则，
又
由，得，所以
，
即，
即
将韦达定理代入上式得
上式化简得，解得
直线CD过定点
以下与上述解法相同.
【解析】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题．
设，，，得，，即可得点P的轨迹的方程；
由题意可知，直线CD的斜率存在，设，，直线CD为，与椭圆方程联立，利用韦达定理得直线CD过定点，设，求出的取值范围，即可得的取值范围.
19.【答案】解：证明：令，，
则，
故时，为增函数，
，故当时，，
令，，
则，
故时，为增函数，
，
故当时，，
综上可知，当时，；
令，，
则，
令，
则
，
故在上为减函数，
所以当时，，
故为减函数，
时，，
故
证明：令，则，
引理：若，则
事实上，令，则，故，
又时，，且，
所以，即，
由引理可知，，，
这样一直下去，有，
令，
则，
故；
由及知
所以由可知，当时，，
故，
，累加可知，，且时也满足，
故，，
故
综上可知，
【解析】本题考查利用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数解证明不等式、利用导数比较大小、导数的新定义问题，属于难题.
构造函数，，，，利用导数判断函数的单调性，即可证出结果；
令，，利用导数判断出单调性，再结合新定义，即可证出结果；
令，则，先证明引理：若，则利用引理结合新定义，即可证出结果.胜率
本地队
外地队
上座率
本地队
外地队
本地队
本地队
1
外地队
外地队
1
X
2
P