湖北省鄂东南省级示范学校2024届高三下学期5月模拟考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省鄂东南省级示范学校2024届高三下学期5月模拟考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足(i为虚数单位),则( )
A.3B.C.4D.5
2．已知集合，,则下列表述正确的是( )
A.B.C.D.
3．已知向量,，，则向量a在向量c上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．被9除的余数为( )
A.2B.4C.6D.8
5．已知数列为等差数列,为等比数列,,则( )
A.B.C.D.
6．已知抛物线的焦点为F,过F的直线l与C与交于A、B两点（A点在x轴上方），点,若,，则C的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知点P是直线上的动点,由点P向圆引切线,切点分别为M,N且,若满足以上条件的点P有且只有一个,则( )
A.B.C.2D.
8．已知，，则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的有( )
A.“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件
B.89,90,91,92,93,94,95,96,97的下四分位数为95
C.在经验回归方程中,当解释变量每增加1个单位时,响应变量将平均减少0.3个单位
D.随机变量X服从二项分布,则,且的概率最大
10．如图,有一个正四面体ABCD,其棱长为1下列关于说法中正确的是( )
A.过棱AC的截面中,截面面积的最小值为
B.若P为棱BD(不含端点)上的动点,则存在点P使得
C.若M,N分别为直线AC,BD上的动点,则M,N两点的距离最小值为
D.与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个
11．已知，下列结论正确的是( )
A.若，的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称,则可以等于
B.若，在上占有3个零点,则的取值范围是
C.若，在上给有3个零点,则的取值范围是
D.若在上单调,且,则的最小正周期为
三、填空题
12．曲线在点处的切线为l,则l在x轴上的截距是______..
13．斜率为1的直线与双曲线交于两点A,B,点C是E上的一点,满足，，的重心分别为P，Q，的外心为R.记直线OP,OQ,OR的斜率为，，.若,则双曲线E的离心率为______.
14．设a,b,c是绝对值不大于10的整数,函数满足,则a的所有可能取值组成的集合为______.
四、解答题
15．记的角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点,且,.求的值.
16．如图,四边形是圆台的轴截面,是圆台的母线,点C是的中点.已知,点M是BC的中点.
（1）若直线与直线所成的角是，求证:平面:
（2）记直线与平面ABC所成的角为,平面与平面的夹角为,则当时,求的值.
17．为了推动“体育助力乡村振兴”,丰富人民群众的文化生活,某地决定举办“村超”足球友谊赛.比寒邀请本地两支村足球队（实力相当）和外地两支村足球队（实力相当）参加.赛事规定:（1）比赛分为两个阶段，第一阶段:四支球队分成两组，每组进行一场比赛;第二阶段:第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名.（2）第一阶段分组方案:采取抽签法,每组本地一支球队、外地一支球队.已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立,单场比赛的胜率和上座率如下：
（1）第二阶段两场比赛上座率之和记为X,求X的分布列和数学期望：
（2）求本地足球队获得第一名的概率.
18．在平面直角坐标系xOy中,已知圆和圆的方程分别为和.以坐标原点O为端点作射线OQ,与圆O和圆分别交于R,T两点.过R作y轴的垂线,过T作x轴的垂线，两垂线交于点P,设P点的轨迹为.
（1）求点P的轨洂的方程;
（2）若曲线与y轴交于两点A,B（点A位于点B上方）.已知点,直线MA，MB分别和曲线交于点C,D,直线CD交y轴于点E,求的取值范围.
19．在数值计算中,帕德近似是一种常用的逼近方法.
给定两个正整数m,n,若函数的阶导数存在,函数在处的阶帕德近似定义为:
,
且满足;，，...，.
其中为函数的k阶导数.对于给定的正整数m,n,函数的阶帕德近似是唯一的.
函数的帕德近似记为.例如,.
（1）证明:当时,;
（2）当时,比较与的大小;
（3）数列满足,，记,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：由,则,所以.
故选:B.
2．答案：C
解析：,，所以,故C正确;A,B,D均不正确.
故选:C.
3．答案：A
解析：设,因为,,,所以,解得,.向量在向量上的投影向量为.
故选:A.
4．答案：B
解析：因为
,
其中
能被9整除,
又,
所以被9除的余数为4.
故选：B.
5．答案：A
解析：由为等差数列,为等比数列,,可得，.由,可得,故A正确,错误.
当时,;当时,,故B,D都错误.
故选：A
6．答案：B
解析：设，，则，，即.
由，得,，的方程为.
由得,，，，.
故选:B.
7．答案：D
解析：连接OM,ON,则，.又，,所以四边形MPNO为正方形,,于是点P在以点O为圆心,为半径的圆C上.
又由满足条件的点P有且只有一个,则圆C与直线相切,所以点O到直线的距离，,解得.
故选:D.
8．答案：C
解析：，.
设,则,当时,，在上单调递增,,即，，.
又，.
设,则.
令,则，
在上单调递减.
当时,，
，在上单调递减,
,.
另法:.而，
.
综上,.
故选:C.
9．答案：ACD
解析：对于A，A与B是互斥事件,A与B不一定互为对立事件,故充分性不成立:A与B互为对立事件,则A与B是互斥事件,故必要性成立.所以,“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件,所以A正确.
对于B,共有9个数据,而,故下四分位数为从小到大排列的第3个数据,即为91,所以B错误.
对于C,在经验回归方程中,当解释变量每增加1个单位时,则减小0.3,即响应变量将平均减少0.3个单位,故C正确.
对于D,,.而,的概率最大,所以D正确.
10．答案：AC
解析：对于A,设截面与棱BD的交点为P.如图1,过棱AC的截面为,则P为棱BD的中点时,的面积取得最小值.
等腰中,,,可求得,故A正确.对于,设,,则.在中,,所以,故B错误.
对于C,根据异面直线的距离定义,可知M,N分别为线段AC,BD的中点时,M,N的距离最小,可求得其值为,故C正确.
对于D,与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类:（1）平行于正四面体的一个面,且到顶点和到底面距离相等,这样的截面有4个:（2）平行于正四面体的两条对棱,且到两条对棱距离相等,这样的截面有3个.故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个,故D错误.故选：AC.
11．答案：BD
解析：对于A.向在平移个单位长度后,得到的函数为,,即,故A错误.
对于B,时,,故,即,故B正确.
对于C,由得,的所有零点为.
不妨设,,是在上的三个零点,则,,,解得且.由得,由得,故,.当时,且,;当时,且,.综上可知,或,故C错误.
对于D,因为在区间上单调,,故.由,且在区间上单调,为的一个对称中心.
又,且,为的一条对称轴.而,,故D正确.故选:BD.
12．答案：-1
解析：，，的方程为.
令得,,故l在x轴上的截距是-1.
13．答案：2
解析：不妨取AC,BC的中点M,N.
因为的重心为P,且P在中线ON上,所以，.
由中点弦结论知,，，.
因为,所以，.
又由,可得的外心R为AB的中点,于是由中点弦结论知,又,所以,即.
由得,,解得,所以双曲线E的离心率.
故答案为:2.
14．答案：
解析：首先证明是的零点.事实上,设,其中A、B是整数.假设,即,而A,B是整数且是无理数,故,从而.
因为,故.
而,矛盾.
故,即,所以.
设的三个根为,,，其中,,则,,,得,,,所以,.
由,及,,,得.所以.
故答案为:.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）由及正弦定理得,即.又由余弦定理得,,,.
（2）,记,则.在中,.（1）
在中,由正弦定理得.
由（1）（2）及得,
即,解得.
由,,解得.
故.
16．答案：（1）答案见解析；（2）
解析：（1）连接,则四边形是直角梯形.
过O作于N,则四边形是矩形,
,.
连接NM,,,
为OC的中点.又M为BC的中点,
.
平面ABC,,
平面ABC.
又平面ABC,
,.
在中,,.
为的中点,.
又,OC,平面,,
平面.又平面,
.,,OB,平面，,平面
（2）以O为原点,直线OC,OB,分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.
设,则.
,,,,
设平面的法向量,则,
取得.
,,设平面的法向量,
则,取得.,解得.
在中,,.
由（1）知，.
17．答案：（1）答案见解析；（2）0.352
解析：（1）X的取值为1.6,2.
当时,第一阶段比赛本地队均胜或均负,所以
当时,第一阶段比赛本地队一胜或一负,所以
的分布列为
（2）记本地两支球队为甲、乙，外地两支球队为丙、丁，则第一阶段有两种分组方法：①甲、丙一组，乙、丁一组；②甲、丁一组，分别记为事件.
记事件“甲胜乙”为M,事件“甲胜丙”为N,事件“甲胜丁”为R,事件“乙胜丁”为S，记事件“甲获得第一名”为,则
同理.
记事件“乙获得第一名”为,同理可得.
本地足球队获得第一名的概率为.
另一种理解方式,第一问结果相同,第二问结果如下,结果正确,扣2分
记本地两支球队为甲、乙，外地两支球队为丙、丁，则第一阶段有两种分组方法:①甲、丙一组，乙、丁一组;（2）甲、丁一组,乙、丙一组,分别记为事件,，则.
记事件“甲胜乙”为M,事件“甲胜丙”为N,事件“甲胜丁”为R,事件“乙胜丁”为S,记事件“甲获得第一名"为,则
同理.
记事件“乙获得第一名”为,同理可得.
本地足球队获得第一名的概率为.
18．答案：（1）；（2）
解析：（1）记以射线OQ为终边的角为,则，.
设,则,,
.故点P的轨迹的方程为.
（2）由题意可知,直线CD的斜率存在.
设，,直线CD为.
由,可知,则
,
因为,,
故,
即.
故（*）
将韦达定理代入(*)有,即.
当时,上式恒成立,即直线CD过定点,
故.
设,则,代入椭圆方程有,
即,
则，即
故.
（2）另解析：由题意可知,直线CD的斜率存在.
设，,直线CD为.
由得,,
则，.
又.
由，得,所以.
,即,
即.
将韦达定理代入上式得.
上式化简得,解得.
直线CD过定点.
以下与上述解法相同.
19．答案：（1）；答案见解析；（2）；（3）答案见解析
解析：（1）令，,
则,故时,为增函数.
,故当时,..
令，,则,故时,
为增函数.,故当时,.
综上可知,当时,.
（2）令,则,
故在上为减函数,所以当时,,故为减函数.
时,,
故
（3）令,则.
引理:若,则.
事实上,令,则,故.
又时,,且,所以,
即.
由引理可知,,...这样一直下去,有,.
令,则
故.
由及知,
所以由（2）可知,当时,,
故
,累加可知,,且时也满足,
故,.
故.
综上可知,.
胜率
本地队
外地队
本地队
0.5
0.6
外地队
0.4
0.5
上座率
本地队
外地队
本地队
0.8
1
外地队
1
0.8
x
1.6
2
P
0.52
0.48