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2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编31
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一、高考真题汇编的意义
1、增强高考考生的复习动力和信心。
2、提高高考考生的复习效率。使考生能够更好地梳理复习的重点，提高复习效率。
3、加深考生对知识点的理解和掌握。
二、高考真题汇编的内容
1、高考试题收录。高考真题汇编收录高考真题，涵盖了高考考试的各个学科。
2、答案解析。高考真题汇编提供了详细的答案解析，加深考生对知识点的理解和掌握。
3、复习指导。高考真题汇编还提供了一些复习指导，提高复习效率。
三、高考真题汇编的重要性
高考真题汇编不仅可以提高考生的复习动力和信心，增强考生的复习效率，而且还可以加深考生对知识点的理解和掌握，使考生更好地把握考试方向，为高考复习提供了有力的支持。本文介绍了高考真题汇编的意义、内容和重要性，分析了它对高考考生的重要作用，强调了它在高考复习中的重要性。
2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三十一）
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一·天津·阶段练习）在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（ ）
A．的斜率可能不存在，且不为0
B．点纵坐标为
C．直线的斜率
D．直线过定点
9．（2024·河北·二模）已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·河北·二模）某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造，在扇形内取一点使得，以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·河南信阳·一模）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·高三·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
15．（2024·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）
A．1B．C．1或D．1或
17．（2024·河北邯郸·二模）已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．5C．2D．
18．（2024·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·山东·二模）已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0B．1C．675D．2023
23．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
24．（2024·湖南·二模）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
25．（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
26．（2024·高一·重庆·阶段练习）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．
C．角A的最大值为D．面积的最大值为
27．（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
28．（2024·江苏南通·模拟预测）直线与抛物线相交于，两点，过，两点分别作该抛物线的切线，与直线均交于点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．，两点的纵坐标之和的最小值为
C．存在某一条直线，使得为直角
D．设点在直线上的射影为，则直线斜率的取值范围是
29．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
30．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，则（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心B．
C．D．
32．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
33．（2024·山东淄博·一模）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（ ）
A．当平面时，为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
34．（2024·高三·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024·高三·安徽合肥·开学考试）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
37．（2024·河北邯郸·二模）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ）
A．的图像关于点对称B．
C．D．
38．（2024·河北邯郸·二模）设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．的值为2
C．D．的面积与的面积之比为9
39．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数为奇函数
C．当时，函数恰有两个零点
D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则
40．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
41．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
三、填空题
42．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ．
43．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 .
44．（2024·高三·重庆·阶段练习）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则 ，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
45．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的取值范围是 .
46．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 .
47．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ．
48．（2024·浙江·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则 .
49．（2024·河北·二模）已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时， ．
50．（2024·河北·二模）阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．
①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．
②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，．
完成下列填空：
已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为 ．
51．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ．
52．（2024·宁夏·一模）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ．
53．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
54．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．
55．（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ．
56．（2024·安徽合肥·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ．
57．（2024·安徽合肥·二模）抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则 ．
58．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．
59．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
一、高考真题汇编的意义
1、增强高考考生的复习动力和信心。
2、提高高考考生的复习效率。使考生能够更好地梳理复习的重点，提高复习效率。
3、加深考生对知识点的理解和掌握。
二、高考真题汇编的内容
1、高考试题收录。高考真题汇编收录高考真题，涵盖了高考考试的各个学科。
2、答案解析。高考真题汇编提供了详细的答案解析，加深考生对知识点的理解和掌握。
3、复习指导。高考真题汇编还提供了一些复习指导，提高复习效率。
三、高考真题汇编的重要性
高考真题汇编不仅可以提高考生的复习动力和信心，增强考生的复习效率，而且还可以加深考生对知识点的理解和掌握，使考生更好地把握考试方向，为高考复习提供了有力的支持。本文介绍了高考真题汇编的意义、内容和重要性，分析了它对高考考生的重要作用，强调了它在高考复习中的重要性。
2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三十一）
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·高三·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一·天津·阶段练习）在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时，；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（ ）
A．
B．
C．函数在区间上单调递减
D．函数在区间上单调递增
7．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点都落在边上，记为；折痕与交于点，点满足关系式．以点为坐标原点建立坐标系，若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的，等腰梯形的分别与曲线切于点P、Q、，且在x轴上．则梯形的面积最小值为（ ）
A．6B．C．D．
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线、的斜率分别为，且．则（ ）
A．的斜率可能不存在，且不为0
B．点纵坐标为
C．直线的斜率
D．直线过定点
9．（2024·河北·二模）已知，是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·河北·二模）某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造，在扇形内取一点使得，以为半径作扇形，且满足，其中，，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，，正实数a，b，c满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·河南信阳·一模）已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A．4B．5C．6D．7
13．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·高三·四川成都·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
15．（2024·浙江·模拟预测）已知正数，，满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量和，定义：，．若平面向量满足，且和都在集合中，则（ ）
A．1B．C．1或D．1或
17．（2024·河北邯郸·二模）已知为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若直线和的倾斜角分别为和，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．5C．2D．
18．（2024·安徽合肥·二模）记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·安徽合肥·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线左支上，线段交轴于点，且．设为坐标原点，点满足：，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·山东·二模）已知函数，数列满足，，，则（ ）
A．0B．1C．675D．2023
23．（2024·全国·模拟预测）在等比数列中，，若，且的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
二、多选题
24．（2024·湖南·二模）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
25．（2024·湖北·二模）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
26．（2024·高一·重庆·阶段练习）的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若，则（ ）
A．B．
C．角A的最大值为D．面积的最大值为
27．（2024·辽宁鞍山·二模）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
28．（2024·江苏南通·模拟预测）直线与抛物线相交于，两点，过，两点分别作该抛物线的切线，与直线均交于点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．，两点的纵坐标之和的最小值为
C．存在某一条直线，使得为直角
D．设点在直线上的射影为，则直线斜率的取值范围是
29．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数，设，．且关于的函数．则（ ）
A．或
B．
C．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
D．当时，存在关于的函数在区间上的最小值为6，
30．（2024·河北·二模）已知，，其中，．若，则（ ）
A．B．
C．D．
31．（2024·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心B．
C．D．
32．（2024·河南信阳·一模）若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
33．（2024·山东淄博·一模）把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（ ）
A．当平面时，为的中点
B．三棱锥外接球的表面积为
C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为8
34．（2024·高三·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024·高三·安徽合肥·开学考试）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
36．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
37．（2024·河北邯郸·二模）已知函数的定义域为，其导函数为，若函数的图象关于点对称，，且，则（ ）
A．的图像关于点对称B．
C．D．
38．（2024·河北邯郸·二模）设拋物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．的值为2
C．D．的面积与的面积之比为9
39．（2024·安徽合肥·二模）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数为奇函数
C．当时，函数恰有两个零点
D．设数列是首项为，公差为的等差数列，则
40．（2024·安徽合肥·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则（ ）
A．
B．对任意成等比数列
C．对任意，都存在，使得成等差数列
D．若，则数列递增的充要条件是
41．（2024·安徽黄山·二模）已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．当时，数列是递增数列
C．当时，若数列是递增数列，则
D．当时，
三、填空题
42．（2024·江苏苏州·二模）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为 ．
43．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 .
44．（2024·高三·重庆·阶段练习）记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则 ，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为 ．
45．（2024·高一·四川德阳·阶段练习）若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的取值范围是 .
46．（2024·江苏南通·模拟预测）在长方体中，，，，分别是棱，的中点，则平面截该长方体所得的截面为 边形，截面面积为 .
47．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知“”与“”互为充要条件，则“”和“”的最小值之和为 ．
48．（2024·浙江·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则 .
49．（2024·河北·二模）已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时， ．
50．（2024·河北·二模）阅读下列两则材料：
材料1．圆锥曲线的轴与顶点的定义：对平面内一圆锥曲线，若存在直线，使得对于曲线上任意一点，要么点在直线上，要么曲线上存在与点相异的一点，使得点与点关于直线对称，则称曲线关于直线对称，直线称为曲线的轴，曲线与其轴的交点称为曲线的顶点．
材料2．某课外学习兴趣小组通过对反比例函数的图象的研究发现：反比例函数的图象是双曲线，其两条渐近线为轴和轴，两条渐近线的夹角为．
①若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，由此可求得其离心率为．
②若，则将与联立可求得双曲线的顶点坐标为，．
完成下列填空：
已知函数的图象是双曲线，直线和轴是双曲线的两条渐近线，则双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为 ．
51．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ．
52．（2024·宁夏·一模）在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是 ．
53．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
54．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．
55．（2024·河北邯郸·二模）在长方体中，，平面平面，则截四面体所得截面面积的最大值为 ．
56．（2024·安徽合肥·二模）已知实数，满足，则的最小值为 ．
57．（2024·安徽合肥·二模）抛物线的焦点为，准线为为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，与轴交于点，若，则 ．
58．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为 若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为 ．
59．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
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