北师大版八年级数学下册第六章平行四边形B卷压轴题考点训练(原卷版+解析)

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2．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．
3．如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是________．
4．已知在中，，，点，分别在直角边和上运动，，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为________．
5．如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．
6．在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．
7．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
8．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
9．如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．
10．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______．
11．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为________．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：
(1)求的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
13．探究题：
(1)方法探索】小米遇到了这样的问题：
如图1，两条相等的线段，交于点，，，连接，，求证：
．
小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
请将解题过程补充完整．
(2)【方法应用】如图2，在梯形中，，延长，交于点，在上截取，过点作交于，则线段、、的关系是______．
(3)【解决问题】
如图3，正方形边长为4，，，在上，且．则四边形周长的最小值是__．
14．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．
(1)求证：；
(2)探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若，在上作一点P，使．
①求证：；②求的周长（用含m的代数式表示）．
15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
16．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．
证明：如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴______， ______．（____________）（填推理依据）
∵，
∴，
∴．
【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．
【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______．
第六章 平行四边形B卷压轴题考点训练
1．如图，在中，是中线，是边上一动点，将沿折叠得到，若点（不与点重合）在的角平分线上，则的长为 _____．
【答案】或
【详解】解：如图1，当点在的角平分线上时，连接
，
，
，
由折叠可知，，
是中线，
，
，
，
，
∴是的中点，
∵，
，，
∵是的中点，∴，
在中，，
，
；
如图2，当点在的角平分线上时，连接
由折叠知，，
，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为或，
故答案为：或．
2．如图，平行四边形中，，，，P为边上的一动点，则的最小值等于______．
【答案】
【详解】如图，过点P作，垂足为Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点C、P、Q三点共线时有最小值，且为的长，
∴此时．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
3．如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是________．
【答案】
【详解】如下图，连接，．
∵点N为的中点，点M为中点，
∴，
∴当最小时，最小．
∵点F为的中点，
∴．
由折叠的性质可知，
∴点在以F为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内．
∵，
∴当共线时，最小，即为的值．
过点F作，如下图．
∵四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
4．已知在中，，，点，分别在直角边和上运动，，当点到达点时，点停止运动，点为的中点，则的最小值为________．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，，的中点，连接，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴,，
根据题意可得，当在点时，在点，点与点重合，
当在点时，在点，点与点重合，
∴当在上运动时，在上运动，当时，取得最小值，
在中，，
∴,
故答案为：．
5．如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．
【答案】2或或
【详解】解：①时，过点作，垂足为点．
∴为的中点，
则，，取为的中点，
∴，为的中位线，即，
∴、、三点在一条线上，即，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，是等腰三角形；
②时，则，
∵，，
∴，
∴
则，
∴当B时，是等腰三角形；
③时，则点在的垂直平分线上，取中点，连接、．
易知为矩形，∴，，
∴、、在同一直线上，
∴为的中位线，
∵，，
∴，，，
∴，
即：，
整理得：，即，
解得：或（舍去）
∴当时，△CDF是等腰三角形．
综上，当、、时，是等腰三角形．
故答案为：2或或．
6．在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．
【答案】2
【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵M是的中点，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
同理得，，，
，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，∴．故答案为：2．
7．如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，
．
，，
∴四边形为平行四边形，
．
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
8．如图,中，，，在的同侧作正、正和正，则四边形面积的最大值是______________．
【答案】
【详解】延长交于点，
∵在正和正中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积，
又∵，
在中，由勾股定理得：，
∴，∴，
即四边形面积的最大值为，
故答案为：．
9．如图，在平行四边形ABCD中，，，点H、G分别是边DC、BC上的动点，其中点H不与点C重合，连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，连接AG，
因为点E为AH的中点，点F为GH的中点，
所以EF=，故EF的最小值，
只有当AG取得最小值时，才能成立，AG的最小值为垂线段AG，
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
因为，，
所以BM=2，
AM=，
故EF的最小值为=
故答案为：．
10．如图，在平行四边形OABC中，、，若，直线l经过D点并且把平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式是______．
【答案】
【详解】解：∵平行四边形OABC的顶点坐标分别为，、，
∴，
∵将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分的直线一定过平行四边形OABC的对称中心Q，（对角线的交点）且OQ=BQ
∴平行四边形OABC的对称中心，
设直线l的解析式为，
把，代入，
得，解得
∴该直线的函数表达式为．
故答案为：．
11．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝9，点M为BC的中点，AD平分△ABC的外角∠CAE，交BC延长线于点D，过点M作MN∥AD，交AB于点N，则AN的长为________．
【答案】
【详解】解：NA上截取NF=BN，连接CF，如图
∵BM=MC，NF=BN，
∴MNCF，
∵
CFAD，
则∠AFC=∠EAD，∠ACF=∠DAC，
∵AD平分∠CAE，
∴∠DAC=∠EAD，
∴∠ACF=∠AFC，
∴AF=AC=9，
∴BF=AB-AF=11，
∵MN是△BCF的中位线，
∴BN=NF=，
∴AN=NF+AF=．
12．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：
(1)求的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)72
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：，
解得
，，
，，
；
（2）解：如图1，过点E作轴于M，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：存在；
，
，，
，
如图：设点P的坐标为，
当以为对角线时，
解得
此时，点的坐标为；
当以为对角线时，
解得
此时，点的坐标为；
当以为对角线时，
解得
此时，点的坐标为；
综上，点P的坐标为或或．
13．探究题：
(1)方法探索】小米遇到了这样的问题：
如图1，两条相等的线段，交于点，，，连接，，求证：
．
小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．
请将解题过程补充完整．
(2)【方法应用】如图2，在梯形中，，延长，交于点，在上截取，过点作交于，则线段、、的关系是______．
(3)【解决问题】
如图3，正方形边长为4，，，在上，且．则四边形周长的最小值是______．
【答案】(1)答案见解析
(2)且
(3)
【详解】（1）解：如图1 ：
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
；
（2）如图2：过点F作交的延长线于H，延长交于M，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
的关系是且；
（3）
如上图，连接， 在中，，要求四边形周长的最小值，由于是定值，所以只要为最小值即可，把平移到与交于点，作点关于直线的对称点，连接与交于点P，
，当时，为最小值，最小值为的长度，过点E作于F，则四边形是矩形，
，，
，
，
在中，
，
四边形周长的最小值为．
14．如图1，线段．点D为射线上一动点，以为边作菱形使，且点E、F与点N在的两侧，在线段上取一点G，使，直线与线段相交于点H（点H与点M、N不重合），与相交于点K．
(1)求证：；
(2)探索与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，若，在上作一点P，使．
①求证：；
②求的周长（用含m的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)，详见解析
(3)①见解析；②
【详解】（1）∵四边形是菱形，
∴
在和中，
∴
（2），理由如下：
∵
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
（3）①∵，，
∴
∴
②如图2，过点E作交于点Q
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴的周长
∴的周长为．
15．平行四边形中，，，在的延长线上，在上，连接．
(1)如图1，连接，若，，求的面积；
(2)如图2，将绕着逆时针旋转，连接交于点，若点为中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，取中点，当，时，直接写出的面积.
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；
，
，
．
（2）
证明：过作交的延长线于点，过作交于点，
，是的中点，，
，
点为中点，
是的中位线，
；
由（1）得，，，
，
，，
，
，
；
将绕着逆时针旋转，
，，
，
又，
，
在和中
，
≌，
，，
，，
，
即：，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
（3）
解：连接、、，
由（2）得：，，，
，
，
，
点为中点，
四边形是平行四边形，，
，，
，，
由（1）得：，
，
，
又是的中点，
，
、、三点共线，，
，
是直角三角形，
，
，
设，则有，，
，，
，，
在中：，
即：，
解得：，
，，
，
，
，
．
16．【问题原型】如图①，在中，点D是的中点，连接，．求证：．请补全证明过程．
证明：如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴______， ______．（____________）（填推理依据）
∵，
∴，
∴．
【结论应用】如图②，中，点D是的中点，连接，将沿翻折得到，连接，交于点O，连接．请判断与的位置关系，并说明理由．
【应用拓展】如图③，在中，，点E是边的中点，连接，将沿翻折得到，连接并延长，交于点F．若，，，则的长为______．
【答案】【问题原型】；；等边对等角；【结论应用】；理由见解析【应用拓展】
【详解】证明：【问题原型】如图①，点D是的中点（已知），
∴（中点定义）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴，，（等边对等角）
∵，
∴，
∴；
故答案为：；；等边对等角．
解：【结论应用】；理由如下：
根据折叠可知，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
根据【问题原型】中的结论可知，，
∴，
∴．
解：【应用拓展】过点D作于点G，连接交于点O，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴在中，根据勾股定理可得：
，
∵为的中点，
∴，
∴，
根据勾股定理可得，，
根据折叠可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：．