2024年江苏省泰州市靖江市中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数中化简多重符号，逐项计算，即可解答，熟知相反数的概念是解题的关键．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误，
故选：C．
2. 下列四个展开图中，可以折叠成一个无盖的正方体纸盒的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体11种展开图，添上1个小正方形，是正方体11种展开图的可以折叠成一个无盖的正方体盒子，据此分析, 关键是具有一定的空间想象能力，掌握正方体11种展开图．
【详解】解：A、无法折叠成正方体，故不符合题意；
B、有一个面会重叠，故不符合题意；
C、有一个面会重叠，不符合题意；
D、可以折叠成一个无盖的正方体盒子，符合题意，
故选：D．
3. 下列各式中，化简后能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义对选项进行一一判定即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并；
B、与是同类二次根式，故能合并；
C、=3，所以与不是同类二次根式，故不能合并；
D、与不是同类二次根式，故不能合并．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是把二次根式的化简．
4. 四个实数：1，2，3，x的极差等于这4个数之和，则这四个数的中位数是（ ）
A. 1.5B. 2.5C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查中位数和极差，分类讨论最大数与最小数的情况，列出方程求出符合题意的的值，再依据中位数的定义求解即可，解题的关键是掌握极差的概念，并据此求出的值．
【详解】解：若最大数为，则，此时方程不成立；
所以最大数为3，
若最小数为1，则，解得，这与最小数为1相矛盾，舍去；
若最小数为，则，解得，
此时数据为、1、2、3，
所以这四个数的中位数为，
故选：A．
5. 下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数，一次函数和反比例函数的性质，根据一次函数的性质解答即可，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意；
B、函数中，时，随的增大而增大，不符合题意；
C、函数中，只是在每一个象限中，随的增大而减小，不符合题意；
D、函数中， 随的增大而减小，符合题意．
故选：D．
6. 如图，矩形中，，，点F在上，且，E是边上的一动点，M、N分别是、上的点，，，则在点E从B向C运动的过程中，线段所扫过的图形面积是（ ）

A. 8B. 10C. 12D. 14
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质知识，分情况进行讨论，当E与或当E与重合时找到的位置，结合图象即可判断扫过区域的形状并求出面积，解题的关键是作出正确的图形．
【详解】解：如图所示：当点E与点重合时，，，
当点E与点重合时，，：

，，，
，
，
四边形为平行四边形，
扫过的区域为平行四边形，
同上理可得，，
，和的距离为，
线段所扫过的图形面积是，
故选：A．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 当______时，分式的值为0．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零求出答案即可，
正确把握定义是解题关键．
【详解】解：分式的值为0，
，
解得：．
故答案为：2．
8. 我国首个国家级陆相页岩油示范区——吉庆油田作业区，2024年一季度页岩油产量达吨，创历史新高．将数字用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 若实数m，n是方程：的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：、是方程的两个实数根，
∴，
故答案为：．
10. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红色球的频率为，则估计该布袋中红色球有______个．
【答案】15
【解析】
【分析】这道题主要考查的是频数和频率的相关的知识点，熟悉相关的知识是解答这道题的关键所在．根据频数总数频率计算即可．
【详解】
故答案为：15．
11. 用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设_____．
【答案】a≤b
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
【详解】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”
第一步应假设a≤b，
故答案为：a≤b．
【点睛】本题主要考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题的关键．
12. 已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，把各数代入即可求解．
【详解】∵4×9=62，，，
∴
故
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则．
13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．
【答案】6.
【解析】
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ．
14. 若，则M的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
当时，原式取最小值2，
故答案为：2．
15. 若点在直线上，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和为6，则a的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查知识点为象限内的符号，应先判断出点的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标，熟知象限内的符号特征是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得直线经过第一、二、四象限，，
①当第一象限时，
可得，解得，
，符合前提条件；
②当第二象限时，
可得，解得，不符合前提条件；
③当在第四象限时，
可得，解得，
，符合前提条件，
故a的值为或，
故答案为：或．
16. 已知，如图，点C在上，，，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】作交的延长线于点N，先根据证明，得到，设，则，根据平行线的性质可证明，得到得到，解出，从而得出，进而得出结果即可．
【详解】解：如图，作交的延长线于点N，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
或（小于零舍掉），
，即，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，一元二次方程的应用，准确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说明．
【答案】（1）小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是
（2）正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是，用树状图说明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；
【小问2详解】
画树状图得：
共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 为了解某校七~九年级学生的视力情况，该校数学兴趣小组收集有关数据，并进行整理分析．
【收集数据】
（1）数学兴趣小组设计了以下三种调查方案：
方案一：随机抽取300名女生进行调查；
方案二：分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查；
方案三：从初一年级随机抽取8个班级共300名学生进行调查．
其中抽取的样本具有代表性的方案是 ；
【整理数据】
（2）抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生视力情况频数表
则 ；

【分析数据】
（3）兴趣小组在分析数据时发现，这次抽样调查的平均数和中位数是一样的．有同学就提出：在生活中知道一组数据的平均数，则这个平均数也就处于这组数据的中游水平．你认为他的说法对吗？请说明理由．
【答案】（1）方案二；（2）159；（3）不对，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查、频数表、扇形统计图、平均数和中位数，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
（1）根据题意和选取样本要具有代表性，可以判断哪个方案最合理；
（2）根据频数表和扇形统计图中组的信息可求出调查的学生总人数，再乘以组所占的百分比即可得；
（3）根据平均数和中位数的定义即可得．
【详解】解：（1）因为分别从三个年级各随机抽取100名学生进行调查具有代表性，
所以抽取的样本具有代表性的方案是方案二，
故答案为：方案二．
（2），
故答案为：159．
（3）他的说法不对，理由如下：
因为平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，平均数容易受个别极端值影响；中位数不受个别偏大或数偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势，
所以他的说法不对．
20. 在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少，若两人各收割6亩水稻，则乙比甲多用0.4小时完成任务．求甲、乙两人分别操控A，B两种型号的收割机每小时各能收割多少亩水稻？
【答案】甲操控型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割6亩水稻
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以，设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，利用工作时间工作总量工作效率，结合乙比甲多用0.4小时完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出甲操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，再将其代入中即可求出乙操控型号收割机每小时收割水稻的亩数，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程．
【详解】解：设甲操控型号收割机每小时收割亩水稻，则乙操控型号收割机每小时收割亩水稻，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲操控型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控型号收割机每小时收割6亩水稻．
21. 如图，在正方形中，点E为边上一点．
（1）请用直尺与圆规在边上画一点F，使得恰是的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了复杂作图，特殊角的三角函数，熟练利用同弧所对的圆周角相等画出相等角是解题的关键．
（1）以点为圆心，长度为半径作圆交的延长线于点，连接，以为弦，作圆，交于点；
（2）根据（1）可得两点重合，利用三角函数求得，即可得到，即可解答．
小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
解：根据（1）可得两点重合，
，，
，
四边形是正方形，
，
,
．
22. 如图，已知，，三点在反比例函数的图像上，且．
（1）当时，请比较与的大小关系，并说明理由；
（2）若，，求该函数的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何综合以及解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先因为，所以，，，再代入，得出，再比较与的大小关系，即可作答．
（2）先表示，再结合，，解方程组，即，得出，再代入，即可作答．
【小问1详解】
解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上，且
∴，，
则
则，
∵
∴
【小问2详解】
解：∵已知，，三点在反比例函数的图像上
∴
∵，，
∴
整理得，
∴
解得，（舍去）
经检验：是原分式方程的解，
∴．
∴
23. 如图，是的外接圆，．D是上一点，连接，与交于点F，点E在的延长线上．
（1）结合以上信息，从①与相切；②；③这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是 ， ；结论是 ．（只要填写序号）
（2）在（1）的条件下，若，，求的直径．
【答案】（1）①②；③；如果与相切，，那么，为真命题，理由见解析（答案不唯一）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练运用上述性质进行论述是解题的关键．
（1）通过切线的性质，进行角度的转换即可解答；
（2）证明求得，过点作的垂线段，交于点，求得，再证明，即可解答．
【小问1详解】
解：选择的条件①②；结论是③，命题为：如果与相切，，那么，为真命题，理由如下：
与相切，
，
，
，
，
，
；
选择的条件①③；结论是②，命题为：如果与相切，，那么，为真命题，理由如下：
与相切，
，
，
，
，
，
；
选择的条件②③；结论是①，命题为：如果，，那么与相切，为真命题，理由如下：
，
，
，
，
，
，
与相切；
故答案为：①②；③（答案不唯一）
【小问2详解】
解：，
，
，
即，
解得（负值舍去），
如图，过点作的垂线段，交于点，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
，
即，
可得，
的直径为．
24. 如图，二次函数的图像与x轴交于点，两点，P为抛物线顶点，D为对称轴l左侧图像上一动点，连接，过点D作交l于点E，过点P作交抛物线于点F，过点F作于点G．
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明：随着D点的变化，始终存在．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求二次函数，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键．
（1）将，代入解析式即可解答；
（2）证明，利用相似三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：把，代入，
可得，
解得，
抛物线的表达式为；
【小问2详解】
证明：由可得，
，
，
，
，
，
设点，
则，，，
可得，即，
，即．
25. 消防云梯车中的数学
问题解决：
【答案】任务一：三角形的稳定性；任务二：救援转台到地面的距离约为；任务三：图3中救援台相对于图2上升的高度约是．
【解析】
【分析】任务一：根据三角形的稳定性可得答案；
任务二：如图，过作于，过作于，求解，，证明，可得，，再进一步的利用三角函数可得答案；
任务三：如图，过作于，过作于，延长与交于点，求解，，再进一步的利用三角函数求解即可．
【详解】解：任务一：在作业过程中，使用支撑臂蕴含的数学原理是三角形的稳定性；
任务二：如图，过作于，过作于，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴救援转台到地面的距离约为；
任务三：如图，过作于，过作于，延长与交于点，
由（2）得：，
∵，
∴，
由，，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴图3中救援台相对于图2上升的高度是．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的稳定性等知识点，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
26. 图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图．
设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．
（1）①千欧，千欧，计算 千欧；
②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：；
（2）如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值；
（3）如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示）
【答案】（1）①；②见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅助线是解题的关键．
（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答；
②过点作的平行线，交于点，证明为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答；
（2）过点作的平行线，交于点，得到与的关系，利用相似三角形的性质，即可解答；
（3）过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，得到求得的长，利用相似三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧，
故答案为：
证明：②如图1，过点作的平行线，交于点，
，是的角平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
可得，
,
故；
【小问2详解】
解：如图2，过点作的平行线，交于点，
同上述原理可得，，
，
可得，
即，
整理后可得，
即，
；
【小问3详解】
解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点，
同上述原理可得，，
，
，
可得，
即，
整理后可得，
即．组别
视力段
频数
A
15
B
90
C
m
D
36
素材1
图1是消防云梯车的实物图，主要由车身、伸展臂、延展臂、支撑臂与救援转台组成，且在作业过程中，车身、救援转台与地面始终平行，延展臂可绕着伸展臂的端点旋转一定的角度．
素材2
图2是某型号消防云梯车某一时刻工作状态下的平面示意图，救援转台、延展臂、伸展臂、支撑臂、车身与地面在同一平面内，延展臂与支撑臂平行，即．车身（G、H为车轮圆心，均距离地面）、延展臂（B在C的左侧），伸展臂，支撑臂与车身形成的夹角，即，伸展臂与车身形成的夹角，即．
素材3
根据救援需要，经过模拟分析，在素材2的条件下，需将延展臂绕点C旋转到与支撑臂互相垂直时，救援转台上的消防员方可开展救援工作，如图3所示．
任务一
在作业过程中，使用支撑臂蕴含的数学原理是 ；
任务二
求出图2中，救援转台到地面的距离；（结果精确到）
任务三
图3中救援台相对于图2上升的高度是多少？（结果精确到）
（参考数据：，，，，，）