2024年江苏省泰州市靖江市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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请注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数减法的应用，用泰州的气温减去哈尔滨的气温即可求解．
详解】解：由题意，得
．
故选A．
2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式乘以单项式、幂的乘方运算、负整数指数幂公式、同底数幂的除法法则分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A. 300，150B. 300，200C. 300，300D. 600，300
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数、众数的概念求解即可．
【详解】解：众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；
中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是＝300；
故选：C．
【点睛】本题主要考查众数，中位数和平均数，掌握众数，中位数的概念和平均数的求法是解题的关键．
5. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断二次函数系数的正负，根据图象可得抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，由此即可得出答案．
【详解】解：由图可得：抛物线开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
，，，
，
故选：B．
6. 如图，点的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段．若点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
过C作轴于D，轴于E，根据将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，可得是等边三角形，又点的坐标为，点的坐标为，即得，可得，，从而，即可求解．
【详解】解：过C作轴于D，轴于E，如图所示：
∵轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请将答案填写在答题卡上）
7. 使在实数范围内有意义的x应满足的条件是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于零”，分式有意义的条件“分母不为零”解答．
【详解】解：由题意得：，且，
解得，
故答案为：．
8. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有___________条．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=，
，
，
∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴，
故答案为：．
9. 已知，那么代数式的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了整式加减－化简求值，先去括号合并同类项，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：6．
10. 2024年3月初全国两会在北京召开，会议对2023年工作进行了回顾，经济总体呈现出回升向好趋势，国内生产总值超过126万亿元，增长率，增速居世界主要经济体前列．数“126000000000000”可以用科学记数法表示___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是展开图扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面半径求出底面周长，根据勾股定理求出母线长，然后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面周长为，
由勾股定理得：圆锥的母线长为：，
∴圆锥的侧面展开图的面积为：，
故答案为：．
12. 某校为了了解初二学生每周零花钱的消费情况，随机抽取了该校50名初二学生进行调查，调查的结果绘制成如图所示的扇形图．根据图中的信息，估计该校500名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为__________人．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查了由样本估计总体，先求出被调查的学生中消费超过50元的学生人数所占的比例，再乘以即可得出答案．
【详解】解：被调查的学生中消费超过50元的学生人数所占的比例为：，
估计该校500名初二学生每周零花钱消费超过50元的学生人数约为（人），
故答案为：．
13. 若是一元二次方程的一个根，则其另一个根是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根是，由题意得：，计算即可求解．
【详解】解：设另一个根是，
由题意得：，
解得：，
其另一个根是，
故答案为：．
14. 若一个二次函数的最小值为3，则该二次函数的表达式可以是___________．（写出一个符合题意的函数表达式即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最小值为3，则函数的开口向上，顶点坐标为，据此即可写出函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的最小值为3，
∴函数的开口向上，顶点坐标为，
∴函数的表达式可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的长为___________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．连接，根据，，证出，求出，在中，，，解得、的长度即可求出的长度．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
∵，，
∴，
故答案为：5．
16. 如图，四边形是正方形，点在射线上，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，在上取点，连接，使，设正方形的边长为，证明得出，得到当最小时，的值最小，作的外接，连接、，则，由勾股定理得出，结合，即可得出答案．
【详解】解：如图，在上取点，连接，使，设正方形的边长为，
，
，
，
，
，为定值，
当最小时，的值最小，
作的外接，连接、，则，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）1；（2）无解
【解析】
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质化简，再算加减即可；
（2）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）两边都乘以，得
∴
∴
∴；
检验：当时，，
∴是增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的性质，解分式方程等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
18. 某市今年中考理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定自己的考试内容，规定：每位考生必须在三个物理实验（用、、表示）和三个化学实验（用、、表示）中各抽取一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验的概率是___________；
（2）用列表或画树状图的方法，求小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．．
（1）根据简单概率公式计算即可得出答案；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．．
【小问1详解】
解：三个物理实验，用、、表示，
小刚抽到物理实验的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如图所示：
，
结果，，，，，，，，共有种等可能出现的结果，其中小刚抽到物理实验和化学实验的结果有种，
小刚抽到物理实验和化学实验（记作事件）的概率是．
19. 图1是某商场今年1－5月份各月商品销售总额统计图，图2是该商场今年1－5月份服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比统计图．观察图1和图2，解答下面问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1－5月份的销售总额一共是370万元，请你根据这一信息补全图1；
（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？
（3）小强观察图2后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？
【答案】（1）见详解 （2）10.5万元
（3）不同意，5月份服装部销售额比4月份增加了，见详解
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况．
（1）由条形统计图可知：该商场4月份的销售额为万元，故可补全统计图；
（2）由折线图可知：商场服装部5月份的销售额月份的总销售额服装部的月销售额占当月商场的百分比，即万元；
（3）5月份服装部的实际的销售额有万元，而4月份服装部的实际的销售额只有万元，则李强的看法错误．
【小问1详解】
解：4月份销售额为：万元，
所以补全统计图为：
【小问2详解】
解：万元；
【小问3详解】
解：李强的看法错误，4月份服装部的实际的销售额只有万元，
由于，
所以实际的销售额还是5月份多．
20. 证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可．
【详解】如图，即为所求作的三角形．
已知：如图，中，．
求证：．
证明：法一：作的平分线，交于点
在和中
．
法二：取的中点为，连接．
在和中
法三：过点作于点
在和中
．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键．
21. 如图1是某公司电梯安装的一款人脸识别门禁（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2是其侧面示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头离地面高度cm，人站在电梯内与识别门禁摄像头最远的水平距离为．即．小王的身高，当小王直立站在点处时，请通过计算说明这时小王能被识别吗？若不能，则小王最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（参考数据：，，）
【答案】不能，小王最少需要下蹲才能被识别
【解析】
【分析】本题考查三角函数的实际应用，过点作于点，交于点，于点，于点，可得矩形和直角三角形．通过解求出，再比较与小王的身高的关系即可．
【详解】解：小王不能被识别．
理由：过点作于点，交于点，于点，于点．可得矩形和直角三角形．
，，
，．
，
．
．
∵，
∴小王不能被识别；
∵，
∴小王最少需要下蹲才能被识别．
22. 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．
（1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成；
第二步：构造边长为的正方形（如图2）；
第三步：求得右下角正方形面积的值是①；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
将代入，
可得②，
，
③．
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺内容；
（2）请参照上述方法解方程．
【答案】（1）①4；②16；③2
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程．
（1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案；
（2）类比例题求解、画图、计算即可．
【小问1详解】
解：①，
；
②
将代入，可得；
③，
，
或，
，
；
【小问2详解】
解：第一步：将方程变形成，
第二步：构造边长为的正方形如图，
第三步：求得右下角正方形面积的值是；
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积
将代入，可得，
，
或，
，
．
23. 随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件30元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为元，获得的利润为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大，并求出最大利润．（）
【答案】（1）
（2）当定价为每件42元时，才能使利润最大，最大利润为16800元
【解析】
【分析】本题考查列二次函数，二次函数的图象及性质．
（1）设该T恤的定价为元，则每件T恤利润为，销售量为元，根据总利润＝单件利润×销售量即可列出函数关系式；
（2）先根据“要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于”求出定价x的取值范围，再根据二次函数的图象及性质即可求解．
【小问1详解】
根据题意可得：
；
与之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
由题意可得：
，
解得，
，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值为：（元），
答：当定价为每件42元时，才能使利润最大，最大利润为16800元．
24. 已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．
（1）如图1，当的延长线恰好经过点A时，求的值；
（2）如图2，作，垂足为点，连接．试判断与的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）
（2）相等，见详解
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂径定理，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）先由“”证明，根据垂径定理可得即可求解；
（2）延长交直线于点，取中点，连接、，由，得点四点共圆，可证，得到，由，即可求证．
【小问1详解】
解：，，
，
∵在和中，
，
，
，
是半径，，
，
∴；
【小问2详解】
证明：
延长交直线于点，取中点，连接、，
∵，
，
，
点四点共圆，
，
又，
，
，
在和中，
，
∴，
，
．
25. 制作简易水流装置
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键．
任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解；
任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案；
任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案．
【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：．
，
，
把点代入抛物线得：，
把代入得：．
解得：，
，
∴水流抛物线的函数表达式为：；
任务二、不能，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三、
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去），
圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，
，
即．
26. 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图像上的一个动点，连接并延长交反比例函数的图像于点，过点A作轴于点．
（1）过点作轴，垂足为点，连接．当四边形是平行四边形时，求的值；
（2）连结，若，求的面积；
（3）如图2，过点作，交反比例函数的图像于点，连接．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？若不变，求出的面积（用含有的代数式表示）；若变化，请说明理由．
【答案】（1）1 （2）1
（3）不变，
【解析】
【分析】（1）设点的坐标为，先证明四边形是平行四边形，则，
因此可得的坐标为，再代入即可求解；
（2）过点作轴于点，如图1，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）过点作轴于点，与轴交于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．
【小问1详解】
解：设点的坐标为，
∵四边形是平行四边形
，
，
∴四边形是平行四边形
的坐标为
；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，如图1，
轴，
，
，
，
当时，由反比例函数k的几何意义知，，
∴，
即，
而与共高，
；
【小问3详解】
解：不改变．
理由如下：过点作轴于点，与轴交于点，则，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
，
，
又，
，
∴
，
解得
异号，，
，
，
∴与同底等高

对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．设计
方案
如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知
轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一
求水流抛物线的函数表达式；
任务二
现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三
还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．