浙江省衢州市旅游学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份浙江省衢州市旅游学校2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{1，2}D．∅
2．（2分）“x＞9”是“x2＞81”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2分）函数的定义域为（ ）
A．[﹣1，0）∪（0，1]B．[﹣1，1]
C．（0，1]D．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）
4．（2分）已知点A（1，2），B（4，1），则＝（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣6，2）C．（10，6）D．（6，﹣2）
5．（2分）若x2sinα+y2csα＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2分）已知，则sinθ＝（ ）
A．或﹣B．C．﹣D．或﹣
7．（2分）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）方程+＝10所表示的曲线为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
9．（2分）过点P（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是（ ）
A．3x﹣2y+2＝0B．2x+3y+7＝0
C．3x﹣2y﹣12＝0D．2x+3y+1＝0
10．（2分）直线y＝x+1与椭圆2x2+y2＝2相交，所截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．3
11．（2分）F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，点A的坐标是（3，2），当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标是（ ）
A．（4，2）B．（﹣4，2）C．（2，2）D．（﹣2，2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4.0分，共24分）
12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝ .
13．（4分）已知函数，则该函数的定义域为 ．
14．（4分）已知x＞2，则的最小值为 ．
15．（4分）若圆锥的底面周长为4π，高为3，则圆锥的体积为 ．
16．（4分）如图所示，某几何体由正四棱锥和正方体构成，正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，则PB＝ .
17．（4分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为 .
三、解答题（本大题共6小题，共52分。）解答题应写出文字说明及演算步骤
18．（7分）计算：．
19．（8分）已知角α的终边上有一点P（4，3），求：
（1）；
（2）sin2α﹣cs2α．
20．（8分）已知圆心为（0，2）的圆与直线x+y+4＝0相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）求x轴被圆所截得的弦长．
21．（8分）张大爷要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上搭建花园的一边靠墙，另一边用总长为40m的栅栏围成如图形状．
（1）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时长方形边BC的长；若不能，请说明理由；
（2）长方形的边BC长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
22．（9分）若椭圆的焦距为2，离心率为，斜率为1的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆与A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求|AB|的值．
23．（12分）已知抛物线x2＝4y，斜率为k的直线l过其焦点F，且与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求直线l的方程；
（2）求△AOB的面积S；
（3）有（2）判断：当直线斜率k为何值时△ABC的面积S有最大值；直线斜率k为何值时△ABC的面积S有最小值．
2023-2024学年浙江省衢州市旅游学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共11小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，
∴A∩B＝{2}．
故选：A．
2．【答案】B
【解答】解：∵x2＞81，
∴x＞9或x＜﹣9，
∴“x＞9”能够推出“x2＞81”，“x2＞81”不能推出“x＞9”，
∴“x＞9”是“x2＞81”充分不必要条件，
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：∵函数有意义，
∴1﹣x2≥0且x≠0，
∴﹣1≤x＜0或x＜x≤1，
故选：A．
4．【答案】D
【解答】解：由题意得，＝（3，﹣1），
∴＝（6，﹣2），
故选：D。
5．【答案】D
【解答】解：依题意，，
则α在第四象限．
故选：D．
6．【答案】A
【解答】解：∵，
∴csθ＝，
∴sinθ＝＝±，
故选：A．
7．【答案】C
【解答】解：将抛物线化为标准方程为，
则其焦点坐标为．
故选：C．
8．【答案】B
【解答】解：方程+＝10表示点P（x，y）到定点F1（﹣3，0）和F2（3，0）的距离之和为定值10，
10＞|F1F2|＝6，
所以点P（x，y）的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，
故选：B。
9．【答案】D
【解答】解：设与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是2x+3y﹣C＝0，
∵该直线方程过P（1，﹣1），
∴2﹣3﹣C＝0，
∴C＝﹣1，
∴过点P（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0平行的直线方程是2x+3y+1＝0，
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：∵y＝x+1，2x2+y2＝2，
∴3x2+2x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∴直线y＝x+1与椭圆2x2+y2＝2相交，所截得的弦长为＝＝，
故选：B．
11．【答案】C
【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3+＝，
此时yP＝2，xP＝2，即P（2，2）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4.0分，共24分）
12．【答案】8.
【解答】解：f[f（﹣2）]＝f（5）＝5+3＝8.
故答案为：8.
13．【答案】{x|x＝+kπ，k∈Z}．
【解答】解：∵函数有意义，
∴sin2x﹣1≥0，
∴2x＝+2kπ，k∈Z，
∴x＝+kπ，k∈Z，
∴函数的定义域为{x|x＝+kπ，k∈Z}，
故答案为：{x|x＝+kπ，k∈Z}．
14．【答案】4．
【解答】解：∵x＞2，
∴＝﹣2+2≥2+2＝4，当且仅当x＝3时取等号，
故答案为：4．
15．【答案】4π．
【解答】解：∵圆锥的底面周长为4π，
∴圆锥的底面半径为＝2，
∴圆锥的体积为＝4π，
故答案为：4π．
16．【答案】。
【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接并延长PO交平面A′B′C′D′于点O′，连接O′B′，具体如下图所示，
∵几何体上层为正四棱锥，
∴O′是正四棱锥底面A′B′C′D′的中心，
∵正四棱锥侧棱长为，正方体棱长为1，
∴OB＝O′B′＝，
∴PO′＝＝，
∴PO＝PO′+OO′＝，
∴PB＝＝＝，
故答案为：。
17．【答案】.
【解答】解：因为双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
所以b＝a，
所以c＝＝a，
所以e＝＝，
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共52分。）解答题应写出文字说明及演算步骤
18．【答案】11．
【解答】解：＝3﹣1﹣1+9+1＝11．
19．【答案】（1）；（2）﹣．
【解答】解：（1）∵角α的终边上有一点P（4，3），
∴csα＝＝，sinα＝＝，
∴＝＝＝；
（2）sin2α﹣cs2α＝﹣＝﹣．
20．【答案】（1）圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18；
（2）圆与x轴的交点为（﹣，0）和（，0），弦长为2．
【解答】解：（1）∵（0，2）到直线x+y+4＝0的距离d＝＝3，
∴圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18；
（2）∵圆的标准方程为x2+（y﹣2）2＝18，圆与x轴相交时纵坐标为0，
∴x2+（0﹣2）2＝18，
∴x2＝18﹣4＝14，
∴x＝，
∴圆与x轴的交点为（﹣，0）和（，0），弦长为2．
21．【答案】（1）花园面积不能达到200m2；
（2）长方形的边BC长是15米，花园面积最大，最大面积是187.5m2．
【解答】解：（1）设栅栏宽BC为xm，长为（40﹣x）m，则花园面积y＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x（0＜x≤15），
∵﹣x2+20x＝200，
∴x＝20，
∵0＜x≤15，
∴花园面积不能达到200m2；
（2）∵y＝x×（40﹣x）＝﹣x2+20x二次项系数为负，对称轴为x＝20，
∴当x＝15时，y取得最大值，
∵当x＝15时，y＝﹣×152+20×15＝187.5m2，
∴长方形的边BC长是15米，花园面积最大，最大面积是187.5m2．
22．【答案】（1）椭圆的标准方程为；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的焦距为2，离心率为，
∴2c＝2，，
∴c＝1，a＝，
∴椭圆的标准方程为；
（2）∵椭圆的标准方程为，
∴椭圆的左焦点为（﹣1，0），
∴过椭圆的左焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x+1，
∵y＝x+1，，
∴3x2+4x＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝0，
∴|AB|＝＝．
23．【答案】（1）kx﹣y+1＝0；（2）2；（3）无论k取何值，面积S无最大值，当k＝0时，S＝2为最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），
∴斜率为k的直线l方程为y﹣1＝kx，即kx﹣y+1＝0；
（2）∵，
∴x2﹣4kx﹣4＝0，
∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
∴|AB|＝＝＝4（1+k2），
∵原点（0，0）到直线kx﹣y+1＝0的距离d＝，
∴△AOB的面积S＝d|AB|＝2；
（3）由（2）得x2﹣4kx﹣4＝0，
∴Δ＝16k2+16＞0，
∴k∈R，
∵S＝2，
∴无论k取何值，面积S无最大值，当k＝0时，S＝2为最小值．