山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

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1. 计算结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【详解】解，
故选：D．
2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：A．
3. 如图，能判定的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】A．∵，
∴，故A符合题意；
B．由，不能判定，故B不符合题意；
C．由，不能判定，故C不符合题意；
D．由，不能判定，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解题的关键．
4. 下列图形中，和互为余角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互余，进行判断即可．本题考查余角的意义，掌握余角的概念是正确判断的前提．
【详解】解：根据余角的定义，两角之和为，这两个角互余．
A、B、C中的和之和都不为，中，互为余角．
故选：D．
5. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 两直线平行，内错角互补B. 对顶角相等
C. 同角的余角相等D. 平行于同一直线的两条直线平行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题的知识，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．利用平行线的性质、对顶角的性质、互余的定义及平行线的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题，该选项符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，该选项不符合题意；
C、同角的余角相等，是真命题，该选项不符合题意；
D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题，该选项不符合题意．
故选：A．
6. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．
【详解】解：A、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、只有相同的项，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
7. 如图，AF是∠BAC的平分线， DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A. 25°B. 50°C. 75°D. 100°
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可求得∠BAC的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝25°，
∴∠BAC＝50°，
∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝50°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
8. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
9. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．分别将图①和图②中阴影部分的面积表示出来，二者相等即可得到答案．
【详解】解：图①中阴影部分的面积为，
图②中阴影部分的面积为，
．
故选：D．
10. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么，，，，，，…，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了新定义实数运算规律性问题的解决能力，关键是能准确根据题意猜想、归纳．
先根据题意归纳出结果的规律，再运用该规律进行求解．
【详解】解：∵，，，，，，…，
∴的结果按，1这四个数循环的规律出现，
∵，
，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）
11. 的计算结果是__________
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方的运算求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
12. 已知，则的补角等于____________°．
【答案】
【解析】
【分析】根据补角的概念计算即可．
【详解】解：,
的补角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查补角的概念，关键在于牢记基础知识．
13. 命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是_____________．
【答案】两直线平行
【解析】
【分析】根据题设是前提条件，结论是前提条件得到的结果，即可得到答案.
【详解】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是两直线平行，结论是同旁内角互补，
故答案为两直线平行.
【点睛】本题主要考查了命题题设的基本概念，题设是命题的前提条件，理解题设的概念是做题的关键；在做题时，还要理解结论的概念，即结论是前提条件得到的结果.
14. 若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】逆用同底数幂的乘法，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
15. 如图，，按如下步骤操作：①以点A为圆心，分别交，于D，E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线．若，为__度．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理、作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．由作图步骤可知，，再结合三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：由作图步骤可知，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：40．
16. 如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；、分别平分、；、分别平分、……以此类推，得点，则度数为 __度．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理分别求得，，的度数，再总结出变化规律，根据规律得出结论即可．
【详解】解：，
，
，分别平分，
，，
，
，
，，分别平分和，
，，
，
，
，分别平分，，
，，
，
，
由上面规律得：，
∴度，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，关键是熟练应用这些知识解题．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）12
【解析】
【分析】本题考查了单项式乘多项式，负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可；
（2）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）
．
18. （1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先算乘方，再算除法，即可解答；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
19. 请把以下证明过程补充完整，并在下面的括号内填上推理理由：
已知：直线，直线，．求，的度数．
解：∵（已知），
∴ 度（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（ ）．
∴ 度．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质进行求解，即可解答．
【详解】解：∵a∥b（已知），
∴度（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∴度，
故答案为：107；两直线平行，同旁内角互补；73．
20. 根据要求完成画图或作答：
如图所示，已知点A、B、C是网格纸上的三个格点，分别连接、、．
（1）过点C画线段的平行线CD，点D在点C的右侧；
（2）过点C画线段的垂线段，垂足为点E；
（3）线段 的长度是点C到线段AB的距离；
（4）与的数量关系是 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
（4）相等
【解析】
【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的判定与性质、点到直线的距离是解答本题的关键．
（1）利用网格，根据平行线的判定画图即可．
（2）根据垂线定义画图即可．
（3）由点到直线的距离可知，线段CE的长度是点C到线段AB的距离．
（4）由平行线的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，CD即为所求．
【小问2详解】
如图，CE即为所求．
【小问3详解】
线段的长度是点C到线段的距离．
故答案为：．
【小问4详解】
∵，
∴，
∴与的数量关系是相等．
故答案为：相等．
21. 求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式除以单项式法则．先根据完全平方公式和平方差公式计算括号里面的，再根据单项式除以单项式法则进行化简，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
22. 已知：如图，∠1=120°，∠2=60°，∠4=70°，求∠3的度数． （写出具体的说理过程，写出必要步骤的根据）
【答案】∠3=70°，过程和根据见解析
【解析】
【分析】先根据邻补角互补求出∠5的度数，进而证明，则∠3=∠4=70°．
【详解】解：∵∠1=120°（已知），
∴∠5=180°-∠1=60°（邻补角互补），
又∵∠2=60°（已知），
∴∠5=∠2
∴（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=70°（两直线平行，同位角相等）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，邻补角互补，证明是解题的关键．
23. 如图，直线分别与直线、相交于点N、M，平分，交于点H，若，且．（解答过程请注明理由．）
（1）直线与平行吗？为什么？
（2）求的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是运用平行线的判定与性质．
（1）根据，，可得，推出．
（2）根据，，推出，再根据平分，推出，进而得到．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵，（对顶角相等）．
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
小问2详解】
∵，．
∴．
∵平分．
∴．
∴．
∴．
24. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当，时的绿化面积．
【答案】（1）
（2）63平方米
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键．
（1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可；
（2）将，代入（1）所求式子，求值即可．
【小问1详解】
解：
，
答：绿化的面积是平方米；
【小问2详解】
解：当，时，原式，
答：绿化的面积是63平方米．
25. 在学习同底数幂的除法公式时，有一个附加条件，即被除数的指数大于除数的指数．仿照以上公式，我们研究和时，同底数幂的除法．当被除数的指数等于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当时，或．由此启发，我们规定：．当被除数的指数小于除数的指数时，我们易得或，即；同理可得，当时，或，即．由此启发，我们规定：（，是正整数）．
根据以上知识，解决下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
【答案】（1）1，
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法，
（1）根据零指数幂，负整数指数幂运算法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法运算法则即可得出答案；
（3）分三种情况：①当，且为任意数时，原方程成立；②当，且为偶数时，原方程成立；③当，且时，原方程成立，解方程即可．
【小问1详解】
解：，，
故答案为：1，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴ ，
故；
【小问3详解】
解：，分三种情况
①当，且为任意数时，原方程成立．
解得，
②当，且为偶数时， 原方程成立．
解得，
③当，且时，原方程成立．
解得，
综上所述，或0或2．
26. 已知，点E在上，点F在上，点G在射线上的一点．
（1）【基础问题】
如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点G作直线，
∵，
∴ ．
∵，
∴ ．
∵，
∴ ．
∴．
（2）【类比探究】
如图2，当点G在线段EF延长线上时，请写出三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）【应用拓展】
如图3，点E与点A重合，平分，且，，求的度数．（本题的解答过程无需注明理由）
【答案】（1）；；
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查利用平行线的性质探究角的关系，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．
（1）由，可得，由，可得，则；
（2）如图所示，过点G作直线，同理可得，，则；
（3）如图所示，利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质和外角性质进行计算即可．
【小问1详解】
证明：过点G作直线，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案：；；．
【小问2详解】
解：，理由：
如图所示，过点G作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴．