2024年陕西省宝鸡市教育联盟校中考二模数学试题

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2．本套试卷满分120分，考试时间120分钟．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列图形是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合；熟练掌握概念是解题的关键．
3. 如图，，，垂足为点E，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据，得到，由得，由此即可求出．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 在同一平面直角坐标系内，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，理解并掌握一次函数图象与比例系数，常数项的关系是解题的关键．
一次函数中，，图象经过第一、二、三象限；，图象经过第一、三、四象限；，图象经过第一、二、四象限；，图象经过第二、三、四象限；由此即可求解．
【详解】解：、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、二、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项不符合题意；
、正比例函数的图象可知，则一次函数图象过第一、三、四象限，故此选项符合题意；
故选：．
6. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，，则的长为（ ）

A. 9B. 6C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．先求出和，再证明，即可求出．
【详解】解：∵是的中位线，
∴，，，
∴，
∵是的角平分线交，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，在中，直径，，则度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
如图，连接，由圆周角定理可得，由、三角形内角和定理可得，计算求解即可．
【详解】解：连解，
则，
又∵直径，
∴，
故选B．
8. 已知点，在二次函数的图象上，且函数y有最大值，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意得出抛物线开口向下，，对称轴为直线，从而得出，结合到对称轴的距离越近函数值越大即可得出答案．
【详解】解：点，在二次函数的图象上，且函数y有最大值，
抛物线开口向下，，对称轴为直线，
，
，
，
，
故选：A．
第二部分（非选择题，共96分）
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
9. 比较大小：______（请填写“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】先将两个无理数平方后比大小，进而可得两个无理数的大小．
【详解】解：，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数比大小．解题的关键在于熟练掌握无理数比大小的方法．
10. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数．
【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°，
∴，
∴在等腰中，，
∴，
故答案为．
【点睛】此题考查是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键．
11. 如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为__________ ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴，即，整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
12. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上．轴交y轴于点C．当，且的面积为8时，则k的值为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查反比例函数，过点A作于D，并交x轴于E，设B的横坐标为m，则点，分别求出和关于m的表达式，根据的面积求出，即可得到点A的坐标，代入反比例函数即可求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作于D，并交x轴于E，
设B的横坐标为m，则点
∵
∴，
∵
∴，
∵的面积为8，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7．
13. 如图，在正方形中，，点P是边上的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接、，则周长的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点E作，交的延长线于点M，连接，并延长到点，使得，连接交于点N，当E与N重合时，最小，此时，利用勾股定理解答即可．
本题考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，一线三直角全等模型，线段的垂直平分线，勾股定理，线段和的最小值，熟练掌握一线三直角全等模型，线段的垂直平分线，勾股定理，线段和的最小值是解题的关键．
【详解】过点E作，交的延长线于点M，
∵正方形，线段绕点P顺时针旋转得到，

∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
连接，并延长到点，使得，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线；
过点作，交的延长线于点R，交的延长线于点Q，
∵正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形；
∴，，；
∴点R在线段的垂直平分线上，
故三点共线，
∴，
∴；
连接交于点N，当E与N重合时，最小，此时，
∴，
故周长的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，共81分，解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算二次根式、零指数幂、绝对值、特殊角三角函数值，再进行加减运算即可．
【详解】解：

．
15. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序．
17. 尺规作图：如图，在中，．在BC边上取一点P，连接，使．（要求：不写做法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图和三角形外角，作的垂直平分线，交于点P，连接即可．
【详解】解：作的垂直平分线，交于点P，
根据三角形外角定理可得，
如图，点即为所求．
18. 如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，已知，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边对等角，由等边对等角得出，证明即可得证．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
∵，，，
∴，
∴．
19. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A，B，C，D，E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A，B，C三个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只小兔玩具．
（1）小兔开始从C出入口放入的概率为__________；
（2）请用列表或画树状图的方法，小美得到小兔玩具的机会有多大？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列树状图法和概率公式，
（1）利用简单的概率计算公式计算即可；
（2）采用列表法列举即可作答．
【小问1详解】
共有3个放入口，则从C口放入的概率为：，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下：
共有15种等可能结果，其中出入口相同的情况有3种，
故P（小美得到小兔玩具）．
20. 春节即将到来，某校老师组织学生给社区送温暖活动，共有75位同学参加，其中30位同学为社区写春联，剩余同学写“福”字，根据需求情况，在参加活动总人数不变的情况下，要将写“福”字的人数调整为写春联人数的一半，问应从写“福”字的同学中调多少人去写春联？
【答案】从写“福”字的同学中调20人去写春联
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设从写“福”字的同学中调人去写春联，根据题意列方程，求解即可．
【详解】解：设从写“福”字的同学中调x人去写春联，
根据题意得，解得．
答：从写“福”字的同学中调20人去写春联．
21. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，屋顶到横梁的距离，，交于点（点在同一水平线上），求房屋的高．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，过点作于点．则四边形为矩形，得出，解直角三角形得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点．
，
由题意得，
∴四边形为矩形，
∴．
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：房屋的高度为．
22. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．西安市某学校积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图信息，解答下列问题：
（1）本次调查的师生共有__________人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数；
（3）该校共有1200名师生，若有的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．
【答案】（1）300；见解析
（2）
（3）306人
【解析】
【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；
（2）根据“敬老服务”的占比乘以即可求解；
（3）用样本估计总体，用师生总人数乘以再乘以“文明宣传”的 比即可求解．
【小问1详解】
解：由条形图得到“清洁卫生”的人数为60人，由扇形图得到“清洁卫生”的人数的比例为，
∴调查的总人数为：人，
∴“文明宣传”的人数为：人，
补全图形如下：
【小问2详解】
解：从条形图可以得到“敬老服务”的人数为：120人，
∴“敬老服务”对应的圆心角度数：；
【小问3详解】
解：∵（人）．
故：估计参加“文明宣传”项目的师生人数为306人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 西安“网红”景区大唐不夜城，以盛唐文化为背景，全面打造集购物、餐饮、娱乐、休闲、旅游、商务为一体的开放式消费场所，已成为西安最具影响力的城市文化地标之一．该景区内某店销售一批成本为55元/袋的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

（1）求该食品每天的销售量y（袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系式；
（2）若超市按售价不低于成本价，且不高于90元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用；
（1）设，将，代入得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设利润为W元，建立W关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最值．
【小问1详解】
解：设，
将，代入得，
解得，
．
【小问2详解】
解：设利润为W元，
，且，
∴函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向下，且
∴当时，（元），
∴当销售单价定80元，利润最大，此时最大利润是1875元．
24. 如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．

（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出，推出，由直角三角形性质得出，由等边对等角得出，证明出，即可得证；
（2）解直角三角形得出，证明，得出，再求出的长即可得解．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴，
∴，

在中，为的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵为的半径，
∴与相切．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
在中，，即，
∴．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
25. 抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且，，抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的动点，且位于第一象限，过点P作y轴的平行线交x轴于点M，连接，是否存在这样的点P，使得以点P、A、M为项点的三角形与相似，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出B、D的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明．再由，则要使与相似，分两种情况讨论：当时， 当时，两种情况列出比例式建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入中得，
∴
∴抛物线的解析式为．
【小问2详解】
解：设
∵，
∴．
又∵，对称轴为直线，
∴，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∵点P在第一象限， 即点P位于点B的右侧，
∴，
要使与相似，分两种情况讨论：
①当时，，解得，（舍去），
②当时，，解得，（舍去），）
综上，存在这样的点P，使得以点P、A、M为顶点的三角形与相似，
此时或．
26. （1）【基础巩固】如图1，在等腰中，，若，则__________；
（2）【问题探究】如图2，在四边形中，已知，，．求证：；
（3）【解决问题】如图3是四边形休闲区域设计示意图，点P为线段上一定点，为该四边形休闲区域内的两条小路，且的长度相等，均为，．为了方便市民，现规划在四边形休闲区域外面修一个凉亭E，且满足，同时再修两条小路和，是否存在一种规划方案，使得四条小路的总长度（即线段之和）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最大值为
【解析】
【分析】（1）作，垂足为，得到，利用等腰三角形的性质结合含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解；
（2）延长至点H，使得，证明和为等边三角形，证明≌，，推出，据此即可证明结论成立；
（3）证明点D、E、P、C四点共圆，连接，过点O作于点H．证明，求得，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）作，垂足为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点H，使得，连接．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴点D、E、P、C四点共圆，记圆心为点O．
连接，过点O作于点H．
∴．
∵，，，
∴，
∴．
在中，，
∵点E在圆O上运动，
∴当过圆心时，的值最大，最大值为．
由（2）得，
∴的最大值为，
∴的最大值为．
答：存在一种规划方案，使得四条跑道的总长度（即线段之和）最大，最大值为．
【点睛】此题考查了圆的综合应用，涉及了等腰三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，综合性比较强，解题的关键是正确地作出辅助线．
入口/出口
A
B
C
D
E
A
B
C