2024年河南省南阳市卧龙区南阳市第十三中学校中考二模数学试题

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满分120分，考试时间100分钟
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】题目主要考查倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数求解是解题关键．
【详解】解：的倒数是，
故选：A．
2. 一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
3. 12月11日，国家统计局发布了《关于2023年粮食产量数据的公告》，其中，河南粮食总产量万吨，连续7年保持在亿斤以上，再次证明了“国人粮仓”的绝对实力．将亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：1300亿，
故选：B．
4. 如图，与相交于点，，垂足为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是角的和差运算，垂直的定义，先求解，再结合平角的含义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选C
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，再把分子去括号，合并同类项，最后约分即可得到答案．
【详解】解：
，
故选C．
6. 如图，为的直径，点在圆上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
，
为的直径，
，
．
故选：C．
7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出△的值，再判断出其符号即可．
【详解】解：，
方程有两个不等实根．
故选：A．
8. 韩梅将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片（除图案和文字不同外，其他完全相同），将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画树状图，然后求得所有等可能的结果与抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：把这4张剪纸卡片宋江，李逵，及时雨，黑旋风分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的的结果有4种，
∴抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的的概率为．
故选：B．
9. 如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点，
由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根，
函数的图象与轴的正半轴有两个交点，
故选：A．
10. 如图，在正六边形中，以点O为原点建立直角坐标系，边落在x轴上，对角线与交于点F．若点A的坐标为，则点F的坐标为（ ）

A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何的性质，分别求出点B、C、D的坐标，运用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图像有交点，联立方程解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：正六边形中，每个内角的度数为，如图所示，过点作轴于，连接，点的坐标为，

∴，，
在中，，
∴，，
∴，则，
在中，
∵，，
∴，，
∵是正六边形的对称轴，
∴，
∴，
∴在是直角三角形，且，，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
设过点，点的直线的解析式为，
∴，解得，，
∴所在直线的解析式为，
同理，设过点，点的直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴所在直线的解析式为，
∵点是、的交点，
∴联立方程组得，，
解得：，
∴点的坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查几何图形与坐标，一次函数图像的交点问题，掌握几何图形的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的性质等知识是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 一辆公交车原有名乘客，到某站后，下去一半乘客，又上来名乘客，此时公交车上乘客人数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查用字母表示数量关系，掌握代数式的运用是解题的关键．表示出剩下的乘客数量加上上车乘客即可表示车上人数，可得答案．
【详解】解：根据题意得，公交车上乘客人数为，
故答案为：．
12. 学校运动会上，共有15名同学参加了男子100米预赛，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，从而取得决赛资格，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的______．
【答案】中位数
【解析】
【分析】前8进入决赛，共有15名同学参加比赛，即第8名同学的成绩为总成绩的中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵共有15名同学参赛，前8名的同学获得决赛资格，
∴第8名同学的成绩即为全部成绩的中位数，
∴只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，
故答案为：中位数
【点睛】本题主要考查了利用中位数做决策，熟知中位数的定义是解题的关键．
13. 关于x的不等式组的解集是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定解集即可．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求不等式组的解集，正确掌握不等式的解法及确定不等式组的解集的口诀是解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、切线的性质、勾股定理、三角形面积公式，连接，，求出，，由勾股定理得出，由切线的性质结合勾股定理得出，当最小时，的值最小，当时，的值最小，此时的值最小，由等面积法得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，

在中，令，则，故，，
令，则，解得：，故，，
，
是的切线，
，
，
的长度为不变，
当最小时，的值最小，
当时，的值最小，此时的值最小，
，
，此时，
长度的最小值为，
故答案为：．
15. 如图，在平行四边形中，，，点是直线上一点，连接，将沿直线折叠，点落在点处，若四边形是菱形，则的长为______．

【答案】1或
【解析】
【分析】需要分两种情况讨论：①点落在线段上；②点落在线段的延长线上．计算出每种情况下的长度即可得到答案．
【详解】①如图，当点落在线段上．

四边形是菱形，,
．
又，
为等边三角形．
．
②如图，当点落在线段的延长线上时．

连接，交于点．
四边形是菱形，
，，，．
．
．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查菱形的性质（菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角），以及利用锐角三角函数解直角三角形．牢记菱形的性质及利用锐角三角函数解直角三角形的方法是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的求解，完全平方公式以及平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
（1）根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，算术平方根求解，求出各项再算加减法即可；
（2）利用完全平方公式以及平方差公式进行运算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：
上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．
（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．
（2）阅读冷空气等级标准表：
本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）
（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．
【答案】（1）℃；℃
（2）② （3）随着气温下降，风力逐渐增强
【解析】
【分析】（1）先确定最低气温，再计算平均数和方差即可．
（2）计算相邻两天的最低气温的变化，对照标准确定答案即可．
（3）答案不唯一，风力逐渐增强．
本题考查了平均数，方差的计算，温差的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，七天的最低气温的平均数为：
℃；
℃．
【小问2详解】
∵周四与周五的温差为℃，降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
∴来临的冷空气的等级是中等强度冷空气，
故答案：②．
【小问3详解】
风力逐渐增强．
18. 如图，在中，，过作．
（1）用尺规求作线段的垂直平分线，交于，交于，交于，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图—作垂线，三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得出，由平行线的性质得出，证明得到，即可得证．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求；
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
．
19. 如图，双曲线经过的顶点A，交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）确定k的值；
（2）若点C为中点，求的面积．
【答案】（1）24 （2）36
【解析】
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）将点代入解析式，求得m的值，得，从而求得k的值；
（2）先求出，再由C为中点，可得，再求得，从而可以求得的面积．
【小问1详解】
将点代入解析式，
得，
解得，
∴，
∴；
【小问2详解】
由（1）得：
∴，
∵C为中点，
∴，
∴轴，
∴，
∴
20. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，小亮想测量某大厦楼顶上的一个广告牌的高度，从与大厦相距的处观测广告牌顶部的仰角，观测广告牌底部的仰角为，如图所示．
（1）求大厦的高度；（结果精确到）
（2）求广告牌的高度（结果取整数）
（参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可得解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
在中，，，
，
大厦的高度约为；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
，
，
广告牌的高度约为．
21. 为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元．
（1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？
（2）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．
【答案】（1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元
（2）；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可；
（2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，
依题意，得，
解得，则（元），
答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元；
【小问2详解】
解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，
购买水晶梨的数量为斤，
依题意，得，
∵，
∴w随着n的增大而增大，
经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，
，
∴当时．w有最大值，最大值为，
购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元．
22. 在坡度为的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点在斜坡上，，从点向右发射出的小球沿抛物线运动，解决下列问题．
（1）点的坐标是__________；
（2）①求所满足的数量关系；
②当小球恰好落到原点时，求抛物线的函数表达式．
【答案】（1）
（2）或或；
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）作轴于点，设，则，利用勾股定理求出的值即可得出答案；
（2）①将代入解析式求解即可；②将原点代入解析式求解即可．
【小问1详解】
解：如图：作轴于点，
，
坡度为，
设，则，
，
，即，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
点的坐标为；
【小问2详解】
解：①点抛物线上，
，
或或；
②当小球落到原点时，点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为．
23. 综合与实践：
（1）问题发现：如图1，在中，，是外角的平分线，则与的位置关系是__________．
（2）问题解决：如图2，在矩形中，，，点是的中点；将沿直线翻折，点落在点处，连接，求和线段的长．
（3）拓展迁移：如图3，正方形的边长为10，是边上一动点，将正方形沿翻折，点的对应点为，过点作折痕的平行线，分别交正方形的边于点（点在点上方），若，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2），
（3）4或
【解析】
【分析】（1）利用三角形外角的性质和平行线的判定即可得证；
（2）运用勾股定理得出，由折叠的性质可得，，，从而得出，作于，则，解直角三角形求出的长，即可得解；
（3）分两种情况：当点在边上时；当点在边上时，分别求出的长即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
，
是的外角，
，
是外角的平分线，
，
；
【小问2详解】
解：是的中点，
，
四边形是矩形，
，
，
将沿直线翻折，点落在点处，
，，，
，
，
，
，
，
如图，作于，则，
，
∴，
∴，
，，
；
【小问3详解】
解：当点在边上时，如图，
，
四边形是正方形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
设，则，
，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
当点在边上时，如图，延长交于点，
，
四边形是边长为的正方形，
，，，
设，则，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
由折叠的性质可得：，，
，
，，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
序号
等级
冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况
①
弱冷空气
降温幅度小于6℃
②
中等强度冷空气
降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃
③
较强冷空气
降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃
④
强冷空气
降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃
⑤
寒潮
降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃