2023年河南省南阳市卧龙区南阳市第二十一学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年河南省南阳市卧龙区南阳市第二十一学校中考三模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市卧龙区南阳市第二十一学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是    
A． B． C． D．
2．纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．有一种纳米材料其理论厚度是，这个数用科学记数法表示正确的是（   ）
A． B． C． D．
3．由7个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）
  
A．   B．   C．   D．  
4．如图，直线相交于点．，，则的大小为（　　）
  
A．145° B．105° C．165° D．155°
5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．   B．  
C．   D．  
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若，，则菱形ABCD的边长为（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．5
7．下列方程中，没有实数根的是（    ）
A． B．
C． D．
8．在4张完全相同的卡片上分别标上2，3，4，5这四个数字，任意抽取两张卡片并将所标数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图1，中，点从点出发，匀速向点运动，连接，设的长为，的长为，则关于的函数图像如图2所示，其中函数图像最低点，则的周长为（　　）
  
A． B． C． D．
10．如图，正方形OABC中，点，点D为AB边上一个动点，连接CD，点P为CD的中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题
11．计算：________．
12．在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为_____．

13．某学校本学期第一次抽考（含数学、英语、物理、化学四科），四科的满分都为100分．甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：综合成绩按照数学、英语、物理、化学四科测试成绩的1.2：1：1：0.8的比例计分，则综合成绩的第一名是___________．
学科
数学
英语
物理
化学
甲
95
85
80
60
乙
80
80
85
80
丙
70
90
70
95
14．如图，在扇形AOB中，，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为___________．

15．如图，中，，点P为上一个动点，将沿直线折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若为直角三角形时，的长为___________．
  

三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)
17．农业农村经济在国民经济中占有重要地位，科技兴农、为促进乡村产业振兴提供有力支撑．为了解甲、乙两种新品猕猴桃的质量，进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了甲、乙各25份样品，对大小、甜度等各方面进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．测评分数（百分制）如下：
甲77    79    80    80    85    86    86    87    88    89    89    90    91
91    91    91    91    92    93    95    95    96    97    98    98
乙69    87    79    79    86    79    87    89    90    89    90    90    90
91    90    92    92    94    92    95    96    96    97    98    98
b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：





甲
0
a
9
14
乙
1
3
b
16
注：分数90分及以上为优秀，80~89分为合格，80分以下为不合格．
c．甲、乙两种猕猴桃测评分数的平均数、众数、中位数如下表所示：
品种
平均数
众数
中位数
甲
89.4
91
d
乙
89.4
c
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中a，b，c，d的值；
(2)记甲种猕猴桃测评分数的方差为，乙种猕猴桃测评分数的方差为，则，的大小关系为____________；
(3)根据抽样调查情况，可以推断____________种猕猴桃的质量较好，理由为____________．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
18．教师节前夕，某校举行了教师节表彰大会，表彰结束后，教师们自编自演了若干节目喜迎佳节，数学王老师坐在台下距离舞台大屏水平距离为的A处观看节目，如图，王老师用手机软件测得大屏上端B的仰角为，测得大屏下端C的仰角为（垂直于地面），你能帮王老师算出大屏的高度吗？（结果精确到．参考数据：；；；；）
  
19．如图，以为内接三角形的半中，为直径，切半于点B．
  
(1)作的角平分线，交于点M，交于点N，交于点E，连接．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下．
①求证：；
②若，求的长．
20．某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为时，大绳的最大高度为．
  
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．
21．某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．
(1)求甲、乙马克杯的单价；
(2)若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的，则如何购买才能使得费用最少？
(3)为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．若甲马克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？
22．如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段，，，，和反比例函数图象的一段构成，其中，，，，，，轴且点E的纵坐标为4，设直线的解析式为，双曲线的解析式为．点P为双曲线上一个动点，过点P作，垂足为G，交于点Q，以为边在图形W内部作矩形，在x轴上．

(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)若分矩形的面积比为2：1，求出点P的坐标．
23．综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
  
特殊情况分析
(1)如图1，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：
连接，
∵，，
∴，（依据1）
∵，
∴，
∴点共圆，
∴，，（依据2）
∴，
∴．（依据3）
填空：①依据1应为___________，
②依据2应为___________，
③依据3应为___________；
一般结论探究
(2)将图1中的正方形改为菱形，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
(3)如图2，若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据相反数的定义去判断计算即可.
【详解】∵只有符号不同的两个数称作互为相反数,
∴的相反数是，
故选B.
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键.
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：0.00000000069=6.9×10-10．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】利用从左边看得到的图形即可求解．
【详解】解：从左边看共有两列，第一列高度为2个正方体，第二列高度为1个正方体，
故选：B．
【点睛】本题考查了常见组合体的三视图，解题关键是掌握左视图的定义．
4．D
【分析】根据题意，结合角的互余及互补的定义直接求解即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查求角度问题，数形结合，灵活运用互余与互补得出各个角的和差倍分关系是解决问题的关键．
5．B
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可．
【详解】，
解①得，
解②得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
  
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．不等式组的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．
6．D
【分析】根据点E，F分别是AB，AO的中点，可知线段EF是△ABC的中位线，即可求出0B的长度，再由菱形对角线互相垂直的性质，得到△ABC是直角三角形，根据勾股定理即可求出AB的长度．
【详解】∵点E，F分别是AB，AO的中点，且
∴OB=2EF=4
∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC，即△ABC是直角三角形
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
故选：D.
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，勾股定理和菱形的性质；熟练的掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半；勾股定理；菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
7．B
【分析】利用根的判别式逐项判断即可．
【详解】A．，所以原方程有两个不相等的实数根，故A不符合题意．
B．，所以原方程没有实数根，故B符合题意．
C．，所以原方程有一个实数根，故C不符合题意．
D．，所以原方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查判断一元二次方程根的情况．熟记判别式公式是解答本题的关键．
8．A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中组成的两位数能被3整除的结果有4种，即24、42、45、54，
∴组成的两位数能被3整除的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9．C
【分析】过点作于点，根据垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，结合图2可得，，，根据勾股定理分别求出、的长，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
  
根据点与直线上点的距离垂线段最短可知，当点运动到点时，取得最小值为，
图2函数图像最低点，
此时，，
由图2可知，当点运动到点时，所对的函数值为2，
，
在中，，
在中，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像、勾股定理，理解函数图像中最低点坐标的实际意义是解题关键．
10．C
【分析】如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，证明设再求解Q的坐标，再代入直线OB的解析式即可．
【详解】解：如图，过作，交轴于点 过作轴于 过作平行于轴的直线交PN于M，交QE于F，交y轴于G，则DP=DQ，






正方形OABC中，点，

设 而点P为CD的中点，



设OB的解析式为 而
解得：
OB的解析式为：

解得：

故选C
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正比例函数的性质，正方形的性质，求解是解本题的关键．
11．
【分析】根据求一个数的算术平方根，零指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，零指数幂是解题的关键．
12．1
【详解】∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=1.
故答案为1.
13．甲
【分析】根据加权平均数定义及求解公式分别求出甲、乙、丙三人四科的测试的综合成绩，比较大小即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
；
；
；
，
综合成绩的第一名是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查利用加权平均数做决策，熟记加权平均数的定义及求解公式是解决问题的关键．
14．π+22/22+π
【分析】连接，，交于，如图所示，证明，求出四边形的面积，进而得到阴影部分面积和阴影部分面积，求和即可解决问题．
【详解】解：连接，，交于，如图所示：

由点为半径的中点可知，
由圆的性质可知，即，
点为弧的中点，即，
，
在等腰中，，，由等腰三角形“三线合一”可知，
，点为半径的中点，
，
在等腰中，，，
，
，则；
由圆的对称性可知，面积等于阴影部分，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，从图中将不规则图形转化为规则图形的面积来表示．
15．2或
【分析】分两种情况：当时，证明点Q在上，利用折叠的性质和求解；当时，证明四边形是正方形，求出，再利用勾股定理求解．
【详解】解：∵，
∴，
当时，如图，
∵将沿直线折叠得到，
∴，
∴，
∴点Q在上，
∴；
  
当时，如图，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
在直角三角形中，；
综上，的长是2或；
故答案为：2或．
  
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，全面分类、数形结合是解题的关键．
16．(1)
(2)

【分析】（1）先利用平方差公式和单项式乘以多项式把括号展开，再合并同类项即可；
（2）先将括号内的进行通分，再把被除式分母因式分解，将除法转换为乘法，约分即可．
【详解】（1）


（2）



【点睛】本题主要考查发分式的混合运算以及整式的运算，解答本题的关键是掌握分式的混合运算法则和运算顺序以及单项式乘以多项式法则和平方差公式．
17．(1)，，，
(2)
(3)甲，理由见解析

【分析】（1）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
（2）按照方差的计算公式，分别计算出甲，乙的方差，然后比较大小即可．
（3）根据甲和乙的平均数，中位数，众数，方差进行综合分析，判断，注意至少从两个不同的角度说明推断的合理性．
【详解】（1），，，
（2）则，的大小关系为；
（3）可以推断甲种猕猴桃的质量较好，理由为①甲种猕猴桃测评分数的众数、中位数都大于乙种猕猴桃测评分数②也就是甲猕猴桃测评分数的方差小于乙种猕猴桃测评分数的方差，质量均匀较好；
【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差在实际问题中的正确运用，熟练掌握定义和计算公式，是解题的关键．
18．
【分析】过点A作交延长线于点D，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：如图，过点A作交延长线于点D，
    
由题意得，，，
在中，，
∴；
在中，，
；
∴
答：大屏的高度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)①见解析；②

【分析】（1）利用尺规作图作出的角平分线即可；
（2）①利用等角的余角相等证明，即可证明结论成立；
②证明，利用相似三角形的性质计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示；
  ；
（2）①证明：∵是的直径，∴，
∴
而，∴，
∵是的切线，∴，∴
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴；
②解：∵为直径，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
20．(1)（或）
(2)能够达到比赛的要求，见解析

【分析】（1）根据题意，抛物线顶点为，过点，用待定系数法可得函数解析式；
（2）结合（1）令得，或，根据，可知在绳下可以站11人，故九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【详解】（1）设大绳所在抛物线的解析式为
由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，
将点代入可得，，
∴所求的抛物线的解析式是（或）；
（2）当时，，
解得，，
（人）
则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出函数关系式．
21．(1)甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元
(2)购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少
(3)最多可购买3种马克杯共309个

【分析】（1）设甲马克杯的单价为元，则乙马克杯的单价为元，根据花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲马克杯个，则购买乙马克杯个，根据乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的，列出一元一次不等式，解得，再设费用为元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论；
（3）设购买乙马克杯个，定制图案和文字的马克杯个，则购买甲马克杯个，根据校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．列出二元一次方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲马克杯的单价为元，则乙马克杯的单价为元，
由题意得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲马克杯的单价为5元，乙马克杯的单价为10元；
（2）解：设购买甲马克杯个，则购买乙马克杯个，
由题意得，解得，
设费用为元，由题意得，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，此时，，
答：购买甲马克杯75个，乙马克杯25个才能使得费用最少；
（3）解：设购买乙马克杯个，定制图案和文字的马克杯个，则购买甲马克杯个，
由题意得，整理得，
，
，且是4的倍数，
的最大值为76，此时，，
（个），
答：最多可购买3种马克杯共309个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．(1)，
(2)或

【分析】（1）分别求出点，，的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设，则，由分矩形的面积比为2：1，得出，列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
∵C点在函数图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点E的纵坐标为4，轴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入，
∴，解得，
∴；
（2）设，则，
若分矩形的面积比为2：1，
由题意得，，
∴，
解得，，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查求一次函数和反比例函数的关系式，根据面积比求点的坐标；解题的关键是能够正确求出函数关系式．
23．(1)两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边
(2)成立，理由见解析
(3)或3

【分析】（1）根据材料中的证明过程，即可得到答案；
（2）连接DQ，如图1所示，由菱形的性质得到，从而确定点共圆，再由圆周角定理得到，，进而结合菱形性质及等腰三角形的性质即可得证；
（3）如图2所示，当时，，从而由为直角三角形可分两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知：
①两直线平行，内错角相等，
②同弧所对的圆周角相等，
③等角对等边，
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
（2）解：（1）中结论仍然成立，
理由如下：连接DQ，如图1所示：
  
∵在菱形中，
∴，，
∵，
∴点共圆，
∴，，
∵为菱形的对角线，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或3．
由于点为对角线上一个动点，分两类情况讨论如下：
①当时，如图2所示：
  
∵在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）中知点共圆，知，
，
∴，
∴，即，
∴在中，，则，
∴由（2）知；
②当时，如图3所示：
  
在菱形中，，则，
，
点与点重合，
由（2）可知，，
，
综上所述：或3．
【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及正方形性质、菱形性质、含的直角三角形三边关系、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识，熟练掌握相关几何知识并灵活运用是解决问题的关键．