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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题28轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题28轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型(原卷版+解析)，共120页。
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【题型归纳目录】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
题型二：圆锥曲线第一定义
题型三：圆锥曲线第二定义
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
题型五：利用数形结合求解
题型六：利用正弦定理
题型七：利用余弦定理
题型八：内切圆问题
题型九：椭圆与双曲线共焦点
题型十：利用最大顶角
题型十一：基本不等式
题型十二：已知范围
题型十三：
题型十四：中点弦
题型十五：已知焦点三角形两底角
题型十六：利用渐近线的斜率
题型十七：坐标法
题型十八：利用焦半径的取值范围
题型十九：四心问题
【典例例题】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
例2．（2023·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
例5．（2023·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型二：圆锥曲线第一定义
例6．（2023·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
例7．（2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
例9．（2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
题型三：圆锥曲线第二定义
例11．（2023·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
例12．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·四川遂宁·二模（理））已知双曲线（ ）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=（ ）
A．14B．16C．18D．20
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A．B．C．2D．
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
例20．（2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
例21．（2023·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型五：利用数形结合求解
例22．（2023·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例25．（2023·全国·二模（理））已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·全国·模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
题型六：利用正弦定理
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
例32．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：利用余弦定理
例33．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例34．（2023·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
例35．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
例37．（2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型八：内切圆问题
例38．（2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例42．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例43．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，，是轴正半轴上一点，线段交双曲线左支于点，若，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例44．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P为双曲线一点（点P在第一象限），点分别为双曲线的左，右焦点，的内切圆的半径为1．圆心为点I，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例45．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
题型九：椭圆与双曲线共焦点
例46．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·重庆·模拟预测）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）
A．6+B．C．D．
例48．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例49．（2023·河南郑州·一模（文））已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例50．（2023·河南郑州·一模（理））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
例51．（2023·江西·模拟预测（理））已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例52．（2023·云南·一模（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
例53．（2023·甘肃白银·模拟预测（理））已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点.若，则的离心率为
A．B．C．D．
例54．（2023·山东日照·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．4D．16
例55．（2023·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型十：利用最大顶角
例56．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例57．（2023·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例58．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
例59．（2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
例60．（2023·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
例61．（2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
题型十一：基本不等式
例62．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例63．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例64．（2023·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
例65．（2023·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
例66．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
题型十二：已知范围
例67．（2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例68．（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例69．（2023·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A．B．C．D．
例70．（2023·四川·高二期末（文））设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例71．（2023·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．
题型十三：
例72．（2023·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例74．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十四：中点弦
例75．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
例76．（2023·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例77．（2023·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
例78．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例79．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
例80．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
例81．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
例82．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．或
例83．（2023·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
例84．（2023·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例85．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
例86．（2023·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例87．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例88．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
题型十六：利用渐近线的斜率
例89．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例90．（2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例91．（2023·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线，抛物线的准线经过的焦点且与交两点，，若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例92．（2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
例93．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例94．（2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例95．（2023·江西·二模（文））已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若C的一条渐近线恰为线段FP的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
例96．（2023·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例97．（2023·新疆·二模（理））如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型十七：坐标法
例98．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.
例99．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
例100．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.
例101．（2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
例102．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例103．（2023·河南洛阳·三模（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
题型十八：利用焦半径的取值范围
例104．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
例105．（2023·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
例106．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例107．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
例108．（2023·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
例109．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十九：四心问题
例110．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例111．（2023·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．5
例112．（2023·江苏·高二单元测试）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例113．（2023·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
例114．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
例115．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
例116．（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例117．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（ ）
A．B．C．D．
例118．（2023·新疆·三模（理））点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
例119．（2023·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例120．（2023·山东临沂·模拟预测）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例121．（多选题）（2023·福建·莆田第九中学高三阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
例122．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
例123．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是___________.
例124．（2023·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
例125．（2023·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
例126．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．
例127．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型
【考点预测】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【题型归纳目录】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
题型二：圆锥曲线第一定义
题型三：圆锥曲线第二定义
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
题型五：利用数形结合求解
题型六：利用正弦定理
题型七：利用余弦定理
题型八：内切圆问题
题型九：椭圆与双曲线共焦点
题型十：利用最大顶角
题型十一：基本不等式
题型十二：已知范围
题型十三：
题型十四：中点弦
题型十五：已知焦点三角形两底角
题型十六：利用渐近线的斜率
题型十七：坐标法
题型十八：利用焦半径的取值范围
题型十九：四心问题
【典例例题】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
答案：
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，
由条件可得，
则，，，
所以，
即，
即，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为.
例2．（2023·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．
例3．（2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，
由双曲线的定义得，
又，∴.
又,
所以，
所以.
故选：C
例4．（2023·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：A
【解析】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
例5．（2023·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
题型二：圆锥曲线第一定义
例6．（2023·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
答案：D
【解析】如图：
设椭圆的另一个焦点为，
因为，
所以
由，
所以，
所以，即，
所以.
因为点在椭圆内，所以，所以，
所以，解得，
因为，
所以.
故选：D
例7．（2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
例8．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
答案：D
【解析】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
例9．（2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．
答案：
【解析】设双曲线的右焦点为，
双曲线的，
则，
可得，，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，
当，，共线时，取得等号．
，则
整理得：
解得或，由于，则，故不符合
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
答案：C
【解析】依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
题型三：圆锥曲线第二定义
例11．（2023·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
答案：B
【解析】因为，
所以，
表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，
所以.
故选：B
例12．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦点三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故选：D．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
例14．（2023·四川遂宁·二模（理））已知双曲线（ ）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=（ ）
A．14B．16C．18D．20
答案：D
【解析】由题意双曲线的离心率，如图， 设双曲线右准线为 ，分别作 垂直于，垂足为，作 ,垂足为E，
设，则，
由题意得， ，
则，所以.
又 .则，
故，所以，
，
故选：D.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】设，则，
过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.
根据双曲线的第二定义可得，，
，
由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故选：A.
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题得：，所以
故选：A．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解法1：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
解法2：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
例19．（2023·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
答案：
【解析】由题意知：，，
若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，
，即，；
设，则，
，
双曲线的离心率.
故答案为：.
例20．（2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
答案：D
【解析】设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
例21．（2023·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
题型五：利用数形结合求解
例22．（2023·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨设，则，由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
例23．（2023·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
例24．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
例25．（2023·全国·二模（理））已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得：渐近线方程为，
设切线方程为，联立得：
，
由得：，
解得：，
所以切线方程为，
令得：，所以，
联立与，解得：，
联立与，解得：，
因为N为MQ的中点，
所以，
解得：，
所以离心率为
故选：A
例26．（2023·全国·模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，
，
.
所以
可得．
过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形，
因为，所以，
又，所以有．
设，则，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以离心率，
故选：C
例27．（2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.
故选：B
例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
答案：D
【解析】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故选：D
题型六：利用正弦定理
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
例30．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
例31．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
例32．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
题型七：利用余弦定理
例33．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例34．（2023·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
答案：
【解析】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案为：
例35．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
答案：D
【解析】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故选：D
例37．（2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
双曲线的离心率.
故选：B.
题型八：内切圆问题
例38．（2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，
故选：C．
例39．（2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故选：A
例40．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由椭圆，可得，，，则，
如图，
设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
例41．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】
设分别切内切圆交于，则由双曲线的定义可得，即，根据内切圆的性质可得，故，两式相加化简可得，即，故.故双曲线的离心率为
故选：A
例42．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得，
又由双曲线定义得，即，又，
故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入，
解得，即，又，则，故，
又，则，，在中，由余弦定理得，
即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.
故选：A.
例43．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，，是轴正半轴上一点，线段交双曲线左支于点，若，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设的内切圆分别切线段、、于点、、，连接、、，如下图所示：
由切线长定理可知，，，，
因为，，，，
则四边形是边长为的正方形，则，
因为且为的中点，则，
因为
，
即，
又因为，因此，该双曲线的离心率为.
故选：A.
例44．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P为双曲线一点（点P在第一象限），点分别为双曲线的左，右焦点，的内切圆的半径为1．圆心为点I，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设的内切圆与、相切的切点分别为M，N，Q，
，，
所以
,
又因为，所以，
即，所以，
，∴，
∴或 （舍），
∴．
故选：B
例45．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故选：C.
题型九：椭圆与双曲线共焦点
例46．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，
，则，
又，所以，即，又，
所以椭圆的离心率为．
故选：C．
例47．（2023·重庆·模拟预测）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）
A．6+B．C．D．
答案：C
【解析】连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形 ，
故.
由，，得.
令，代入上式得
故.
设，
由，得t=2，
当12时，，函数是增函数，
故t=2时，函数取得最小值，故．
故选：C.
例48．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：C
【解析】设 ， ，
在椭圆：中，
，
，
在双曲线：中，
，
即，则
所以，
又因为，所以，
解得，
故选：C.
例49．（2023·河南郑州·一模（文））已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
∴，即，，
∴双曲线离心率为．
故选：B．
例50．（2023·河南郑州·一模（理））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
答案：D
【解析】由题意得：，设椭圆方程为，
双曲线方程为，
又∵.
∴，∴，
则
，当且仅当，
即时等号成立.
则的最小值为8.
故选：D
例51．（2023·江西·模拟预测（理））已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
；
，，设，，则：
在中由余弦定理得，；
化简得，该式可变成，．
；
故选：B．
例52．（2023·云南·一模（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】设椭圆的方程为，
双曲线方程为，点在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得：，，
解得，，
在中，由余弦定理得：
，
即：
整理得：。
所以，，即，
当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为。
故选：B
例53．（2023·甘肃白银·模拟预测（理））已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点.若，则的离心率为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设双曲线的实轴长为，焦距长为
由题意得
在中，由勾股定理得
在椭圆中由定义得
∴，故
在双曲线中由定义得
∴，解得
∴双曲线的离心率为
故选：B
例54．（2023·山东日照·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．4D．16
答案：C
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成，
故选：C.
例55．（2023·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
交点到两焦点的距离分别为，焦距为，
则，
又，，故，，
所以，
化简得，
即 .
故选：B
题型十：利用最大顶角
例56．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
例57．（2023·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，
由椭圆的对称性得,所以，
所以，
所以椭圆的离心率，
因为椭圆的离心率.
当椭圆的焦点在轴上时，同理可得.
综合得.
故选：B
例58．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
例59．（2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
答案：
【解析】设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，
由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
例60．（2023·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
答案：
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为
根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
例61．（2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
答案：
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
故，
所以，，解得：.
故答案为：
题型十一：基本不等式
例62．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
例63．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以
，
所以，则，解得，
故选：A.
例64．（2023·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
答案：
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
例65．（2023·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
答案：
【解析】如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
例66．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
答案：
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
题型十二：已知范围
例67．（2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】易知点、、、，则线段的方程为，
在线段上取一点，满足，则，
，，
所以，，
整理可得，
由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根，
则，可得，可得，
所以，.
故选：D.
例68．（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
例69．（2023·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，由椭圆的方程可得，，，
则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故选：B
例70．（2023·四川·高二期末（文））设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
代入可得
所以，
因为，
所以整理可得：，消去得：
所以，即
所以.
故选：B.
例71．（2023·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】设点，则，可得，且，
，，
所以，，
即，可得，
整理可得，即，
又因为，则，即，故，故，
故答案为：.
题型十三：
例72．（2023·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即，
因为 ，所以，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
例74．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
题型十四：中点弦
例75．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
例76．（2023·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】如图，不妨设，两条直线的斜率大于零，连结，
由题意知，
解得，，或，（舍），
所以，，
在中，因为，所以，
故此时，，
设，，，，则，
两式相减得，
即，即，
因此离心率，所以，
故选：D．
例77．（2023·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
例78．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．设，则，过作轴，垂足为，则，，由题易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．
故选：B
例79．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：A.
例80．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
例81．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
例82．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】若直线斜率不存在，不妨设点，
则
所以，则离心率；
若直线斜率存在，设，
中点，不妨设M在x轴上方，
由，得，
故点M在圆上，
由，得，
则，所以．
由得，即．
当时，，得．
当时，，矛盾，舍去．
综上所述，或．
故选：D．
例83．（2023·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
即．
因为点，在双曲线上，所以有，，
化简可得：，
所以有，离心率为．
故选：D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
例84．（2023·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以；
故选：B
例85．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
答案：BC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
例86．（2023·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
例87．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：D
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
例88．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
答案：D
【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
题型十六：利用渐近线的斜率
例89．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
|PF|的最小值即为焦点到渐近线的距离，故，
即，∴，.
故选：D
例90．（2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由定义可知C的伴随曲线的渐近线方程为.
由题意可知，，即.
将点代入椭圆C的方程，得，
联立，解得，即
所以，即
所以椭圆的离心率.
故选：A.
例91．（2023·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线，抛物线的准线经过的焦点且与交两点，，若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】抛物线的准线，
双曲线的左焦点，即，
所以，
双曲线的一条渐近线为，即，
抛物线的焦点即为双曲线的右焦点，
则到渐近线的距离为，
所以，代入得，所以.
故选：A
例92．（2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设椭圆的右焦点为，依题意可得，
双曲线的一条渐近线为，
因为，所以：，
由，解得，即，又点在椭圆上，
所以，即，
即，即，即，
即，
即
即，
即，
即，
解得或（舍去），
所以椭圆方程为，则，
所以椭圆的离心率
故选：C
例93．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意不妨取双曲线的一条渐近线为，，，
所以到直线的距离，
又的斜率为，所以的方程为，
由，解得，即，
所以，
因为，所以，即，即，
所以离心率；
故选：B
例94．（2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，双曲线的离心率为，可得，
因为双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
所以，双曲线、的渐近线重合，且双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，
因为直线与双曲线、都无交点，则.
故选：B.
例95．（2023·江西·二模（文））已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若C的一条渐近线恰为线段FP的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
答案：B
【解析】由题意，圆心为C的右焦点，，不妨设点P在第一象限，则，，所以直线PF的斜率，从而，，
故C的离心率．
故选：B．
例96．（2023·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，则以PQ为直径的圆的方程为，
因为双曲线的渐近线上存在点M，使得，
所以圆与双曲线的渐近线有公共点，
即圆心到渐近线的距离，
则，即，所以
所以.
故选A.
例97．（2023·新疆·二模（理））如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知，设所在渐近线方程为，
设点，
所以，即，则，
所以线段的一个三等分点坐标为，
由于该点在椭圆上，所以，解得.
所以.
所以离心率.
故选：A.
题型十七：坐标法
例98．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.
【解析】当时，点在第一象限或第四象限，由对称性，不妨设点在第一象限，
，，
在双曲线上，则有，
又，消去可得，
即，变形，
即，
所以，
因为，所以，
解得.
所以双曲线的离心率为.
例99．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
答案：3
【解析】令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
例100．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.
答案：
【解析】不妨设点P在x轴的上方，由题意可知轴，
所以P点的横坐标，代入，得.
又为直角三角形，易知，且，
则有，即，
则，即，则.
故答案为：
例101．（2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
答案：
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
例102．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
例103．（2023·河南洛阳·三模（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
答案：
【解析】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，
所以，
故四边形为：
，
故即离心率为，
故答案为：
题型十八：利用焦半径的取值范围
例104．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
答案：
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
例105．（2023·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由双曲线定义可知，，，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
例106．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
例107．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
答案：
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：.
例108．（2023·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
答案：
【解析】，，
又，，
解得，则.
故答案为
例109．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
题型十九：四心问题
例110．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故选：D.
例111．（2023·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．5
答案：C
【解析】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.
故选：C.
例112．（2023·江苏·高二单元测试）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：D
【解析】由题,因为,所以、、三点共线,
因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,
设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,
则在中,,即,所以是直角三角形,
所以,
因为,由双曲线定义可得,所以,
则,因为,整理可得,
所以,
则,
故选:D
例113．（2023·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
答案：B
【解析】如图所示：
由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
例114．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
答案：B
【解析】双曲线的左、右焦点，，
设P点坐标为，则由的重心为，可得，
把P点坐标代入双曲线C的方程，解之得．又，则．
所以可得双曲线C的离心率为
故选：B．
例115．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
例116．（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
如图，连接并延长交于，连接.由得，
即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，，
由得，，又由椭圆定义.
，即，化简得，故离心率为.
故选：B.
例117．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径.
又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即.
又，所以，
因为，
所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B
例118．（2023·新疆·三模（理））点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：D
【解析】
设内切圆的半径为，则，
由可得，化简得，
又，故.
故选：D.
例119．（2023·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.
故选：B.
例120．（2023·山东临沂·模拟预测）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】如图所示：
双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或，
所以，，
因为的垂心为的焦点，
所以，
即，即，
所以，
故选：A
例121．（多选题）（2023·福建·莆田第九中学高三阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
例122．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
答案：ACD
【解析】由题意，双曲线，可得，
则离心率为，所以A正确；
设，的内切圆与边切于点，与边切于点，
与边切于点，可得，
由双曲线的定义可得，即，
又由，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，
所以B不正确；
由且，解得，
则，可得，
所以，同理可得，
设直线，直线，
联立方程组，求得，
设的内切圆的半径为，则，
解得，即有，
可得，
由，可得，解得，
可得，所以C正确；
设，则，
设的内切圆的半径为，则，
于是，可得，
若，可得，即，
又由，联立可得，
因此，解得，
即存在点，使得，所以D正确.
故选：ACD.
例123．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是___________.
答案：①③⑤
【解析】设直线l的方程为，
令x=0，可得y=t，设直线l与y轴的交点，
双曲线的渐近线方程为，
与直线y=x+t联立，可得，
由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
当A，B，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=2b，；
当A，C，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－2b不成立；
当B，A，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=3a，；
当C，A，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=－3a不成立；
当C，B，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=5b，；
当B，C，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－5b不成立.
故答案为：①③⑤.
例124．（2023·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
答案：
【解析】由为正三角形，坐标原点为的重心，
，，故,
代入双曲线方程可得：，即
可得，即
故答案为：
例125．（2023·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
答案：
【解析】设，可得，
则,
因为，
所以，
则可得，则内切圆半径为，
由椭圆定义可得，又，
所以，
即，则可得，所以离心率为.
故答案为：.
例126．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．
答案：
【解析】当时，，，所以、，
因为，所以，
因为点E在轴上，且轴，所以，
设的内切圆的半径为，则，
所以，
所以，
依题意可得，即，
所以，化简得，
所以离心率，
又，所以双曲线C离心率的取值范围为.
故答案为：.
例127．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.
答案：
【解析】设的垂心为，则，
不妨设，则，代入渐近线方程，解得，
则，因为直线与双曲线交于点，，
则，两点的坐标分别为：，，
因为，
化简可得，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【题型归纳目录】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
题型二：圆锥曲线第一定义
题型三：圆锥曲线第二定义
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
题型五：利用数形结合求解
题型六：利用正弦定理
题型七：利用余弦定理
题型八：内切圆问题
题型九：椭圆与双曲线共焦点
题型十：利用最大顶角
题型十一：基本不等式
题型十二：已知范围
题型十三：
题型十四：中点弦
题型十五：已知焦点三角形两底角
题型十六：利用渐近线的斜率
题型十七：坐标法
题型十八：利用焦半径的取值范围
题型十九：四心问题
【典例例题】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
例2．（2023·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
例5．（2023·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型二：圆锥曲线第一定义
例6．（2023·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
例7．（2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
例9．（2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
题型三：圆锥曲线第二定义
例11．（2023·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
例12．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·四川遂宁·二模（理））已知双曲线（ ）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=（ ）
A．14B．16C．18D．20
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A．B．C．2D．
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例19．（2023·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
例20．（2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
例21．（2023·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型五：利用数形结合求解
例22．（2023·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例25．（2023·全国·二模（理））已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·全国·模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例27．（2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
题型六：利用正弦定理
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例30．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
例32．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：利用余弦定理
例33．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例34．（2023·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
例35．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
例37．（2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型八：内切圆问题
例38．（2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例39．（2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例40．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例42．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例43．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，，是轴正半轴上一点，线段交双曲线左支于点，若，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例44．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P为双曲线一点（点P在第一象限），点分别为双曲线的左，右焦点，的内切圆的半径为1．圆心为点I，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例45．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
题型九：椭圆与双曲线共焦点
例46．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·重庆·模拟预测）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）
A．6+B．C．D．
例48．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例49．（2023·河南郑州·一模（文））已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例50．（2023·河南郑州·一模（理））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
例51．（2023·江西·模拟预测（理））已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例52．（2023·云南·一模（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
例53．（2023·甘肃白银·模拟预测（理））已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点.若，则的离心率为
A．B．C．D．
例54．（2023·山东日照·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．4D．16
例55．（2023·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型十：利用最大顶角
例56．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例57．（2023·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例58．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
例59．（2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
例60．（2023·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
例61．（2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
题型十一：基本不等式
例62．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例63．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例64．（2023·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
例65．（2023·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
例66．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
题型十二：已知范围
例67．（2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例68．（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例69．（2023·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A．B．C．D．
例70．（2023·四川·高二期末（文））设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例71．（2023·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．
题型十三：
例72．（2023·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例74．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十四：中点弦
例75．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
例76．（2023·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例77．（2023·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
例78．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例79．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
例80．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
例81．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
例82．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．或
例83．（2023·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
例84．（2023·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例85．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
例86．（2023·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例87．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例88．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
题型十六：利用渐近线的斜率
例89．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例90．（2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例91．（2023·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线，抛物线的准线经过的焦点且与交两点，，若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
例92．（2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
例93．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例94．（2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
例95．（2023·江西·二模（文））已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若C的一条渐近线恰为线段FP的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
例96．（2023·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例97．（2023·新疆·二模（理））如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型十七：坐标法
例98．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.
例99．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
例100．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.
例101．（2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
例102．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例103．（2023·河南洛阳·三模（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
题型十八：利用焦半径的取值范围
例104．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
例105．（2023·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
例106．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例107．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
例108．（2023·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
例109．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十九：四心问题
例110．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例111．（2023·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．5
例112．（2023·江苏·高二单元测试）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
例113．（2023·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
例114．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
例115．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
例116．（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例117．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（ ）
A．B．C．D．
例118．（2023·新疆·三模（理））点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
例119．（2023·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例120．（2023·山东临沂·模拟预测）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
例121．（多选题）（2023·福建·莆田第九中学高三阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
例122．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
例123．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是___________.
例124．（2023·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
例125．（2023·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
例126．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．
例127．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.
专题28 轻松搞定圆锥曲线离心率十九大模型
【考点预测】
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
【题型归纳目录】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
题型二：圆锥曲线第一定义
题型三：圆锥曲线第二定义
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
题型五：利用数形结合求解
题型六：利用正弦定理
题型七：利用余弦定理
题型八：内切圆问题
题型九：椭圆与双曲线共焦点
题型十：利用最大顶角
题型十一：基本不等式
题型十二：已知范围
题型十三：
题型十四：中点弦
题型十五：已知焦点三角形两底角
题型十六：利用渐近线的斜率
题型十七：坐标法
题型十八：利用焦半径的取值范围
题型十九：四心问题
【典例例题】
题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式
例1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．
答案：
【解析】
设双曲线的左焦点为，连接，，
由条件可得，
则，，，
所以，
即，
即，
所以双曲线的离心率为：，
故答案为.
例2．（2023·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】如图，设，则．
又，所以，所以．
又，所以，由，得
，则，而，则，化简得，所以．
例3．（2023·湖北·高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设，
由双曲线的定义得，
又，∴.
又,
所以，
所以.
故选：C
例4．（2023·甘肃·瓜州一中高三期中（文））若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．或B．C．D．或
答案：A
【解析】是2和8的等比中项，或，
当时，方程为，表示椭圆，
，离心率为，
当时，方程为，表示双曲线，
，离心率为，
故选：A
例5．（2023·江西·高三开学考试（文））设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
题型二：圆锥曲线第一定义
例6．（2023·重庆八中高三开学考试（理））设椭圆E:1(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),点A(﹣c,c)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=9c,则椭圆E的离心率取值范围为（ ）
A．[,1)B．[,]C．[,]D．[,]
答案：D
【解析】如图：
设椭圆的另一个焦点为，
因为，
所以
由，
所以，
所以，即，
所以.
因为点在椭圆内，所以，所以，
所以，解得，
因为，
所以.
故选：D
例7．（2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由已知，可根据条件做出下图：
因为，令，
所以，，由椭圆的定义可知，
所以，所以，，，，
由椭圆的定义可知，
在中，，所以,
在中， ，所以
所以.
所以的离心率是.
故选：D.
例8．（2023·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．
答案：D
【解析】由题意，双曲线，可知，
设，可得，
又因为，若的面积为，所以，且，
联立方程组，可得，所以双曲线的离心率为.
故选：D.
例9．（2023·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线的左焦点为， 点在双曲线的右支上， ．若 的最小值是 9 ， 则双曲线的离心率是_____．
答案：
【解析】设双曲线的右焦点为，
双曲线的，
则，
可得，，
由双曲线的定义可得，
可得，
则，
当，，共线时，取得等号．
，则
整理得：
解得或，由于，则，故不符合
所以，
则双曲线的离心率为．
故答案为：．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
答案：C
【解析】依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
题型三：圆锥曲线第二定义
例11．（2023·全国·高三专题练习（文））古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.则方程表示的圆锥曲线的离心率等于（ ）
A．B．C．D．5
答案：B
【解析】因为，
所以，
表示点到定点的距离与到定直线的距离比为，
所以.
故选：B
例12．（2023·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，为左支上一点，到左准线的距离为，若、、成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
答案：D
【解析】，
，即①，
又②．
由①②解得：，，
又在焦点三角形中：，
即：，即，
解得：，
又，
，
故选：D．
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设双曲线的右准线为，
过、分别作于，于，于，
如图所示：
因为直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，
∴，，
由双曲线的第二定义得：，
又∵，
∴，
∴
故选：B
例14．（2023·四川遂宁·二模（理））已知双曲线（ ）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若，则=（ ）
A．14B．16C．18D．20
答案：D
【解析】由题意双曲线的离心率，如图， 设双曲线右准线为 ，分别作 垂直于，垂足为，作 ,垂足为E，
设，则，
由题意得， ，
则，所以.
又 .则，
故，所以，
，
故选：D.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为( )
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】设，则，
过A、B作双曲线右准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作AD的垂线，垂足为E.
根据双曲线的第二定义可得，，
，
由直线的斜率为，可得在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴，，
.
故选：A.
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：（），点A，B为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】由题可知，，设，
由点P在椭圆上，得，
所以，
可得，
所以．
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】由题得：，所以
故选：A．
例18．（2023·全国·高三专题练习（理））椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】解法1：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
解法2：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
例19．（2023·湖南郴州·高二期末）双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．
答案：
【解析】由题意知：，，
若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，
，即，；
设，则，
，
双曲线的离心率.
故答案为：.
例20．（2023·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
答案：D
【解析】设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
例21．（2023·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，根据对称性，知，
所以．
因为点A，P在双曲线上，所以，
两式相减，得，
所以，所以．
故选：D.
题型五：利用数形结合求解
例22．（2023·广西·模拟预测（文））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图，由，有，
可得，可得，有.
在Rt中，由，
不妨设，则，由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，
解得，所以，
在Rt中，，可得，
故双曲线的离心率为.
故选：B.
例23．（2023·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
例24．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】因为，所以是的角平分线，
又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，
则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，
如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，
，，可知为的重心，
设，，，由重心性质可得，
即，
又为的内心，所以，
因为，所以，，则，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
例25．（2023·全国·二模（理））已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意得：渐近线方程为，
设切线方程为，联立得：
，
由得：，
解得：，
所以切线方程为，
令得：，所以，
联立与，解得：，
联立与，解得：，
因为N为MQ的中点，
所以，
解得：，
所以离心率为
故选：A
例26．（2023·全国·模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线l交双曲线C于P，Q两点且使得．A为左支上一点且满足，，的面积为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】如图所示：
因为，所以四边形是平行四边形，
因为，
，
.
所以
可得．
过点A作x轴的平行线交PQ于点B，可知四边形是平行四边形，
因为，所以，
又，所以有．
设，则，，，
，．
在中，由，解得．
在中，由，得，
所以离心率，
故选：C
例27．（2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.
故选：B
例28．（2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
答案：D
【解析】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故选：D
题型六：利用正弦定理
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.
故选：B
例30．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
例31．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点（异于长轴的端点），使得，则该椭圆离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】由已知，得，由正弦定理，得，
所以．
由椭圆的几何性质，知，
所以且，
所以且，
即且，
结合，可解得．
故答案为：.
例32．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得
所以，
所以该椭圆的离心率，
故选：C．
题型七：利用余弦定理
例33．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例34．（2023·河北廊坊·高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，若关于平分线的对称点在上，则的离心率为________.
答案：
【解析】设关于平分线的对称点为Q，
则三点共线，
设，则，
又，所以在中，由余弦定理有：
，即
由椭圆定义可知，可得
所以
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故答案为：
例35．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
例36．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右支分别交于，两点，若，的面积为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．B．2
C．D．
答案：D
【解析】如图，由双曲线的定义可知：，，
因为，所以，
代入中，可得：，
因为，
所以在三角形中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
则，
取的中点M，连接BM，
因为，所以，，
所以，
，
又因为，
所以，
化简得：，
同除以得：，
解得：或（舍去）
故选：D
例37．（2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与的左、右两支分别交于点，若是边长为的等边三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
，，
又，，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
解得：，即，，
双曲线的离心率.
故选：B.
题型八：内切圆问题
例38．（2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，
故选：C．
例39．（2023·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.
故选：A
例40．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一个动点，若的内切圆半径的最大值是，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由椭圆，可得，，，则，
如图，
设内切圆的半径为，
，
，则，
要使内切圆半径最大，则需最大，
，
又内切圆半径的最大值为，即，解得，所以．
则椭圆的离心率
故选：B．
例41．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，点在双曲线右支上运动（不与顶点重合），设与双曲线的左支交于点，的内切圆与相切于点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】
设分别切内切圆交于，则由双曲线的定义可得，即，根据内切圆的性质可得，故，两式相加化简可得，即，故.故双曲线的离心率为
故选：A
例42．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，M为右支上一点，的内切圆圆心为Q，直线交x轴于点N，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
如图，设内切圆Q与的三边分别切于三点，过作轴于点，易得，
又由双曲线定义得，即，又，
故，即点横坐标为，又，则，故直线的方程为，代入，
解得，即，又，则，故，
又，则，，在中，由余弦定理得，
即，化简得，即，解得或，又离心率大于1，故离心率为.
故选：A.
例43．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（文））已知、分别为双曲线的左、右焦点，，是轴正半轴上一点，线段交双曲线左支于点，若，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设的内切圆分别切线段、、于点、、，连接、、，如下图所示：
由切线长定理可知，，，，
因为，，，，
则四边形是边长为的正方形，则，
因为且为的中点，则，
因为
，
即，
又因为，因此，该双曲线的离心率为.
故选：A.
例44．（2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知点P为双曲线一点（点P在第一象限），点分别为双曲线的左，右焦点，的内切圆的半径为1．圆心为点I，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设的内切圆与、相切的切点分别为M，N，Q，
，，
所以
,
又因为，所以，
即，所以，
，∴，
∴或 （舍），
∴．
故选：B
例45．（2023·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：C
【解析】，∴，∴，
∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴为正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故选：C.
题型九：椭圆与双曲线共焦点
例46．（2023·甘肃省民乐县第一中学三模（理））设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，
，则，
又，所以，即，又，
所以椭圆的离心率为．
故选：C．
例47．（2023·重庆·模拟预测）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（ ）
A．6+B．C．D．
答案：C
【解析】连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形 ，
故.
由，，得.
令，代入上式得
故.
设，
由，得t=2，
当1
故t=2时，函数取得最小值，故．
故选：C.
例48．（2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：C
【解析】设 ， ，
在椭圆：中，
，
，
在双曲线：中，
，
即，则
所以，
又因为，所以，
解得，
故选：C.
例49．（2023·河南郑州·一模（文））已知知是椭圆与双曲线的公共焦点，是在第二象限的公共点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】易知椭圆的焦点坐标为，
设双曲线方程为，则，
记，由在椭圆上有，
∴，即，，
∴双曲线离心率为．
故选：B．
例50．（2023·河南郑州·一模（理））已知 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 || PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．8
答案：D
【解析】由题意得：，设椭圆方程为，
双曲线方程为，
又∵.
∴，∴，
则
，当且仅当，
即时等号成立.
则的最小值为8.
故选：D
例51．（2023·江西·模拟预测（理））已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
；
，，设，，则：
在中由余弦定理得，；
化简得，该式可变成，．
；
故选：B．
例52．（2023·云南·一模（理））已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】设椭圆的方程为，
双曲线方程为，点在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得：，，
解得，，
在中，由余弦定理得：
，
即：
整理得：。
所以，，即，
当且仅当时，等号成立．
故，所以的最大值为。
故选：B
例53．（2023·甘肃白银·模拟预测（理））已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是，在第二象限的公共点.若，则的离心率为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设双曲线的实轴长为，焦距长为
由题意得
在中，由勾股定理得
在椭圆中由定义得
∴，故
在双曲线中由定义得
∴，解得
∴双曲线的离心率为
故选：B
例54．（2023·山东日照·二模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的值为（ ）
A．1B．C．4D．16
答案：C
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义，，
设，
则在中由余弦定理得，
化简，该式变成，
故选：C.
例55．（2023·陕西省榆林中学三模（理））椭圆与双曲线共焦点，，它们在第一象限的交点为，设，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，
交点到两焦点的距离分别为，焦距为，
则，
又，，故，，
所以，
化简得，
即 .
故选：B
题型十：利用最大顶角
例56．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】如图：
当P在上顶点时，最大，此时，
则，
所以，
即，，
所以，
则，
所以椭圆的离心率的取值范围是，
故选：A
例57．（2023·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当椭圆的焦点在轴上时，
由椭圆的对称性得,所以，
所以，
所以椭圆的离心率，
因为椭圆的离心率.
当椭圆的焦点在轴上时，同理可得.
综合得.
故选：B
例58．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，
连接，则，∴．
又是上任意一点，则，
又，∴，
则由，得，
又，∴．
故选：C．
例59．（2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．
答案：
【解析】设点，易知，，则，
故点的轨迹为圆，由题意可知，圆与椭圆相交，
由图可知，即，可得，又因为，故．
故答案为：．
例60．（2023·北京丰台二中高三阶段练习）已知，分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点使得（，是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
答案：
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为
根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
例61．（2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
答案：
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
故，
所以，，解得：.
故答案为：
题型十一：基本不等式
例62．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
例63．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆准线上一点，的最大值为60°，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可设直线，的倾斜角分别为，，
由椭圆的对称性不妨设为第一象限的点，即，
则，，因为，
所以
，
所以，则，解得，
故选：A.
例64．（2023·山西运城·高三期末（理））已知点为椭圆的左顶点，为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆离心率的最大值______________.
答案：
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设，，
∴
当且仅当取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即，
∴，即，
所以，
故椭圆离心率的最大值为.
故答案为：.
例65．（2023·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线，F为右焦点，过点F作轴交双曲线于第一象限内的点A，点B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当取得最大值时，双曲线的离心率为______．
答案：
【解析】如图，
根据题意，，，
∴，，
设直线的倾斜角为，
∴，
当且仅当时等号成立，
即，，，又
∴，
故答案为：．
例66．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为，则该双曲线离心率的取值范围为__________．
答案：
【解析】设点，其中，易知点、，且有，则，
，
当点在第一象限时，，，则，，且，
由基本不等式可得，
因为存在点，使得直线、的斜率之和为，则，即，
.
故答案为：.
题型十二：已知范围
例67．（2023·四川省南充市白塔中学高三开学考试（理））已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，为上顶点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】易知点、、、，则线段的方程为，
在线段上取一点，满足，则，
，，
所以，，
整理可得，
由题意可知，关于的方程在时有两个不等的实根，
则，可得，可得，
所以，.
故选：D.
例68．（2023·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设点，
，因为，
所以，即，
结合可得，所以.
故选：B.
例69．（2023·全国·高三开学考试（理））设，分别是椭圆的左､右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，由椭圆的方程可得，，，
则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
所以可得，所以，
由，所以，整理可得：，，
可得：.
故选：B
例70．（2023·四川·高二期末（文））设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
代入可得
所以，
因为，
所以整理可得：，消去得：
所以，即
所以.
故选：B.
例71．（2023·吉林·长春市第二实验中学高二阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是______．
答案：
【解析】设点，则，可得，且，
，，
所以，，
即，可得，
整理可得，即，
又因为，则，即，故，故，
故答案为：.
题型十三：
例72．（2023·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】在中，由正弦定理可得,
又由，即，即,
设点，可得，
则，解得，
由椭圆的几何性质可得，即，
整理得，解得或，
又由，所以椭圆的离心率的取值范围是.
故选：C.
例73．（2023·浙江湖州·高二期中）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得，则该离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即，
因为 ，所以，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
例74．（2023·全国·高二课时练习）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
题型十四：中点弦
例75．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
例76．（2023·福建·晋江市第一中学高三阶段练习）已知椭圆，，过点P的直线与椭圆交于A，B，过点Q的直线与椭圆交于C，D，且满足，设AB和CD的中点分别为M，N，若四边形PMQN为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】如图，不妨设，两条直线的斜率大于零，连结，
由题意知，
解得，，或，（舍），
所以，，
在中，因为，所以，
故此时，，
设，，，，则，
两式相减得，
即，即，
因此离心率，所以，
故选：D．
例77．（2023·全国·高三开学考试（理））以原点为对称中心的椭圆焦点分别在轴，轴，离心率分别为，直线交所得的弦中点分别为，，若，，则直线的斜率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设椭圆的方程分别为，，由可知，
直线的斜率一定存在，故设直线的方程为.
联立得，
故，；
联立得，
则，.
因为，所以，
所以.
又，所以，
所以，所以，.
故选：A.
例78．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，由题意得，，两式相减，得，因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．设，则，过作轴，垂足为，则，，由题易知位于第二象限，所以，所以，得，所以，所以．
故选：B
例79．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．1
答案：A
【解析】设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：A.
例80．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
例81．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
例82．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若，（表示的面积），则双曲线C的离心率的值为（ ）
A．B．C．D．或
答案：D
【解析】若直线斜率不存在，不妨设点，
则
所以，则离心率；
若直线斜率存在，设，
中点，不妨设M在x轴上方，
由，得，
故点M在圆上，
由，得，
则，所以．
由得，即．
当时，，得．
当时，，矛盾，舍去．
综上所述，或．
故选：D．
例83．（2023·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于，两点，若是线段的中点，直线与直线（是坐标原点）的斜率的乘积等于，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设，，则直线的斜率为，直线的斜率为，
即．
因为点，在双曲线上，所以有，，
化简可得：，
所以有，离心率为．
故选：D．
题型十五：已知焦点三角形两底角
例84．（2023·广西·江南中学高二阶段练习（文））已知，分别是椭圆：的左右两个焦点，若在上存在点使，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】在中，且满足，所以，，所以、，所以，所以；
故选：B
例85．（多选题）（2023·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为 （ ）
A．B．C．D．2
答案：BC
【解析】∵，则离心率，则排除A；
记，，，
则，
由正弦定理结合分比定理可知：，
则，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
例86．（2023·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线右支上的一点，若在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】在以为直径的圆上，，
，，，，
由双曲线定义知：，即，
；
，，，
则，，
即双曲线离心率的取值范围为.
故选：D.
例87．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知、分别为双曲线C：的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足，且，则该双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：D
【解析】因为，分别为双曲线的左右焦点，
由正弦定理得到，
又因为得，
又∵，
∴，，
在中，，，，
∴，，
在中，，
所以，
化简得.
故选：D.
例88．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0，－1)B．C．D．(－1,1)
答案：D
【解析】由正弦定理可得：,结合题意可得，所以，根据椭圆的定义可得，所以，，易知.
因为为椭圆上一点，所以，即，
整理得，所以，解得.故选D.
题型十六：利用渐近线的斜率
例89．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
|PF|的最小值即为焦点到渐近线的距离，故，
即，∴，.
故选：D
例90．（2023·河南·开封市东信学校模拟预测（文））定义：双曲线为椭圆的“伴随曲线”.已知点在椭圆C上，且椭圆C的伴随曲线的渐近线方程为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由定义可知C的伴随曲线的渐近线方程为.
由题意可知，，即.
将点代入椭圆C的方程，得，
联立，解得，即
所以，即
所以椭圆的离心率.
故选：A.
例91．（2023·天津市新华中学模拟预测）已知双曲线，抛物线的准线经过的焦点且与交两点，，若抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】抛物线的准线，
双曲线的左焦点，即，
所以，
双曲线的一条渐近线为，即，
抛物线的焦点即为双曲线的右焦点，
则到渐近线的距离为，
所以，代入得，所以.
故选：A
例92．（2023·江西·赣州市第三中学模拟预测（文））已知椭圆与双曲线有公共的焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且点在第一象限，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】设椭圆的右焦点为，依题意可得，
双曲线的一条渐近线为，
因为，所以：，
由，解得，即，又点在椭圆上，
所以，即，
即，即，即，
即，
即
即，
即，
即，
解得或（舍去），
所以椭圆方程为，则，
所以椭圆的离心率
故选：C
例93．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知点和是双曲线C：的两个焦点，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为H，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意不妨取双曲线的一条渐近线为，，，
所以到直线的距离，
又的斜率为，所以的方程为，
由，解得，即，
所以，
因为，所以，即，即，
所以离心率；
故选：B
例94．（2023·四川·宜宾市叙州区第二中学校三模（文））已知双曲线及双曲线，且的离心率为，若直线与双曲线、都无交点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可知，双曲线的离心率为，可得，
因为双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，
所以，双曲线、的渐近线重合，且双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，
因为直线与双曲线、都无交点，则.
故选：B.
例95．（2023·江西·二模（文））已知双曲线C：的左焦点为，点P在圆：上，若C的一条渐近线恰为线段FP的垂直平分线，则C的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
答案：B
【解析】由题意，圆心为C的右焦点，，不妨设点P在第一象限，则，，所以直线PF的斜率，从而，，
故C的离心率．
故选：B．
例96．（2023·山西吕梁·模拟预测（文））已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意可知，则以PQ为直径的圆的方程为，
因为双曲线的渐近线上存在点M，使得，
所以圆与双曲线的渐近线有公共点，
即圆心到渐近线的距离，
则，即，所以
所以.
故选A.
例97．（2023·新疆·二模（理））如图．已知椭圆，双曲线，若以椭圆的长轴为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，且椭圆与该渐近线的两交点将线段三等分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由已知，设所在渐近线方程为，
设点，
所以，即，则，
所以线段的一个三等分点坐标为，
由于该点在椭圆上，所以，解得.
所以.
所以离心率.
故选：A.
题型十七：坐标法
例98．（2023·全国·高三专题练习）双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.求双曲线的离心率.
【解析】当时，点在第一象限或第四象限，由对称性，不妨设点在第一象限，
，，
在双曲线上，则有，
又，消去可得，
即，变形，
即，
所以，
因为，所以，
解得.
所以双曲线的离心率为.
例99．（2023·全国·高三专题练习）已知是双曲线的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足，则该双曲线的离心率为___________.
答案：3
【解析】令，又，，，则，
∴，故，
∴.
故答案为：3.
例100．（2023·河南·宝丰县第一高级中学高三开学考试（理））已知双曲线的右焦点为F，P为C右支上一点，与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若为直角三角形，则C的离心率为______.
答案：
【解析】不妨设点P在x轴的上方，由题意可知轴，
所以P点的横坐标，代入，得.
又为直角三角形，易知，且，
则有，即，
则，即，则.
故答案为：
例101．（2023·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线的左､右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
答案：
【解析】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
例102．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线与椭圆C交于A，B两点，O为原点，若三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】将代入C中，得，，由题意得，
即，．
故选：D.
例103．（2023·河南洛阳·三模（文））已知椭圆的左､右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限的交点为，的平分线与轴交于点，若四边形的面积为，则椭圆的离心率___________.
答案：
【解析】如图，设与轴的交点为，连接，
因为平行于轴，故为的中点，且，
故，又，故，
因为，故，
所以，
故四边形为：
，
故即离心率为，
故答案为：
题型十八：利用焦半径的取值范围
例104．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为.若双曲线的右支上存在点，使，则双曲线的离心率的取值范围为___________.
答案：
【解析】依题意，点在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在中，由正弦定理得：
，因，于是得，
而点P在双曲线M的右支上，即，从而有，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有，
因此，而，整理得，即，
解得，又，故有，
所以双曲线M的离心率的取值范围为.
故答案为：
例105．（2023·吉林长春·二模（文））已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由双曲线定义可知，，，结合 可得，从而，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.
例106．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由条件得，所以，即，
又因为，所以，
即，得，
又，所以．
故选：C
例107．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
答案：
【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，
解得，，
由题意可得，解得，又，所以，
所以椭圆离心率的取值范围是．
故答案为：.
例108．（2023·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
答案：
【解析】，，
又，，
解得，则.
故答案为
例109．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，
消去整理得：，
解得(舍去)或，
由得，
所以，即，
若，则，又，
消去整理得：，
解得或，舍去．
所以，
所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；
②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或
当时，则，即，则，
当时，则有，则，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是.
故选：A.
题型十九：四心问题
例110．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆）的左､右焦点分别为和为C上一点，且的内心为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】连接，延长交轴于，则
，又，，
所以，
故，即，
又，
所以，即.
故选：D.
例111．（2023·河北衡水·高三阶段练习（理））已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．5
答案：C
【解析】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.
故选：C.
例112．（2023·江苏·高二单元测试）设为双曲线的右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，线段的中点为，的外心为，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：D
【解析】由题,因为,所以、、三点共线,
因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,
设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,
则在中,,即,所以是直角三角形,
所以,
因为,由双曲线定义可得,所以,
则,因为,整理可得,
所以,
则,
故选:D
例113．（2023·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
答案：B
【解析】如图所示：
由题意得：，
则，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得，
所以，则，
因为与轴平行，
所以，即，
则，即，
解得，
故选：B
例114．（2023·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，P为右支上一点，若的重心为，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
答案：B
【解析】双曲线的左、右焦点，，
设P点坐标为，则由的重心为，可得，
把P点坐标代入双曲线C的方程，解之得．又，则．
所以可得双曲线C的离心率为
故选：B．
例115．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
例116．（2023·重庆·西南大学附中模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P在第一象限内，，G为重心，且满足，线段交椭圆C于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
如图，连接并延长交于，连接.由得，
即，所以，又G为重心，所以是等腰三角形，，
由得，，又由椭圆定义.
，即，化简得，故离心率为.
故选：B.
例117．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径.
又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即.
又，所以，
因为，
所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B
例118．（2023·新疆·三模（理））点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
答案：D
【解析】
设内切圆的半径为，则，
由可得，化简得，
又，故.
故选：D.
例119．（2023·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.
故选：B.
例120．（2023·山东临沂·模拟预测）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点O，A，B，若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】如图所示：
双曲线的渐近线方程为，与抛物线联立，解得或，
所以，，
因为的垂心为的焦点，
所以，
即，即，
所以，
故选：A
例121．（多选题）（2023·福建·莆田第九中学高三阶段练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
【解析】设，
由，得，得，
由，得，得，
由，得，得，
，
，
，
若为重心、为外心、为垂心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得，此时双曲线的离心率，
若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.
故选：ABD
例122．（多选题）（2023·全国·高二专题练习）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．点的运动轨迹为双曲线的一部分
C．若，，则.
D．存在点，使得
答案：ACD
【解析】由题意，双曲线，可得，
则离心率为，所以A正确；
设，的内切圆与边切于点，与边切于点，
与边切于点，可得，
由双曲线的定义可得，即，
又由，解得，则的横坐标为，
由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动，
所以B不正确；
由且，解得，
则，可得，
所以，同理可得，
设直线，直线，
联立方程组，求得，
设的内切圆的半径为，则，
解得，即有，
可得，
由，可得，解得，
可得，所以C正确；
设，则，
设的内切圆的半径为，则，
于是，可得，
若，可得，即，
又由，联立可得，
因此，解得，
即存在点，使得，所以D正确.
故选：ACD.
例123．（2023·全国·高三专题练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l与y轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合M，且M恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是①，②，③，④，⑤，⑥.以上结论正确的是___________.
答案：①③⑤
【解析】设直线l的方程为，
令x=0，可得y=t，设直线l与y轴的交点，
双曲线的渐近线方程为，
与直线y=x+t联立，可得，
由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，
当A，B，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=2b，；
当A，C，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－2b不成立；
当B，A，C依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=3a，；
当C，A，B依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为b=－3a不成立；
当C，B，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=5b，；
当B，C，A依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，
可得，即为，化为a=－5b不成立.
故答案为：①③⑤.
例124．（2023·四川达州·高二期末（文））双曲线（，）的左焦点为，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是___________.
答案：
【解析】由为正三角形，坐标原点为的重心，
，，故,
代入双曲线方程可得：，即
可得，即
故答案为：
例125．（2023·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
答案：
【解析】设，可得，
则,
因为，
所以，
则可得，则内切圆半径为，
由椭圆定义可得，又，
所以，
即，则可得，所以离心率为.
故答案为：.
例126．（2023·江西鹰潭·二模（理））已知双曲线C：，直线与曲线C交于A，B两点（点A在点B的上方），，点E在轴上，且轴，若的内心到轴的距离不小于，则双曲线C离心率的取值范围为___________．
答案：
【解析】当时，，，所以、，
因为，所以，
因为点E在轴上，且轴，所以，
设的内切圆的半径为，则，
所以，
所以，
依题意可得，即，
所以，化简得，
所以离心率，
又，所以双曲线C离心率的取值范围为.
故答案为：.
例127．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线虚轴的一个顶点为，直线与交于，两点，若的垂心在的一条渐近线上，则的离心率为___________.
答案：
【解析】设的垂心为，则，
不妨设，则，代入渐近线方程，解得，
则，因为直线与双曲线交于点，，
则，两点的坐标分别为：，，
因为，
化简可得，
所以双曲线的离心率为，
故答案为：．
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