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新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题41直线与圆锥曲线(原卷版+解析)
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这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题41直线与圆锥曲线(原卷版+解析)，共83页。
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
方向3：对称问题
方向4：斜率之积问题
题型三：弦长问题
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
方向2：四边形问题
【典例例题】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
例2．（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
例8．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．B．C．D．
例9．（2023·上海市吴淞中学高三开学考试）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例11．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
例12．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
例15．（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
例18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
方向3：对称问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
例22．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
例23．（2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
方向4：斜率之积问题
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
例25．（2023·河北·高三阶段练习）离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·河南·模拟预测（文））已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
【方法技巧与总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆中，中点弦的斜率为，满足．
在双曲线中，中点弦的斜率为，满足．（其中为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
例29．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
例30．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
例31．（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，点在上的投影为．若，则（ ）
A．B．C．D．
例32．（2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
例33．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
例34．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
例35．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
例36．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
例38．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
例39．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例40．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
例41．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
例42．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
例43．（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
例45．（2023·浙江·高三开学考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
例46．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例48．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________.
例49．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________.
方向2：四边形问题
例50．（2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
例51．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________.
例52．（2023·陕西·三模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
例53．（2023·湖南·武冈市第二中学模拟预测）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
例54．（2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【方法技巧与总结】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测（理））已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
3．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知点是双曲线的左焦点，直线与该双曲线交于两点，，则的重心到轴的距离为（ ）
A．1B．4C．3D．2
4．（2023·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2023·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（ ）
A．3B．9C．12D．16
7．（2023·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
二、多选题
9．（2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
11．（2023·福建·上杭一中模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4
12．（2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．的面积的最大值为1
D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2
三、填空题
13．（2023·四川·模拟预测（文））已知抛物线：的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，为坐标原点，且，则______．
14．（2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
15．（2023·辽宁·二模）写出满足下列条件的一个抛物线方程_____．
（1）该抛物线方程是标准方程；
（2）过的任意一条直线与该抛物线C有交点，且对于C上的任意一点P，的最小值为2．
16．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．
四、解答题
17．（2023·天津市宝坻区第一中学二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
18．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
19．（2023·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.
20．（2023·辽宁实验中学模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
21．（2023·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
专题41 直线与圆锥曲线
【考点预测】
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
方向3：对称问题
方向4：斜率之积问题
题型三：弦长问题
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
方向2：四边形问题
【典例例题】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，（当且仅当时取等号），
，即，曲线方程为：；
当，时，曲线为：，
由得：或，即交点为，；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
当，时，曲线为：，曲线不存在；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
综上所述：直线与曲线的交点为，，共个.
故选：B.
【方法技巧与总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
例2．（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
【解析】由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
例3．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0
答案：B
【解析】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围.
故选：A.
例5．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
答案：B
【解析】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当直线斜率不存在时，，与抛物线无交点，不合同意；
当直线斜率为零时，，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；
当直线斜率不为零时，，即，
由得：，
则，解得：，满足题意的直线有两条；
综上所述：过点与抛物线只有一个交点的直线有条.
故选：C.
例9．（2023·上海市吴淞中学高三开学考试）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】即，表示双曲线的一支，
表示过点斜率为的直线，
由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，
当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，
当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，
故答案为：
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
答案：
【解析】
焦点在x上
焦点坐标为
由双曲线的对称性可得，设，，
又∵，，
，
，
又 ，
，
又，
而，
，
当时，，
，，
，整理得 ，
又 ， ，
又的渐近线方程为 ，，
又，
的取值范围为 ．
故答案为： ．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例11．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
答案：
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
例12．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
例13．（2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组得，其 ，说明所求直线存在，故直线的方程为.
（2）假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D两点，设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组 ,得 ，根据 ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
【解析】设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
例15．（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
【解析】设，，
，两式相减并化简得，，
所以抛物线方程为.
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
答案：
【解析】解法一：（弦中点问题：点差法）
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
解法二：（直线与圆锥曲线相交的常规方法）
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
解法三：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．
（2）显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
例18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
答案：
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
方向3：对称问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为，
解得，则，
所以椭圆的标准方程是；
（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为：，，
AB中点的坐标为，
则，两式相减得，
即，又，
解得，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以，即，
解得，
所以直线斜率的取值范围
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点，则应有：
①-②并把③代入得.
.⑥
联立④⑥得代入⑤得，解得.
例22．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
例23．（2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
方向4：斜率之积问题
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
答案：
【解析】设，，，
则，，．
由，得，即，
所以，得．
联立方程组，得，
则，．
因为
，
所以，故．
故答案为：．
例25．（2023·河北·高三阶段练习）离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，，，
∴，，相减整理得，
即，，
∵，
∴，
故选：A.
例26．（2023·河南·模拟预测（文））已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
【解析】因为椭圆经过点，
所以（1），
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，
所以 （2），由（1）（2）解得，
所以椭圆方程为：；
【方法技巧与总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆中，中点弦的斜率为，满足．
在双曲线中，中点弦的斜率为，满足．（其中为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
【方法技巧与总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
例29．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
答案：
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例30．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
答案：C
【解析】，当直线的斜率不存在时，不满足题意，
所以直线的斜率存在，设，
将代入直线方程整理得，
所以，，
所以，
所以，
故选：C
例31．（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，点在上的投影为．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，
，所以，四边形为矩形，所以，，
因为，所以，，故，
由抛物线的定义可得，，所以，，即.
故选：B.
例32．（2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】将代入，解得，
则、，
所以，解得，
则.
故选：C.
例33．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
例34．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
例35．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
例36．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
【解析】（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
例38．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
例39．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例40．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
【解析】（1）由题意得：，且，
解得：，
所以，
所以椭圆方程为；
（2）联立与椭圆方程可得：
，
由，解得：；
设，
则，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离为，
则的面积为，
其中，
令，，
则，
由于，所以，,
令得：，
令得：，
即在上单调递增，
在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．
例41．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1），，
由椭圆过点得，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，
当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点
则有，∴.
将方程代入椭圆方程中整理得：，
∴，，
，
∴，当且仅当，即时取等号.
当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
∴面积的最大值为2.
例42．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
例43．（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
例45．（2023·浙江·高三开学考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
【解析】（1）设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
例46．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】①当中一条边垂直于轴时，不妨设，直线方程为，易得当面积最大时，为椭圆右顶点.
此时，，故，设，则恒成立，此时的最大值为.
②当中不存在垂直于轴的边时，根据题意，当面积最大时，不妨设，此时过的切线与平行，设为，此时必有.
联立，则，设，则.
故，
联立，则，判别式可得，即，因为，，
故到距离，
.
设，由题意，，则，则当时，取最大值，此时.
综上△ABC的面积最大为.
故选：D
例47．（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知：，点，由，得，
所以的面积为.
故选:B.
例48．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________.
答案：8
【解析】由，得，
所以，可得.
不妨设，，所以，
所以点在以为直径的圆上，
所以是以为直角顶点的直角三角形.
故．
又因为点在双曲线的右支上，所以，
所以，解得，
所以．
故答案为:8.
例49．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________.
答案：4
【解析】由题意，得，设直线的方程为，
，，且，
联立，得，
则，，且，
当时，由，得，，
即在点处的切线斜率为，
方程为；
当时，由，得，，
即在点处的切线斜率为，
方程为；联立、的方程，
解得 ，即；
因为，，
所以，所以，
则，
，
所以
因为，，（当且仅当时取等号）
所以的面积的最小值为4.
故答案为：4.
方向2：四边形问题
例50．（2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，
（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．
例51．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________.
答案：2
【解析】由椭圆的方程可得，，所以，
故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则，
设，则，，
由是的中位线，易得，
即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为.
故答案为：
例52．（2023·陕西·三模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
【解析】（1）依题意可知，解得
故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，
由得，
故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
故四边形面积的最大值为2．
例53．（2023·湖南·武冈市第二中学模拟预测）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
【解析】（1）证明：设，则，
∵，，∴，，
∵在椭圆上，∴
∴为定值．
（2）设，依题意：，点在第一象限，∴．
联立：得：，
∴，，
设到的距离为，到的距离为，
∴，，
∴．
又∵
（当时取等号），
∴．
∴四边形的面积的最大值为
例54．（2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）因为（），
所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
所以，，，
所以轨迹方程为；
（2）当一条直线斜率不存在时，代入椭圆方程得，，因此弦长，另一直线斜率为0，，
；
当两条直线斜率都存在且不为0时，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，
，
由于，所以直线斜率为，同理，
，
令，则，，
因为，所以，，
综上，，
的最小值为．
【方法技巧与总结】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测（理））已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】抛物线的准线为，所以，
由题意可知直线的斜率存在，
故设直线为，，，
则，即，
所以，，
因为，即，
所以，
所以或，
所以.
故选：B
2．（2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
答案：A
【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，
则
故选：A
3．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知点是双曲线的左焦点，直线与该双曲线交于两点，，则的重心到轴的距离为（ ）
A．1B．4C．3D．2
答案：C
【解析】由题意得：
不妨设，
联立双曲线方程与直线方程
消去得: ，故
因为，所以点到轴的距离为．
故选：C
4．（2023·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
答案：A
【解析】由题意得：
由双曲线的方程，可知，
过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为
联立，得：
联立，得：
则 ，
，整理得：，解得：
故选：A
5．（2023·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
6．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（ ）
A．3B．9C．12D．16
答案：B
【解析】由已知，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
7．（2023·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，
设点，则
即 有非负实根
解得
故选：A
8．（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
答案：D
【解析】设切线方程是，
由得，
显然时，所得直线不是双曲线的切线，所以，
由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，
所以，，则（为双曲线的半焦距），，即，
代入方程，得，此时，
综上，的范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】因为，，，所以点在以，为焦点的双曲线的右支，
且，，即，，
所以，
所以其标准方程为：，双曲线的渐近线为．
对于A，即为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故不是“好直线”；
对于B，联立直线与双曲线得，
解得则，即，所以直线是“好直线”；
对于C：消去整理得，，但是，
故直线与双曲线的左支有两个交点，与右支没有交点，故不是“好直线”；
对于D，消去整理得，，且，
故直线与双曲线的右支有两个交点，故是“好直线”；
故选：BD．
10．（2023·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
答案：ACD
【解析】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C，，弦长为，故C正确
对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确
故选：ACD
11．（2023·福建·上杭一中模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4
答案：BC
【解析】抛物线：的焦点为，设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：
，设，，，，
若的坐标为，则，，
而，即，方程组无解，所以A错误，
又
，即，所以坐标原点在以为直径的圆内，所以B正确，
，故C正确；
抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为2，故D错误，
故选：BC
12．（2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．的面积的最大值为1
D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2
答案：BCD
【解析】依题意作下图：
对于A，由题可知 ，所以长轴长为 ，A错误；
对于B， ，分别过 作平行于x轴的直线与椭圆有4个交点 ，当点P与这4个点重合时， 为直角三角形；
以原点O为圆心， 为半径作圆，与椭圆有2个交点，证明如下：
联立方程： ，解得 ，故交点为 ，即当点P与 重合时，
为直角三角形，共有6个直角三角形，B正确；
对于C，当点P与 或 重合时，面积最大 ，C正确；
对于D，运用参数方程，设 ，同时有： ，则有：
， ，D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·四川·模拟预测（文））已知抛物线：的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，为坐标原点，且，则______．
答案：3
【解析】抛物线：的焦点是，
不妨设在第一象限，则，所以，则直线的方程为，
令，得，由，解得．
故答案为：
14．（2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
答案：
【解析】联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
15．（2023·辽宁·二模）写出满足下列条件的一个抛物线方程_____．
（1）该抛物线方程是标准方程；
（2）过的任意一条直线与该抛物线C有交点，且对于C上的任意一点P，的最小值为2．
答案：（答案不唯一）
【解析】设抛物线：， ，由题知：
，
当时，，解得.
抛物线：，将代入，，在抛物线内，
满足过的任意一条直线与该抛物线C有交点.
故答案为：（答案不唯一）
16．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．
答案：
【解析】设，，，
由得：，
∵，，，
∴，，
，
，，，
则取时，，，，，
，，
，
即，
即，
即
故，
将x＝2代入l方程得，
将代入抛物线方程得，
故，
根据抛物线的对称性可知，当k＝－1时，．
综上，．
故答案为：2
四、解答题
17．（2023·天津市宝坻区第一中学二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
【解析】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．
又因为，解得．所以，椭圆的离心率为
（2）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为．
由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立，
可解得，即点的坐标为．
由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为．
（ⅱ）由，可得，故椭圆方程可以表示为．
由（ⅰ）得直线的方程为
与椭圆方程联立 消去整理得
解得（舍去）或．
因此可得点，
进而可得
所以．得．
所以，椭圆的方程为
18．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为，，
将代入得，
所以，
因为点是椭圆上一动点，所以，
所以面积，
由，求得，
所以椭圆的方程为：.
(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，
整理可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，得，
因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，
所以，
将代入直线可得，所以，
所以，
，将代入上式，
得，所以为定值.
19．（2023·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.
【解析】（1）设，由题知时，，故抛物线方程为；
（2）设，联立抛物线方程得，∴，，而，，
所以，
当且仅当时等号成立，故直线的方程为．
20．（2023·辽宁实验中学模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
【解析】(1)设，则，
设，则，，
设，则，
故即，所以即
所以即的轨迹方程为：.
(2)由（1）可得，故直线.
到的距离为，
故面积，
因为，故即，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.
21．（2023·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
方向3：对称问题
方向4：斜率之积问题
题型三：弦长问题
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
方向2：四边形问题
【典例例题】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
例2．（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
例3．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
例8．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．B．C．D．
例9．（2023·上海市吴淞中学高三开学考试）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例11．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
例12．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
例13．（2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
例15．（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
例18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
方向3：对称问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
例22．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
例23．（2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
方向4：斜率之积问题
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
例25．（2023·河北·高三阶段练习）离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
例26．（2023·河南·模拟预测（文））已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
【方法技巧与总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆中，中点弦的斜率为，满足．
在双曲线中，中点弦的斜率为，满足．（其中为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
例29．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
例30．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
例31．（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，点在上的投影为．若，则（ ）
A．B．C．D．
例32．（2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
例33．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
例34．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
例35．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
例36．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
例38．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
例39．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例40．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
例41．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
例42．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
例43．（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
例45．（2023·浙江·高三开学考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
例46．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（ ）
A．B．C．D．
例47．（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
例48．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________.
例49．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________.
方向2：四边形问题
例50．（2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
例51．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________.
例52．（2023·陕西·三模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
例53．（2023·湖南·武冈市第二中学模拟预测）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
例54．（2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【方法技巧与总结】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测（理））已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
3．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知点是双曲线的左焦点，直线与该双曲线交于两点，，则的重心到轴的距离为（ ）
A．1B．4C．3D．2
4．（2023·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2023·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
6．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（ ）
A．3B．9C．12D．16
7．（2023·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
二、多选题
9．（2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
11．（2023·福建·上杭一中模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4
12．（2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．的面积的最大值为1
D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2
三、填空题
13．（2023·四川·模拟预测（文））已知抛物线：的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，为坐标原点，且，则______．
14．（2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
15．（2023·辽宁·二模）写出满足下列条件的一个抛物线方程_____．
（1）该抛物线方程是标准方程；
（2）过的任意一条直线与该抛物线C有交点，且对于C上的任意一点P，的最小值为2．
16．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．
四、解答题
17．（2023·天津市宝坻区第一中学二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
18．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
19．（2023·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.
20．（2023·辽宁实验中学模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
21．（2023·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
专题41 直线与圆锥曲线
【考点预测】
知识点一、直线和曲线联立
（1）椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
（2）抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．
同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．
与C相离；与C相切；与C相交．
注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；
焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为，时，；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦的中点，研究的斜率和方程
（1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，
运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，
所以，两式相减得
所以
即，故
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．
【题型归纳目录】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
方向3：对称问题
方向4：斜率之积问题
题型三：弦长问题
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
方向2：四边形问题
【典例例题】
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2023·四川达州·二模（理））函数的最小值为，则直线与曲线的交点个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】当时，（当且仅当时取等号），
，即，曲线方程为：；
当，时，曲线为：，
由得：或，即交点为，；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
当，时，曲线为：，曲线不存在；
当，时，曲线为：；
由得：，即交点为；
综上所述：直线与曲线的交点为，，共个.
故选：B.
【方法技巧与总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
例2．（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的交点个数为（ ）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案：C
【解析】由题意，椭圆，可得，
则椭圆的右顶点为，上顶点为，
又由直线恰好过点，所以直线与椭圆有且仅有2个公共点.
故选：C.
例3．（2023·全国·高三专题练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（ ）
A．0或1B．2C．1D．0
答案：B
【解析】由题意，得，故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆内部，过点的直线与该椭圆必有2个交点．
故选：B
例4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，
设，则，
又由，可得，
因为，即，可得，
所以直线斜率的取值范围.
故选：A.
例5．（2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））直线与双曲线没有公共点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】联立直线和双曲线：，消去得，
当，即时，此时方程为，解得，此时直线与双曲线有且只有一个交点；
当，此时，
解得或，所以时直线与双曲线无交点；
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线的一个顶点为A，过点A的直线与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】斜率为，
过点A的直线与双曲线只有一个公共点，
则该直线与双曲线的渐近线平行，且过双曲线右顶点(a，0)，
故=，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=，故焦距为2c=．
故选：D．
例7．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线l与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．无数条
答案：B
【解析】由题意，抛物线方程，点恰好再抛物线上，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与抛物线有两个交点，不满足题意；
当直线与轴平行时，此时直线与抛物线只有一个公共点，满足题意；
因为点在抛物线上，过点有且仅有一条切线，满足与抛物线只有一个公共点，
所以与抛物线只有一个公共点的直线只有2条.
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习）过点作直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）条
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当直线斜率不存在时，，与抛物线无交点，不合同意；
当直线斜率为零时，，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；
当直线斜率不为零时，，即，
由得：，
则，解得：，满足题意的直线有两条；
综上所述：过点与抛物线只有一个交点的直线有条.
故选：C.
例9．（2023·上海市吴淞中学高三开学考试）若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．
答案：
【解析】即，表示双曲线的一支，
表示过点斜率为的直线，
由题意得与的图象恰有两个交点，即直线与双曲线的两个交点都在轴上方，
当直线与双曲线相切时，，联立后由解得，当时，切点在轴下方，舍去，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，
当直线与双曲线的两个交点都在轴上方时，
故答案为：
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.
答案：
【解析】
焦点在x上
焦点坐标为
由双曲线的对称性可得，设，，
又∵，，
，
，
又 ，
，
又，
而，
，
当时，，
，，
，整理得 ，
又 ， ，
又的渐近线方程为 ，，
又，
的取值范围为 ．
故答案为： ．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例11．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．
答案：
【解析】设直线与椭圆的交点为
为的中点， ；
两点在椭圆上，则
两式相减得 ；
则 ； ；
故所求直线的方程为 ，即 ；
故答案为：
例12．（2023·全国·高三开学考试（理））已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
例13．（2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知双曲线，
(1)过点的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程；
(2)是否存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组得，其 ，说明所求直线存在，故直线的方程为.
（2）假设存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点，设该直线与双曲线交于C,D两点，设 ，则 ，两式相减得 ，所以 ，又因为为弦的中点,故 ，所以，所以直线的方程为，即，由方程组 ,得 ，根据 ，说明所求直线不存在,故假设不成立，即不存在直线，使得 为被该双曲线所截弦的中点.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.
【解析】设点，则，所以，
又因为直线AB的斜率为1，所以，
将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，
，即，
所以，即，所以，
因此，抛物线的方程为.
例15．（2023·全国·高三专题练习）斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；
【解析】设，，
，两式相减并化简得，，
所以抛物线方程为.
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．
答案：
【解析】解法一：（弦中点问题：点差法）
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
解法二：（直线与圆锥曲线相交的常规方法）
由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
解法三：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
【解析】（1）设点的坐标为，，由椭圆定义可知，点轨迹是以，为焦点的椭圆，，，，动点的轨迹的方程为．
（2）显然直线的斜率存在且不等于，设，，则，，又、在椭圆上，所以，，两式相减得，即所以，即，即，所以直线的方程为，即；
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；
例18．（2023·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
答案：
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
方向3：对称问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线的过定点，若椭圆上存在两点，关于直线对称，求直线斜率的取值范围．
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为，
解得，则，
所以椭圆的标准方程是；
（2）易知直线的斜率存在，设直线方程为：，，
AB中点的坐标为，
则，两式相减得，
即，又，
解得，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以，即，
解得，
所以直线斜率的取值范围
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，试确定m的取值范围，使得圆E上存在不同的两点关于直线对称.
【解析】设、是椭圆E上关于直线的两个对称点，则应有：
①-②并把③代入得.
.⑥
联立④⑥得代入⑤得，解得.
例22．（2023·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
（2）∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
例23．（2023·四川内江·模拟预测（理））若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.
答案：
【解析】依题意，双曲线上两点，，，，
若点A、B关于直线对称，则
设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：
，
则，且，解得，且
又，设的中点是，，
所以，．
因为的中点在直线上，
所以，所以，又
所以，即，所以
所以，整理得，
所以或，
实数的取值范围为：
故答案为：.
方向4：斜率之积问题
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
答案：
【解析】设，，，
则，，．
由，得，即，
所以，得．
联立方程组，得，
则，．
因为
，
所以，故．
故答案为：．
例25．（2023·河北·高三阶段练习）离心率为的椭圆与直线的两个交点分别为A，B，P是椭圆不同于A、B、P的一点，且、的倾斜角分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设，，，
∴，，相减整理得，
即，，
∵，
∴，
故选：A.
例26．（2023·河南·模拟预测（文））已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
【解析】因为椭圆经过点，
所以（1），
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得，
因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，
所以 （2），由（1）（2）解得，
所以椭圆方程为：；
【方法技巧与总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆中，中点弦的斜率为，满足．
在双曲线中，中点弦的斜率为，满足．（其中为原点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线中，中点弦的斜率为，满足（为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
【方法技巧与总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
例29．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．
答案：
【解析】∵椭圆方程为，∴焦点分别为，，
∵直线AB过左焦点的倾斜角为60°，∴直线AB的方程为，将AB方程与椭圆方程联立消去y，得．设，，可得，，
∴，因此，．
故答案为:．
例30．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，若在其准线上的投影长为6，则（ ）
A．B．C．12D．
答案：C
【解析】，当直线的斜率不存在时，不满足题意，
所以直线的斜率存在，设，
将代入直线方程整理得，
所以，，
所以，
所以，
故选：C
例31．（2023·福建泉州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于、两点，点在上的投影为．若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】过点作，垂足为点，作，垂足为点，
，所以，四边形为矩形，所以，，
因为，所以，，故，
由抛物线的定义可得，，所以，，即.
故选：B.
例32．（2023·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
答案：C
【解析】将代入，解得，
则、，
所以，解得，
则.
故选：C.
例33．（2023·湖南·高三阶段练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．
(1)当时，求；
(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．
【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以
所以，代入直线方程，求得，
因为Q为三条中垂线的交点，所以，
有，直线方程为.
令，所以.
由椭圆可得右焦点，故．
（2）设，中点M坐标为．
相减得，.
又Q为的外心，故，
所以，直线方程为，
令，所以而,所以，
，同理，，
，所以当t变化时，为定值．
例34．（2023·四川省巴中中学模拟预测（文））已知椭圆：的左、右顶点分别为、，点在椭圆上，且直线的斜率与直线的斜率之积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若圆的切线与椭圆交于、两点，求的最大值及此时直线的斜率．
【解析】（1）由椭圆可得，所以，解得，
因为椭圆经过点，故得到，解得，
所以椭圆的方程为
（2）当切线垂直轴时，的横坐标为1或-1，由于椭圆的对称性，不妨设的横坐标为1，
代入椭圆得解得，所以；
当切线不垂直轴时，设切线方程为即，
所以圆心到切线的距离，得，
把代入椭圆方程，整理得
设，则，
设，则，则
，
所以，
综上所述，，此时，因为，所以直线的斜率为
例35．（2023·安徽·高三开学考试）已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为．
(1)若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率;
(2)若四边形为平行四边形，求的取值范围．
【解析】（1）设，则，
两式相减可得，，而，
则有，又直线斜率，因此
所以直线的斜率.
（2）当直线不垂直于x轴时，设直线，，
由消去y并整理得：，
，，，
因四边形为平行四边形，即，则点，
而，即，
又点P在椭圆上，则，化简得，满足，
于是得，，，
则
，
当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上，
由得，则，若点，同理可得，
综上，的取值范围为．
例36．（2023·北京八中高三阶段练习）已知为椭圆上任意一点，为左､右焦点，为中点.如图所示：若，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线经过且斜率为与椭圆交于两点，求弦长的值.
【解析】（1）由题意知，为中点，O为的中点，故,
又 ，故，即，
所以 ，
又因为，故，所以 ，
故椭圆的标准方程为 ；
（2）由直线经过且斜率为可知直线方程为，即，
联立，消去y可得 ，解得 ，
则两点不妨取为，
故.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
，解得，
所以的方程为.
（2）圆的圆心为，半径圆.
①当直线的斜率不存在时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
②当直线的斜率为时，方程为或，
于是有或
解得，
所以.
③当直线的斜率不为时，设斜率为，方程为，
因为直线与圆相切，所以，得
建立方程组，消并化简得，
.
设,,则,，
所以=
而，当且仅当，即时，等号成立.
所以 ，
所以.
综上所述，的取值范围是.
例38．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））已知椭圆长轴的顶点与双曲线实轴的顶点相同，且的右焦点到的渐近线的距离为．
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，与交于、两点，与交于、两点，求．
【解析】（1）由题意可得，则．
因为的渐近线方程为，即，
椭圆的右焦点为，由题意可得，，解得，
故椭圆的方程为，双曲线的方程为．
（2）设直线的倾斜角为，
所以，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
联立得，则，
设、，则，，
所以,
联立可得，，
设点、，则，，
所以，，故．
例39．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例40．（2023·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式，并求面积最大时直线的方程．
【解析】（1）由题意得：，且，
解得：，
所以，
所以椭圆方程为；
（2）联立与椭圆方程可得：
，
由，解得：；
设，
则，，
由弦长公式可得：，
点到直线的距离为，
则的面积为，
其中，
令，，
则，
由于，所以，,
令得：，
令得：，
即在上单调递增，
在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
，
所以当时，面积取得最大值，此时直线的方程为．
例41．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值.
【解析】（1），，
由椭圆过点得，解得，，
∴椭圆的方程为.
（2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得，
当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点
则有，∴.
将方程代入椭圆方程中整理得：，
∴，，
，
∴，当且仅当，即时取等号.
当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意.
∴面积的最大值为2.
例42．（2023·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由已知可得：，解得：，，
∴椭圆的方程为：.
（2）∵，
设的直线方程为：，，，
联立方程：，
整理得：，
∴，，
∵，，
，
即，
，
，
，
整理得，解得或（舍去），
∴，
，
∴，
令，
则，
由对勾函数单调性知，，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
此时最大值为.
例43．（2023·广东汕头·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.
【解析】（1）由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
例45．（2023·浙江·高三开学考试）如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.
(1)若点是的中点，求的值；
(2)求面积的最小值.
【解析】（1）设
联立直线与双曲线方程，消去得，
由韦达定理可知，
联立直线与其中一条渐近线方程，解得
即，同理可得，
则，
则可知的中点与中点重合.
由于是的中点，所以，解得；
（2）与联立，消去得
由（1）知，.或
由于，
所以，
又到直线的距离，所以
整理得，
令，则，
当，即时，
的最大值为2，所以的最小值为.
例46．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知A，B，C为椭圆上不同的三点，则△ABC的面积最大为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】①当中一条边垂直于轴时，不妨设，直线方程为，易得当面积最大时，为椭圆右顶点.
此时，，故，设，则恒成立，此时的最大值为.
②当中不存在垂直于轴的边时，根据题意，当面积最大时，不妨设，此时过的切线与平行，设为，此时必有.
联立，则，设，则.
故，
联立，则，判别式可得，即，因为，，
故到距离，
.
设，由题意，，则，则当时，取最大值，此时.
综上△ABC的面积最大为.
故选：D
例47．（2023·广东茂名·高三阶段练习）已知抛物线：的准线为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题意知：，点，由，得，
所以的面积为.
故选:B.
例48．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为________.
答案：8
【解析】由，得，
所以，可得.
不妨设，，所以，
所以点在以为直径的圆上，
所以是以为直角顶点的直角三角形.
故．
又因为点在双曲线的右支上，所以，
所以，解得，
所以．
故答案为:8.
例49．（2023·全国·高三阶段练习（理））已知点为抛物线的焦点，过作直线与抛物线交于两点，以为切点作两条切线交于点，则的面积的最小值为___________.
答案：4
【解析】由题意，得，设直线的方程为，
，，且，
联立，得，
则，，且，
当时，由，得，，
即在点处的切线斜率为，
方程为；
当时，由，得，，
即在点处的切线斜率为，
方程为；联立、的方程，
解得 ，即；
因为，，
所以，所以，
则，
，
所以
因为，，（当且仅当时取等号）
所以的面积的最小值为4.
故答案为：4.
方向2：四边形问题
例50．（2023·全国·模拟预测（文））已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，
（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．
例51．（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为________.
答案：2
【解析】由椭圆的方程可得，，所以，
故，，又平分，则到、的距离相等，设为，则，
设，则，，
由是的中位线，易得，
即，由椭圆性质易知，存在点为椭圆上异于顶点的动点，使，此时最大，且为.
故答案为：
例52．（2023·陕西·三模（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆E的离心率为，且通径长为1．
（1）求E的方程；
（2）直线l与E交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），当时，求四边形面积的最大值．
【解析】（1）依题意可知，解得
故椭圆的方程为．
（2）延长交E于点，由（1）可知，
设，设的方程为，
由得，
故．
设与的距离为d，则四边形的面积为S，
，
又因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
故四边形面积的最大值为2．
例53．（2023·湖南·武冈市第二中学模拟预测）已知椭圆，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限．
（1）若，证明：直线和的斜率之积为定值；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
【解析】（1）证明：设，则，
∵，，∴，，
∵在椭圆上，∴
∴为定值．
（2）设，依题意：，点在第一象限，∴．
联立：得：，
∴，，
设到的距离为，到的距离为，
∴，，
∴．
又∵
（当时取等号），
∴．
∴四边形的面积的最大值为
例54．（2023·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知在平面直角坐标系中有两定点，，平面上一动点到两定点的距离之和为．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，分别与交于，，，四点，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）因为（），
所以点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，
所以，，，
所以轨迹方程为；
（2）当一条直线斜率不存在时，代入椭圆方程得，，因此弦长，另一直线斜率为0，，
；
当两条直线斜率都存在且不为0时，设直线方程为，，，
由，得，
所以，，
，
由于，所以直线斜率为，同理，
，
令，则，，
因为，所以，，
综上，，
的最小值为．
【方法技巧与总结】
三角形的面积处理方法：底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测（理））已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】抛物线的准线为，所以，
由题意可知直线的斜率存在，
故设直线为，，，
则，即，
所以，，
因为，即，
所以，
所以或，
所以.
故选：B
2．（2023·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
答案：A
【解析】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，
则
故选：A
3．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知点是双曲线的左焦点，直线与该双曲线交于两点，，则的重心到轴的距离为（ ）
A．1B．4C．3D．2
答案：C
【解析】由题意得：
不妨设，
联立双曲线方程与直线方程
消去得: ，故
因为，所以点到轴的距离为．
故选：C
4．（2023·全国·模拟预测（理））过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
答案：A
【解析】由题意得：
由双曲线的方程，可知，
过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为
联立，得：
联立，得：
则 ，
，整理得：，解得：
故选：A
5．（2023·山东烟台·三模）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
答案：D
【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令
由，整理得
则，
则，由，可得
则有，即，则双曲线的离心率
故选：D
6．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为（ ）
A．3B．9C．12D．16
答案：B
【解析】由已知，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
7．（2023·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知圆，若抛物线上存在点，过点作圆的两条切线，切点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】，
设点，则
即 有非负实根
解得
故选：A
8．（2023·湖南·模拟预测）已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．以上选项均不正确
答案：D
【解析】设切线方程是，
由得，
显然时，所得直线不是双曲线的切线，所以，
由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，
所以，，则（为双曲线的半焦距），，即，
代入方程，得，此时，
综上，的范围是．
故选：D．
二、多选题
9．（2023·辽宁·沈阳二中模拟预测）已知点，，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】因为，，，所以点在以，为焦点的双曲线的右支，
且，，即，，
所以，
所以其标准方程为：，双曲线的渐近线为．
对于A，即为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故不是“好直线”；
对于B，联立直线与双曲线得，
解得则，即，所以直线是“好直线”；
对于C：消去整理得，，但是，
故直线与双曲线的左支有两个交点，与右支没有交点，故不是“好直线”；
对于D，消去整理得，，且，
故直线与双曲线的右支有两个交点，故是“好直线”；
故选：BD．
10．（2023·湖南常德·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）
A．焦点的坐标为
B．过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点
C．直线与抛物线相交所得弦长为8
D．抛物线与圆交于两点，则
答案：ACD
【解析】由题可知抛物线方程为
对于A，焦点的坐标为，故A正确
对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误
对于C，，弦长为，故C正确
对于D，，解得（舍去），交点为，有，故D正确
故选：ACD
11．（2023·福建·上杭一中模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．的坐标可能为B．坐标原点在以为直径的圆内
C．与的斜率之积为定值D．线段的最小值为4
答案：BC
【解析】抛物线：的焦点为，设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：
，设，，，，
若的坐标为，则，，
而，即，方程组无解，所以A错误，
又
，即，所以坐标原点在以为直径的圆内，所以B正确，
，故C正确；
抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为2，故D错误，
故选：BC
12．（2023·福建省漳州第一中学模拟预测）已知椭圆的上下焦点分别为，，左右顶点分别为，，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．的面积的最大值为1
D．若点是异于､的点，则直线与的斜率的乘积等于-2
答案：BCD
【解析】依题意作下图：
对于A，由题可知 ，所以长轴长为 ，A错误；
对于B， ，分别过 作平行于x轴的直线与椭圆有4个交点 ，当点P与这4个点重合时， 为直角三角形；
以原点O为圆心， 为半径作圆，与椭圆有2个交点，证明如下：
联立方程： ，解得 ，故交点为 ，即当点P与 重合时，
为直角三角形，共有6个直角三角形，B正确；
对于C，当点P与 或 重合时，面积最大 ，C正确；
对于D，运用参数方程，设 ，同时有： ，则有：
， ，D正确；
故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·四川·模拟预测（文））已知抛物线：的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，为坐标原点，且，则______．
答案：3
【解析】抛物线：的焦点是，
不妨设在第一象限，则，所以，则直线的方程为，
令，得，由，解得．
故答案为：
14．（2023·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））设直线l：与双曲线C：相交于不同的两点A，B，则k的取值范围为___________.
答案：
【解析】联立消去y：，，
得到，又直线不与渐近线平行，
所以.
故答案为：.
15．（2023·辽宁·二模）写出满足下列条件的一个抛物线方程_____．
（1）该抛物线方程是标准方程；
（2）过的任意一条直线与该抛物线C有交点，且对于C上的任意一点P，的最小值为2．
答案：（答案不唯一）
【解析】设抛物线：， ，由题知：
，
当时，，解得.
抛物线：，将代入，，在抛物线内，
满足过的任意一条直线与该抛物线C有交点.
故答案为：（答案不唯一）
16．（2023·湖南益阳·模拟预测）已知直线与抛物线交于A、两点，为抛物线的准线上一点，且，过且垂直轴的直线交抛物线于点，交直线于点，若，则__________．
答案：
【解析】设，，，
由得：，
∵，，，
∴，，
，
，，，
则取时，，，，，
，，
，
即，
即，
即
故，
将x＝2代入l方程得，
将代入抛物线方程得，
故，
根据抛物线的对称性可知，当k＝－1时，．
综上，．
故答案为：2
四、解答题
17．（2023·天津市宝坻区第一中学二模）已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点E的坐标为，的面积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段上，，延长线段与椭圆交于点P，若．
（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）求椭圆的方程．
【解析】（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由，可得，即．
又因为，解得．所以，椭圆的离心率为
（2）（ⅰ）依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为．
由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，与直线的方程联立，
可解得，即点的坐标为．
由已知，有，整理得，所以，即直线的斜率为．
（ⅱ）由，可得，故椭圆方程可以表示为．
由（ⅰ）得直线的方程为
与椭圆方程联立 消去整理得
解得（舍去）或．
因此可得点，
进而可得
所以．得．
所以，椭圆的方程为
18．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为2，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线，交直线于点.求证：为定值.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为，，
将代入得，
所以，
因为点是椭圆上一动点，所以，
所以面积，
由，求得，
所以椭圆的方程为：.
(2)由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，
整理可得，
因为直线与椭圆相切，
所以，得，
因为椭圆的右焦点为，将代入直线得，所以，
所以，
将代入直线可得，所以，
所以，
，将代入上式，
得，所以为定值.
19．（2023·重庆·模拟预测）已知抛物线：的焦点为F，直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M，当时，点M的横坐标为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线的准线交于点D，点D关于x轴的对称点为E，当的面积取最小值时，求直线的方程.
【解析】（1）设，由题知时，，故抛物线方程为；
（2）设，联立抛物线方程得，∴，，而，，
所以，
当且仅当时等号成立，故直线的方程为．
20．（2023·辽宁实验中学模拟预测）点是曲线上任一点，已知曲线在点处的切线方程为．如图，点P是椭圆上的动点，过点P作椭圆C的切线l交圆于点A、B，过A、B作圆O的切线交于点M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)求面积的最大值．
【解析】(1)设，则，
设，则，，
设，则，
故即，所以即
所以即的轨迹方程为：.
(2)由（1）可得，故直线.
到的距离为，
故面积，
因为，故即，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.
21．（2023·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
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