2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷（六年级）

这是一份2023年世界少年奥林匹克数学竞赛决赛试卷（六年级），共18页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）使得以下不等式成立的自然数有很多，所有满足题目要求的自然数之和是 。
÷＞
2．（3分）计算：＝ ．
3．（3分）某种计算机病毒会“吃掉”硬盘空间。第一天吃掉硬盘空间的二分之一，第二天吃掉剩下的三分之一，第三天吃掉剩下的四分之一，第四天吃掉剩下的五分之一，第五天吃掉剩下的六分之一。此时，硬盘还剩下160G（G是硬盘大小的单位）。这个硬盘本来一共有 G。
4．（3分）＝ 。
5．（3分）两圆公共部分的面积是大圆面积的九分之一，是小圆面积的十五分之四。大圆面积比小圆面积大56平方厘米。大圆面积是 平方厘米？
6．（3分）一个长方形的长与宽之比为13：8，在这个长方形中剪掉一个最大的正方形。剩下的长方形长与宽的比值是 。
7．（3分）今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21划。那么8个2021相乘的积有 个因数。
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是125平方厘米和20平方厘米，且红、绿两个正方形有一个公共顶点。黄色正方形的一个顶点位于红色正方形的中心，一个顶点位于绿色正方形的中心。那么黄色正方形的面积是 平方厘米。
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9．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是196平方厘米，E、F分别是AB、AD的中点，2FG＝5CG。则阴影部分面积是 平方厘米。
10．（3分）有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换。1个新轮胎在前轮位置可以行驶4000千米，在后轮位置可以行驶2400千米。使用2个新轮胎，这辆自行车最多可行驶 千米。
11．（3分）一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859。这个自然数是 。
12．（3分）如图，用一个斜边长43厘米的红色直角三角形，一个斜边长94厘米的蓝色直角三角形与一个黄色正方形正好拼成一个大的直角三角形。红色三角形与蓝色三角形的面积之和是 平方厘米？
13．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是36平方米，AE＝3EB，BF＝4FC，CG：GD＝4：11，DH：HA＝1：5，阴影部分面积是 平方分米。
14．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是3平方分米，M是AD的中点。阴影部分的面积之和是 平方分米。
15．（3分）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物。已知A点到桶口的距离 AC＝20 厘米，B点到桶口的距离 BD＝16 厘米，圆弧CD长15厘米。蚂蚁爬行的最短路程是 厘米。
16．（3分）如图，正方形ABCD的面积为32（cm2），其它的点都是它所在边的中点，则阴影三角形的面积是 （cm2）
17．（3分）＝ 。
18．（3分）若一个非零自然数恰好是1至9中其中的8个数的倍数，这样的数称为“YMO数”，最小的“YMO数”是 。
19．（3分）计算＝ 。
20．（3分）在1，2，3，……，50中最多可以取出 个数，使得这些数中的任意两个数的乘积都不是完全平方数。
21．（4分）一个自然数加1有2个因数，加3有3个因数，加5有6个因数，这个数最小是 。
22．（4分）计算1×199+2×195+3×191+••+49×7＝ 。
23．（4分）如图，正六边形ABCDEF的面积是558，AP：BP＝1：2，CQ：DQ＝1：1。那么三角形EPQ的面积是 。
24．（4分）如果单独完成某项工作，甲需36天，乙需54天，丙需72天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1：2，乙、丙工作的天数比为3：5。完成这项工作一共用了 天。
25．（4分）记19!有A个因数，则A有 个因数。
26．（4分）五支球队进行足球单循环积分赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分。其中四球队最终积分为1、2、5、7，那么第五支球队共积 分。
27．（4分）一个八位数恰由8个不同数码组成，且它能被396整除，这个八位数最大是 。
28．（4分）小T有11块巧克力，每天至少吃1块，吃完为止。共有 种不同的吃法。
29．（4分）如下算式约分后所得最简分数的分母是 。
（4分）一艘轮船从甲港顺流而下到乙港，随即又从乙港返回甲港，往返共用14小时。已知顺水每小时比逆水多行15千米，且前7小时比后7小时多行了90千米。甲、乙两港相距 千米。
参考答案与试题解析
一、填空题。
1．（3分）使得以下不等式成立的自然数有很多，所有满足题目要求的自然数之和是 91 。
÷＞
【解答】解：×＝＞
96÷7＝13……5
所以所有满足题目要求的自然数为：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13；
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝91
答：所有满足题目要求的自然数之和是91。
故答案为：91。
2．（3分）计算：＝ ．
【解答】解：
＝×××…×××××…，
＝；
故答案为：．
3．（3分）某种计算机病毒会“吃掉”硬盘空间。第一天吃掉硬盘空间的二分之一，第二天吃掉剩下的三分之一，第三天吃掉剩下的四分之一，第四天吃掉剩下的五分之一，第五天吃掉剩下的六分之一。此时，硬盘还剩下160G（G是硬盘大小的单位）。这个硬盘本来一共有 960 G。
【解答】解：160÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1）÷（1﹣）
＝160÷÷÷÷÷
＝160×××××2
＝160×6
＝960（G）
答：这个硬盘本来一共有960G。
故答案为：960。
4．（3分）＝ 3 。
【解答】解：（++）÷
＝（++）×
＝（++）×
＝×
＝3
故答案为：3。
5．（3分）两圆公共部分的面积是大圆面积的九分之一，是小圆面积的十五分之四。大圆面积比小圆面积大56平方厘米。大圆面积是 96 平方厘米？
【解答】解：56÷（1÷﹣1÷）
＝56÷
＝（平方厘米）
÷＝96（平方厘米）
答：大圆面积是96平方厘米。
故答案为：96。
6．（3分）一个长方形的长与宽之比为13：8，在这个长方形中剪掉一个最大的正方形。剩下的长方形长与宽的比值是 1.6 。
【解答】解：8：（13﹣8）＝1.6
答：剩下的长方形长与宽的比值是1.6。
故答案为：1.6。
7．（3分）今年是2021年，健康、幸福、爱情、和睦、勤奋、逐梦、富贵、崛起，这八个词每个词刚好是21划。那么8个2021相乘的积有 81 个因数。
【解答】解：因为 2021＝43×47
所以 20218＝（43×47）8＝438×478
所以8个2021相乘的积的因数个数有：（8+1）×（8+1）＝81（个）
故答案为81个。
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是125平方厘米和20平方厘米，且红、绿两个正方形有一个公共顶点。黄色正方形的一个顶点位于红色正方形的中心，一个顶点位于绿色正方形的中心。那么黄色正方形的面积是 61.25 平方厘米。
【解答】解：设红色正方形的边长为2x厘米，绿色正方形的边长为2y厘米，如图所示进行连线，则黄色正方形被分成一个边长为x厘米的正方形，一个边长为y厘米的正方形，和2个长为x厘米，宽为y厘米的长方形。
因为红色正方形的面积是125平方厘米，所以→
因为绿色正方形的面积是20平方厘米，所以2y•2y＝20→y2＝5
所以，则
所以黄色正方形的面积为：
故答案为61.25平方厘米。
9．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是196平方厘米，E、F分别是AB、AD的中点，2FG＝5CG。则阴影部分面积是 42 平方厘米。
【解答】解：如图通过G点作一条平行于BC的平行线与AB边交于Q，与CD交于H。
因为ABCD是正方形，所以QH＝AD，QG⊥EB，GH∥FD，
因为正方形ABCD的面积是196平方厘米，AB＝AD
S正方形ABCD＝AB×AD＝AD2＝196平方厘米，所以AD＝QH＝14（厘米）
因为E是中点，F是中点，所以EB＝FD＝AD＝14＝7（厘米）
由题意可知CG＝FG，所以CG＝FC，
因为GH∥FD，所以GH＝FD＝×7＝2（厘米），QG＝QH﹣GH＝14﹣2＝12（厘米）
所以S△EBG＝QG•EB＝×12×7＝42（平方厘米）
答：阴影部分的面积为42平方厘米。
故答案为：42。
10．（3分）有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换。1个新轮胎在前轮位置可以行驶4000千米，在后轮位置可以行驶2400千米。使用2个新轮胎，这辆自行车最多可行驶 3000 千米。
【解答】解：（1+1）÷（+）
＝2÷
＝3000（千米）
答：使用2个新轮胎，这辆自行车最多可行驶3000千米。
故答案为：3000。
11．（3分）一个自然数分别除以3、4、6、7，所得余数分别为2、1、5、6，并且四个商的和为859。这个自然数是 965 。
【解答】解：[3、6、7]＝42
42﹣1＝41
[3、4、6、7]＝84
859÷84＝10……19
84×（10+1）+41＝965
965÷3＝321……2
965÷4＝241……1
965÷6＝160……5
965÷7＝137……6
321+241+160+137＝859，符合题意。
答：这个自然数是965。
故答案为：965。
12．（3分）如图，用一个斜边长43厘米的红色直角三角形，一个斜边长94厘米的蓝色直角三角形与一个黄色正方形正好拼成一个大的直角三角形。红色三角形与蓝色三角形的面积之和是 2021 平方厘米？
【解答】解：由题意可知：红色三角形和蓝色三角形有一条直角边相等，并且这两个三角形是相似三角形，因此可用旋转的方法，把两个三角形拼成一个直角三角形。把红色三角形旋转如下图所示：
因为180°﹣90°＝90°，所以旋转后蓝色斜边成为新直角三角形的一条长直角边，红色斜边成为新直角三角形的一条短直角边，即所拼成的直角三角形的两条直角边分别是94厘米和43厘米。
所以红色三角形与蓝色三角形的面积之和为：＝2021（平方厘米）
答：红色三角形与蓝色三角形的面积之和是2021平方厘米。
故答案为：2021。
13．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是36平方米，AE＝3EB，BF＝4FC，CG：GD＝4：11，DH：HA＝1：5，阴影部分面积是 1799 平方分米。
【解答】解：因为正方形ABCD的面积是36平方米，所以正方形ABCD的边长是6米。
因为AE＝3EB，AB＝6米，所以AE＝4.5米，EB＝1.5米；
因为BF＝4FC，BC＝6米，所以BF＝4.8米，FC＝1.2米；
因为CG：GD＝4：11，CD＝6米，所以CG＝1.6米，GD＝4.4米；
因为DH：HA＝1：5，AD＝6米，所以DH＝1米，AH＝5米；
所以S△AEH＝AE×AH＝×4.5×5＝11.25（平方米）
S△BEF＝×BF×EB＝×4.8×1.5＝3.6（平方米）
S△CFG＝FC×CG＝×1.2×1.6＝0.96（平方米）
S△DGH＝×GD×DH＝×4.4×1＝2.2（平方米）
所以S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH＝36﹣11.25﹣3.6﹣0.96﹣2.2＝17.99（平方米）
17.99平方米＝1799平方分米
答：阴影部分面积是1799平方分米。
故答案为：1799。
14．（3分）在如图中，正方形ABCD的面积是3平方分米，M是AD的中点。阴影部分的面积之和是 1 平方分米。
【解答】解：因为△ABM与△ACM同底等高，故面积相等，即S△ABM＝S△ACM
由于△AGM是△ABM与△ACM的重叠部分，故S△BAG＝S△CMG
因为△AMG∽△CBG，根据相似三角形的对应边成比例，所以＝＝＝，所以S△BAG＝S△CMG＝2S△AGM
又S△ABM＝S正方形ABCD＝×3＝（平方分米）
所以S△BAG＝S△CMG＝S△ABM×＝×＝（平方分米）
即S阴影＝S△BAG+S△CMG＝+＝1（平方分米）
答：阴影部分的面积之和是1平方分米。
故答案为：1。
15．（3分）如图，一只蚂蚁想从圆柱形水桶外侧的A点爬到内侧的B点寻找食物。已知A点到桶口的距离 AC＝20 厘米，B点到桶口的距离 BD＝16 厘米，圆弧CD长15厘米。蚂蚁爬行的最短路程是 39 厘米。
【解答】解：如图所示：以AC所在直线展开侧面，将内侧上翻，连接AB，则线段AB的长度为蚂蚁爬行的最短路程。
过B作BE⊥AC于E点，则BE＝CD＝15厘米，EC＝BD＝16厘米
EA＝16+20＝36（厘米）
在直角三角形ABE中，AB2＝AE2+BE2＝362+152＝1296+225＝1521＝392
所以 AB＝39厘米，即蚂蚁爬行的最短路程为39厘米。
故答案为39厘米。
16．（3分）如图，正方形ABCD的面积为32（cm2），其它的点都是它所在边的中点，则阴影三角形的面积是 3 （cm2）
【解答】解：如图，由题意正方形EFGH的面积＝32÷2÷2＝8cm2，
设△EMN的面积为1份，则△FGM，△HNG的面积都是2份，正方形EFGH的面积为8份，
∴△MNG的面积为3份，
∴△MNG的面积＝×8＝3，
故答案为3．
17．（3分）＝ 。
【解答】解：
＝+
＝+
＝
故答案为：。
18．（3分）若一个非零自然数恰好是1至9中其中的8个数的倍数，这样的数称为“YMO数”，最小的“YMO数”是 360 。
【解答】解：根据分析可得，应该去掉7；
8和9含有3个质因数2，与2个质因数3；
所以剩下8个数的倍数的最小公倍数是：5×8×9＝360。
答：最小的“YMO数”360。
故答案为：360。
19．（3分）计算＝ 。
【解答】解：
＝×（﹣+﹣+﹣+﹣+……+﹣）
＝×（﹣）
＝×（﹣）
＝×
＝
故答案为：。
20．（3分）在1，2，3，……，50中最多可以取出 30 个数，使得这些数中的任意两个数的乘积都不是完全平方数。
【解答】解：1～50中符合b×a2的数有：1×22，1×32，1×42，1×52，1×62，1×72；
2×22，2×32，2×42，2×52；
3×22，3×32，3×42；
4×22，4×32；
5×22，5×32；
6×22，7×22，8×22，9×22，10×22，11×22，12×22。共24项。
其中1×62＝4×32＝9×22＝36
2×42＝8×22＝32
3×42＝12×22＝48
重复4项。
则最多可以取出50﹣20＝30个数，使得这些数中的任意两个数的乘积都不是完全平方数。
故答案为：30。
21．（4分）一个自然数加1有2个因数，加3有3个因数，加5有6个因数，这个数最小是 166 。
【解答】解：假设这个自然数为x，则（x+1）为质数，（x+3）为完全平方数。
当x＝1时，1+1＝2，1+3＝4均满足条件，1+5＝6，6只有4个因数，故舍去；
所以（x+1）均为奇数，即x为偶数，（x+3）为奇数。
当x+3＝9，即x＝6时，x+5＝11，11＝1×11，有2个因数，故舍去；
当x+3＝25，即x＝22时，x+5＝27，27＝1×27＝3×9，有4个因数，故舍去；
当x+3＝49，即x＝46时，x+5＝51，51＝1×51＝3×17，有4个因数，故舍去；
当x+3＝81，即x＝78时，x+5＝83，83＝1×83，有2个因数，故舍去；
当x+3＝121，即x＝118时，x+5＝123，123＝1×123＝3×41，有4个因数，故舍去；
当x+3＝169，即x＝166时，x+5＝171，171＝1×171＝3×57＝9×19，有6个因数，
且166+1＝167，167为质数，满足题意。
所以这个数最小为166。
故答案为：166。
22．（4分）计算1×199+2×195+3×191+••+49×7＝ 86975 。
【解答】解：1×199+2×195+3×191+••+49×7
＝1×（200﹣4×1+3）+2×（200﹣4×2+3）+3×（200﹣4×3+3）+……+49×（200﹣4×49+3）
＝200×（1+2+3+……+49）﹣4×（1×1+2×2+3×3+……+49×49）+3×（1+2+3+……+49）
＝（200+3）×（1+2+3+……+49）﹣4×（12+22+32+……+492）
＝203×﹣4×
＝203×1225﹣4×40425
＝248675﹣161700
＝86975
故答案为：86975。
23．（4分）如图，正六边形ABCDEF的面积是558，AP：BP＝1：2，CQ：DQ＝1：1。那么三角形EPQ的面积是 217 。
【解答】解：连接正六边形的三条对角线AD、BE、CF后相交于中心O处，连接CP、FP，设正六边形的高OQ为h，如下图所示：
根据题意AP：BP＝1：2，CQ：DQ＝1：1，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，所以：
S△APF＝＝＝×AB×h
S△PEF＝×h＝×AB×h
S△PBC＝×h＝
S△PCQ＝×h＝××h＝×AB×h
S△EQD＝×DQ×h＝××h＝×AB×h
所以S△APF+S△PEF+S△PBC+S△PCQ+S△EQD
＝×AB×h+×AB×h++×AB×h+×AB×h
＝×AB×h
由于S正六边形ABCDEF＝6×S△AOB＝6×＝3×AB×h＝558，所以AB×h＝558÷3＝186
所以S三角形EPQ＝S正六边形ABCDEF﹣（S△APF+S△PEF+S△PBC+S△PCQ+S△EQD）
＝558﹣×AB×h
＝558﹣×186
＝558﹣341
＝217
答：三角形EPQ的面积是217。
故答案为：217。
24．（4分）如果单独完成某项工作，甲需36天，乙需54天，丙需72天，现在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1：2，乙、丙工作的天数比为3：5。完成这项工作一共用了 57 天。
【解答】解：甲、乙工作的天数比为1：2，乙、丙工作的天数比为3：5，则甲、乙、丙工作的天数比为3：6：10；
3+6+10＝19
设完成这项工作一共用了x天。
×x+×x+×x＝1
x+x+x＝1
x＝1
x＝57
答：完成这项工作一共用了57天。
故答案为：57。
25．（4分）记19!有A个因数，则A有 56 个因数。
【解答】解：质因数2的个数：[]+[]+[]+[]＝16（个）
质因数3的个数：[]+[]＝8（个）
质因数5的个数：[]＝3（个）
质因数7的个数：[]＝2（个）
质因数11、13、17、19的个数都有1个；
所以19!＝216×38×53×72×11×13×17×19
所以A＝（16+1）×（8+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）
＝17×9×4×3×2×2×2×2
＝17×33×26
所以A的因数有：（1+1）×（3+1）×（6+1）＝56（个）
答：A有56个因数。
故答案为：56。
26．（4分）五支球队进行足球单循环积分赛，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分。其中四球队最终积分为1、2、5、7，那么第五支球队共积 12 分。
【解答】解：①球队得1分（1＝0+0+0+1），则负了3次，平局1次；
②球队得2分（2＝0+0+1+1），则负了2次，平局2次；
③球队得5分（5＝0+1+1+3），则负了1次，平局2次，胜了1次；
④球队得7分（7＝0+1+3+3），则负了1次，平局1次，胜了2次；
据此可推出①②打成平局，①输给③、④、⑤；
②①打成平局，②③打成平局，②输给④、⑤；
③②打成平局，③④打成平局，③胜了①，③负给⑤；
④③打成平局，④胜了①②，④负给⑤
所以：⑤赢了①、②、③、④，得12分（12＝3+3+3+3）
答：第五支球队共积12分。
故答案为：12。
27．（4分）一个八位数恰由8个不同数码组成，且它能被396整除，这个八位数最大是 98752104 。
【解答】解：能被396整除，就是既要能被9整除，又要能被4、11整除；
因为0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
要使这个八位数最大，保留9、8、7，
那么要去掉两个，剩下数字的和仍然是9的倍数，去掉6、3或5、4，
然后即可尝试得到这个八位数最大是98752104。
故答案为：98752104。
28．（4分）小T有11块巧克力，每天至少吃1块，吃完为止。共有 1024 种不同的吃法。
【解答】解：210＝1024（种）
答：共有1024种不同的吃法。
故答案为：1024。
29．（4分）如下算式约分后所得最简分数的分母是 72 。
【解答】解：在1～100的自然数中，质因数2共有：
[]+[]+[]+[]+[]+[]
＝50+25+12+6+3+1
＝97（个）
质因数3共有：
[]+[]+[]+[]
＝33+11+3+1
＝48（个）
即1×2×3×4×……×99×100的积中含有因数2的个数是97个，含有因数3的个数是48个；
分母约分前含有100个因数2，含有50个因数3。
因为100﹣97＝3（个），50﹣48＝2（个）
所以约分后所得的最简分数的分母是：2×2×2×3×3＝72。
故答案为：72。
30．（4分）一艘轮船从甲港顺流而下到乙港，随即又从乙港返回甲港，往返共用14小时。已知顺水每小时比逆水多行15千米，且前7小时比后7小时多行了90千米。甲、乙两港相距 360 千米。
【解答】解：由题意可知，顺水时间为：90÷15＝6（小时），则逆水时间为：14﹣6＝8（小时）
设逆水时的速度为x千米/时，则顺水时的速度为（15+x）千米/时，可得：
6×（15+x）＝8x
90+6x＝8x
8x﹣6x＝90
2x＝90
2x÷2＝90÷2
x＝45
8x＝8×45＝360，即甲、乙两港相距360千米。
答：甲、乙两港相距360千米。
故答案为：360。