2024年河南省安阳市林州市中考数学适应性试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河南省安阳市林州市中考数学适应性试卷（含详细答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中一定是一元二次方程的是( )
A. x2+1=0B. 1x2+2x=5
C. 2x2+3x=2(x−2)2+1D. ax2+2x+1=0(a为常数)
2.下列图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图所示，该几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是( )
A. 12
B. 13
C. 23
D. 14
5.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 邻边相等
6.下列各组线段中，不能成比例线段的是( )
A. 1， 2， 10， 5B. 3，6，2，4
C. 4，6，5，10D. 2， 5， 15，2 3
7.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=k2+3x(k为常数)的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y18.在三角形ABO中，已知点A(−6,3)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是( )
A. (−2,1)B. (−8,4)C. (−8,4)或(8,−4)D. (−2,1)或(2,−1)
9.如图1，在菱形ABCD中，∠C=120∘，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为(6 3,9)，则图象最低点E的坐标为( )
A. (2 3,3)B. (2 3,3 3)C. (4 3,3 3)D. (4 3,3)
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. abc<0
B. 4a−2b+c<0
C. 3a+c=0
D. am2+bm+a≤0(m为实数)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.tan45∘−cs60∘sin60∘⋅tan30∘=______.
12.关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______.
13.已知一元二次方程x2+mx− 2=0的一个根为2，则另一个根为______.
14.如图，点A(0,2 3)，点B(2,0)，点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为______.
15.如图，在△ABC中，∠A=90∘,AB=AC= 6，点D为AC边上一动点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C的对应点C′落在射线CA上，连接BC′，当Rt△ABC′的某一直角边等于斜边BC′长度的一半时，CD的长度为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解下列方程：
(1)3(x−1)2−12=0；
(2)2x2−4x−7=0.
17.(本小题9分)
近来，由于智能聊天机器人ChatGPT的横空出世，大型语言模型成为人工智能领域的热门话题.国内互联网公司也推出了自己的AI聊天机器人：百度推出了“文心一言”AI聊天机器人(以下简称A款)，抖音推出了“豆包”AI聊天机器人(以下简称B款)有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x<70，比较满意70≤x<80，满意80≤x<90，非常满意x≥90)，下面给出了部分信息：抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100.
抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中a=______，b=______，c=______；
(2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？
18.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，且AC平分∠BAD，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)试说明：EF是⊙O的切线；
(2)若AE=165，圆O的半径是52，求AC的长．
19.(本小题9分)
如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB的高度.小亮站立在距离楼底部94米的D点处，操控无人机从地面F点，竖直起飞到正上方60米E点处时，测得楼AB的顶端A的俯角为30∘，小亮的眼睛点C看无人机的仰角为45∘(点B、F、D三点在同一直线上).求楼AB的高度.(参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7米， 3≈1.7)
20.(本小题10分)
如图，已知矩形ABCD，AB= 3，BC=3，在BC上取两点E，F(E在F左边)，以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H.
(1)求△PEF的边长；
(2)在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论．
21.(本小题9分)
如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象经过正方形OABC的顶点B，一次函数y=x+1经过BC的中点D.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将△ABD绕点A顺时针旋转90∘，点D的对应点为E，判断E点是否落在双曲线上.
22.(本小题9分)
2023年杭州亚运会吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件68元的价格出售，经统计，2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件.
(1)求该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率.
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0)，与y轴交于点C(0,−3).
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m.
①求PE+ 2EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG=45∘，求m的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、x2+1=0，是一元二次方程，故A符合题意；
B、1x2+2x=5，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、2x2+3x=2(x−2)2+1，整理得：11x−9=0，是一元一次方程，故C不符合题意；
D、ax2+2x+1=0(a为常数，a≠0)，是一元二次方程，故D不符合题意；
故选：A.
根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180∘后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B.
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180∘能与原来的图形重合是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：这个几何体的左视图为：
故选：B.
根据简单几何体的三视图的画法画出它的左视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法和形状是正确判断的关键．
4.【答案】B
【解析】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为26=13.
故选：B.
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让灯泡L1发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】B
【解析】解：菱形和矩形的性质合在一起得到了正方形．因此，正方形具有而菱形不具有的性质即为矩形的特性，由矩形对角线相等满足条件．
故选：B.
根据菱形、矩形和正方形性质之间的关系问题可解
本题考查了菱形、矩形和正方形的性质之间的相互关系，涉及到了上述图形的性质．
6.【答案】C
【解析】解：A.1× 10= 2× 5，成比例线段，故本选项不符合题意；
B.6×2=3×4，成比例线段，故本选项不符合题意；
C.4×10≠5×6，不是成比例线段，故本选项符合题意；
D、2× 15= 5×2 3，成比例线段，故本选项不符合题意．
故选：C.
只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断．
本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵k2+3>0，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴A(−3,y1)、B(−1,y2)在第三象限内，C(2,y3)在第一象限内，
∵−1>−3，
∴y1>y2，
∴y2故选：D.
由k2+3>0，可知反比函数在每个象限内，y随x的增大而减小，A(−3,y1)、B(−1,y2)在第三象限内，C(2,y3)在第一象限内，分别判断即可．
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握k对反比例函数图象的影响，特别注意要在每个象限内求解是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，点A的坐标为(−6,3)，
∴点A的对称点A′的坐标为(−6×13,3×13)或(6×13,−3×13)，即(−2,1)或(2,−1)，
故选：D.
根据位似变换的性质计算，判断即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.
9.【答案】C
【解析】解：∵图象右端点F的坐标为(6 3,9)，M是AB的中点，
∴BD=6 3，MN+AN=3BM=9，
∴BM=3，AB=6，
如图，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，
∴当点N在点N′时，MN+AN取得最小值，最小值为MN′+CN′=CM，
∵四边形ABCD为菱形，∠BCD=120∘，
∴三角形ABC为等边三角形，AC=AB=6，
∴CM⊥AB，∠ACM=30∘，
在Rt△ACM中，CM=AC⋅cs∠ACM=6× 32=3 3，
∵AB//CD，
∴∠DCM=∠AMC=90∘，
∵∠ABC=∠ADC=60∘，
∴∠BDC=30∘，
在Rt△CDN′中，DN′=CDcs∠CDN′=6 32=4 3，
∴点E的坐标为(4 3,3 3).
故选：C.
根据点F的坐标可得BD=6 3，BM=3，AB=6，连接AC，连接CM交BD于点N′，连接AN′，由两点之间线段最短可知，当点N在点N′时，MN+AN取得最小值为CM，根据菱形的性质易得三角形ABC为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出CM，由平行线和菱形的性质易得∠DCM=∠AMC=90∘，∠BDC=30∘，进而求出DN′，以此即可求解．
本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是理解函数图象中最低点坐标所表示的实际意义，并利用数形结合思想解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：由抛物线开口向上知a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故A错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，且4−1=1−(−2)，
∴抛物线上的点(4,16a+4b+c)与(−2,4a−2b+c)关于对称轴对称，
由图可知，(4,16a+4b+c)在第一象限，
∴(−2,4a−2b+c)在第二象限，
∴4a−2b+c>0，故B错误，不符合题意；
∵x=3时y=0，
∴9a+3b+c=0，
∵b=−2a，
∴9a+3×(−2a)+c=0，
∴3a+c=0，故C正确，符合题意；
∵b=−2a，
∴am2+bm+a=am2−2am+a=a(m−1)2，
∵a>0，(m−1)2≥0，
∴a(m−1)2≥0，
∴am2+bm+a≥0，故D错误，不符合题意；
故选：C.
由抛物线开口向上知a>0，由抛物线的对称轴为直线x=1，知b=−2a，b<0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c<0，可判断A错误；由(4,16a+4b+c)在第一象限，知(−2,4a−2b+c)在第二象限，判断B错误；由9a+3b+c=0，b=−2a，可得3a+c=0，判断C正确；由am2+bm+a=am2−2am+a=a(m−1)2，可判断D错误．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的相关性质．
11.【答案】13
【解析】解：tan45∘−cs60∘sin60∘⋅tan30∘
=1−12 32× 33
=12 32× 33
=1 3× 33
=13，
故答案为：13.
把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
12.【答案】k≤54
【解析】解：关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，
当是一元一次方程时，k−1=0，方程为2x+2=0，方程的解是x=−1，此时方程有实数解
当方程为一元二次方程时，△=[−2(k−2)]2−4(k−1)(k+1)≥0且k−1≠0，
解得：k≤54且k≠1，
所以当k≤54时，关于x的方程(k−1)x2−2(k−2)x+k+1=0有实数根，
故答案为：k≤54.
根据已知方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了一元二次方程和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
13.【答案】− 22
【解析】解：设另一个根为n，由根与系数之间的关系得：
2⋅n=− 2，
∴n=− 22，
故答案为：− 22.
利用根与系数之间的关系求解．
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对根与系数之间的关系的理解和熟练使用．
14.【答案】3 34
【解析】解：如图，连接OP.
由已知可得：∠PMO=∠MON=∠ONP=90∘，
∴四边形OMPN是矩形，
∴OP=MN，
在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小．
∵A(0,2 3)，点B(2,0)，
∴OA=2 3，OB=2，
根据勾股定理得：AB= OA2+OB2= (2 3)2+22=4，
∵S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅OP，
∴OP=OA⋅OBAB=2 3×24= 3，
∴MN= 3，
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为 3，
在Rt△POB中，根据勾股定理得：BP= OB2−OP2= 22−( 3)2=1，
∵S△OBP=12OP⋅BP=12OB⋅PN，
∴PN=OP⋅BPOB= 3×12= 32，
∴ON= OP2−PN2= ( 3)2−( 32)2=32，
∴矩形OMPN的面积=ON×PN=32× 32=3 34，
即当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为3 34，
故答案为：3 34.
证明四边形OMPN是矩形，得OP=MN，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，再由勾股定理与三角形的面积求得OP的长，然后求得PN的长，即可解决问题．
此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出OP的最小值是解题的关键．
15.【答案】 6− 22或 6+ 22
【解析】解：由翻折得，CD=12CC′，分三种情况：
①当点C′在边AC上，且AC′=12BC′(即BC′=2AC′)时，
∵∠A=90∘,AB=AC= 6，
∴由勾股定理得，BC′2−AC′2=AB2，
即(2AC′)2−AC′2=( 6)2，
∴AC′= 2，
∴CC′= 6− 2，
∴CD= 6− 22；
②当点C′在CA的延长线上，且AC′=12BC′(即BC′=2AC′)时，同理得AC′= 2，
∴CC′= 6+ 2，
∴CD= 6+ 22；
③当点C′在CA的延长线上，且AB=12BC′(即BC′=2AB=2 6)时，
由勾股定理得，AC′2=BC′2−AB2，
即AC′2=((2 6)2−( 6)2=18,
∴AC′=3 2，
∴CC′= 6+3 2，
∴CD= 6+3 22，
∵ 6+3 22− 6=3 2− 62= 18− 62>0，
∴CD>AB，此时点D不在边AC上，不符合题意，舍去，
综上，当Rt△ABC′的某一直角边等于斜边BC′长度的一半时，CD的长度为 6− 22或 6+ 22.
故答案为： 6− 22或 6+ 22.
由翻折得，CD=12CC′，分三种情况：①当点C′在边AC上，且AC′=12BC′(即BC′=2AC′)时；②当点C′在CA的延长线上，且AC′=12BC′(即BC′=2AC′)时；③当点C′在CA的延长线上，且AB=12BC′(即BC′=2AB=2 6)时，分别根据勾股定理求出AC′的长，再求出CC′的长即可，
本题主要考查图形的翻折变换(折叠问题)，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键，同时要注意分类思想的运用．
16.【答案】解：(1)3(x−1)2−12=0，
(x−1)2=4，
x−1=±2，
所以x1=3，x2=−1；
(2)2x2−4x−7=0，
x2−2x=72，
x2−2x+1=92，
(x−1)2=92，
x−1=±3 22，
所以x1=1+3 22，x2=1−3 22.
【解析】(1)先把方程变形为(x−1)2=4，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先利用配方法得到(x−1)2=92，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．
17.【答案】1588.598
【解析】解：(1)由题意得，a%=1−10%−45%−620×100%=15%，即a=15，
把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88，89，故中位数b=88+892=88.5，
在B款的评分数据中，98出现的次数最多，故众数c=98；
故答案为：15，88.5，98；
(2)A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88比B款的中位数87高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱(答案不唯一)；
(3)240×10%+300×320=69(人)，
答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有69人．
(1)用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值；
(2)通过比较A，B款设备的评分统计表的数据解答即可；
(3)分别计算A，B两款的不满意的人数即可得出答案．
本题考查扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提．
18.【答案】(1)证明：连接OC，
∵EF⊥AD，
∴∠AEC=90∘，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠ACO，
∴AE//OC，
∴∠AEC=∠OCF=90∘，
∵OC是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠ACB=∠AEC=90∘，∠EAC=∠CAB，
∴△AEC∽△ACB，
∴AEAC=ACAB，
∴AC2=AE⋅AB，
∴AC2=165×5=16，
∴AC=4.
【解析】(1)连接OC，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，证明AE//OC即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角，求出∠ACB=90∘，然后证明△AEC∽△ACB，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
19.【答案】解：如图：过点C作CG⊥EF，垂足为G，延长BA交HE于点I，
由题意得：BI⊥EH，GF=CD=1.7米，CG=DF，EI=BF，EF=IB=60米，BD=94米，
∴EG=EF−FG=60−1.7=58.3(米)，
在Rt△EGC中，∠ECG=45∘，
∴CG=EGtan45∘=58.3(米)，
∴CG=DF=58.3米，
∴IE=BF=BD−DF=94−58.3=35.7(米)，
在Rt△AIE中，∠AEI=30∘，
∴AI=IE⋅tan30∘=35.7× 33=11.9 3(米)，
∴AB=IB−IA=60−11.9 3≈39.77(米)，
∴楼AB的高度约为39.77米．
【解析】过点C作CG⊥EF，垂足为G，延长BA交HE于点I，根据题意可得：BI⊥EH，GF=CD=1.7米，CG=DF，EI=BF，EF=IB=60米，BD=94米，从而可得EG=58.3米，然后在Rt△EGC中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而求出IE的长，再在Rt△AIE中，利用锐角三角函数的定义求出AI的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)过P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90∘，即AB⊥BC，又AD//BC.
∴PQ=AB= 3.
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PFQ=60∘.
在Rt△PQF中sin60∘= 3PF，
∴PF=2.
∴△PEF的边长为2.
(2)方法一：△ABC∽△CDA.
理由：∵矩形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠D=90∘，
∴△ABC∽△CDA.
方法二：△APH∽△CFH.
理由：∵矩形ABCD，
∴AD//BC，
∴∠2=∠1，
又∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH.
(3)猜想：PH与BE的数量关系是：PH−BE=1，
证法一：在Rt△ABC中，AB= 3，BC=3，
∴tan∠1=ABBC= 33.
∴∠1=30∘.
∵△PEF是等边三角形，
∴∠2=60∘，PF=EF=2.
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30∘.
∴∠1=∠3.
∴FC=FH.
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，FC=FH，EF=2，
∴BE+FC=3−2=1，
∴PH−BE=1.
证法二：在Rt△ABC中，AB= 3，BC=3，
∴tan∠1=ABBC= 33.
∴∠1=30∘.
∵△PEF是等边三角形，PE=2，
∴∠2=∠4=∠5=60∘.
∴∠6=90∘.
在Rt△CEG中，∠1=30∘，
∴EG=12EC，即EG=12(3−BE).
在Rt△PGH中，∠7=30∘，
∴PG=12PH.
∴PE=EG+PG=12(3−BE)+12PH=2.
∴PH−BE=1.
证法三：在Rt△ABC中，AB= 3，BC=3，
∴tan∠1=ABBC= 33，AC2=AB2+BC2∴∠1=30∘，AC=2 3.
∵△PEF是等边三角形，
∴∠4=∠5=60∘.(3分)
∴∠6=∠8=90∘.
∴△EGC∽△PGH，
∴PHEC=PGEG.
∴PH3−BE=2−EGEG①
∵∠1=∠1，∠B=∠6=90∘，
∴△CEG∽△CAB.
∴EGAB=ECAC即EG 3=3−BE2 3.
∴EG=12(3−BE)②
把②代入①得，PH3−BE=2−12(3−BE)12(3−BE).
∴PH−BE=1.
【解析】(1)由题意知，等边△EFP的高与矩形的AB边相等从而根据三角函数即可求得其边长；
(2)根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形；
(3)根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系．
此题主要考查学生对相似三角形的判定，等边三角形的性质及矩形性质的综合运用．
21.【答案】解：(1)设B(m,m)，则D(12m,m)，
∵一次函数y=x+1经过BC的中点D，
∴m=12m+1，
∴m=2，
∴B(2,2)，
∵反比例函数y=kx(k>0)的图象经过正方形OABC的顶点B，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x；
(2)∵将△ABD绕点A顺时针旋转90∘，点D的对应点为E，D(1,2)，
∴E(4,1)，
当x=4时，y=44=1，
∴E点落在双曲线上．
【解析】(1)设B(m,m)，则D(12m,m)，利用一次函数的解析式求得m，即可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)利用旋转的性质求得点E的坐标，代入反比例函数的解析式判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标，待定系数法求反比例函数的解析式，正方形的性质，旋转的性质，求得点D、E的坐标是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256(1+x)2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)，
答：该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为25%；
(2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为(68−45−m)元，月销售量为(400+20m)件，
根据题意得：(68−45−m)(400+20m)=8400，
整理得：m2−3m−40=0，
解得：m1=8，m2=−5(不符合题意，舍去)，
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元．
【解析】(1)设该款吉祥物2023年5月份到7月份销售量的月平均增长率为x，根据2023年5月份的销售量为256件，2023年7月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
(2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为(68−45−m)元，月销售量为(400+20m)件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(1,0)，C(0,−3)，
∴1+b+c=0c=−3，
解得：b=2c=−3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x−3.
(2)①当x=0时，y=x2+2x−3=−3，
∴点C(0,−3).
当y=0时，x2+2x−3=0，
解得：x1=−3，x2=1，
∴A(−3,0)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A(−3,0)，C(0,−3)代入，
得：−3m+n=0n=−3，解得：m=−1n=−3，
∴直线AC的解析式为：y=−x−3.
∵OA=OC=3，
∴∠OAC=∠OCA=45∘.
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，
∴∠KEG=∠KGE=45∘，
∴EG=EKsin45∘= 2EK= 2OD，
设P(m,m2+2m−3)，则E(m,−m−3)，
∴PE=−m−3−(m2+2m−3)=−m2−3m，
∴PE+ 2EG=PE+2OD=−m2−3m−2m=−m2−5m=−(m+52)2+254，
由题意有−3当m=−52时，PE+ 2EG取最大值，PE+ 2EG的最大值为254；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N.
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG=45∘，
∴∠DEG=∠DNE=45∘，
∴DE=DN.
∵∠KGE=∠ONG=45∘，
∴OG=ON.
∵y=x2+2x−3的对称轴为直线x=−1，
∴MF=1，
∵∠KGF=45∘，
∴GF=MFsin45∘= 2MF= 2.
∵∠FDG=45∘，
∴∠FDN=∠DEG.
又∵∠DGF=∠EGD，
∴△DGF∽△EGD，
∴DGFG=EGDG，
∴DG2=FG⋅EG= 2× 2(−m)=−2m，
在Rt△ONG中，OG=ON=|OD−DN|=|OD−DE|=|−m−(m+3)|=|−2m−3|，OD=−m，
在Rt△ODG中，
∵DG2=OD2+OG2=m2+(2m+3)2=5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9=−2m，
解得m1=−1，m2=−95.
【解析】(1)运用待定系数法将B(1,0)，C(0,−3)代入y=x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
(2)①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P(m,m2+2m−3)，则E(m,−m−3)，从而得出PE+ 2EG=−(m+52)2+254，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N.先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2=FG⋅EG= 2× 2(−m)=−2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数、二次函数图象与几何图形结合，二次函数最值应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
45%
B
88
87
c
40%